2019屆高三數學上學期12月月半考試題 理第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合,則 （ ） A. B. C. D.2.已知復數，若是實數，則實數的值為 （ ）A B CD3以下判斷正確的是 ( ).函數為上可導函數，則是為函數極值點的充要條件.命題“”的否定是“”C.“”是“函數是偶函數”的充要條件D. 命題“在中，若，則”的逆命題為假命題4.一個長方體被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為 ( )A120 cm3 B100 cm3 C80 cm3 D60 cm35.由曲線，直線及坐標軸所圍成圖形的面積為 A. B. C. D. 6.設等差數列的前項和為，若,，則 （ ）A. B. C. D. 7.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數學參考書4本，從中取出4本贈送給4位學生，每位學生1本，則不同的贈送方法共有（ ）A15種 B20種 C48種 D60種 8.已知拋物線的焦點F到雙曲線C：漸近線的距離為，點是拋物線上的一動點，P到雙曲線C的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（）A B C D 9.已知函數，則的圖象大致為 ( ) OyxOyxOyxOyxA B C D資*源 10. 如圖，ABC中，AD=DB，AE=EC，CD與BF交于F，設 ，則(x,y)為 ( )%庫11函數的圖象向右平移個單位后，與函數的圖象重合，則的值為 ( ) A. B. C. D. 12.已知定義在R上的函數滿足：且，則方程在區間上的所有實根之和為 （ ）A. B . C. D. 第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的常數項為 .14.如圖，點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，函數 ，若在矩形 內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于 15.已知滿足約束條件若的最小值為,則 .16.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點若為的中點，則 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17（本小題滿分12分）2在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.18（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，（) 求證：數列是等比數列；（) 設數列的前項和為，點在直線上，求的通項.19（本小題滿分12分） 隨著蘋果7手機的上市，很多消費者覺得價格偏高，尤其是一部分大學生可望而不可及，因此“國美在線”推出無抵押分期付款的購買方式，某店對最近100位采用分期付款的購買者進行統計，統計結果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 頻數3525資*源%庫10已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機，顧客分1期付款，其利潤為1000元；分2期或3期付款，其利潤為1500元；分4期或5期付款，其利潤為xx元，以頻率作為概率.()求，的值，并求事件：“購買蘋果7手機的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示銷售一部蘋果7手機的利潤，求的分布列及數學期望.20（本小題滿分12分如圖，在三棱錐中，為的中點.（1）求證：；（2）設平面平面，求二面角的平面角的正弦值.21（本小題滿分12分）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點的切線與平行；（）是否存在實數，使以為直徑的圓經過點？若存在，求的值；若不存在，說明理由.22(本小題滿分12分) 已知函數（）當時，求的單調區間；（）若函數在其定義域內有兩個不同的極值點.（）求的取值范圍；（）設兩個極值點分別為，證明: 高三數學試題參考答案（理科）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。）題號123456789101112答案ADCBCCACAcBB二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13-20 14 15 166三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）【解析】（I）證明：由正弦定理可知原式可以化解為和為三角形內角 , 則，兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證。（II）由題,根據余弦定理可知， 為為三角形內角， 則，即 由（I）可知，18已知數列的前項和為，（) 求證：數列是等比數列；（) 設數列的前項和為，點在直線上，若不等式對于恒成立，求實數的最大值解析：（)由，得 ，兩式相減得， 所以 （)，因為，所以，所以是以為首項，公比為的等比數列 （)由（)得，因為點在直線上，所以，故是以為首項，為公差的等差數列， 則，所以，當時，因為滿足該式，所以 所以不等式，即為，令，則，兩式相減得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故當時，單調遞減；當時，；當時，單調遞增；當時，；則的最小值為，所以實數的最大值是 19（本小題滿分12分） 隨著蘋果7手機的上市，很多消費者覺得價格偏高，尤其是一部分大學生可望而不可及，因此“國美在線”推出無抵押分期付款的購買方式，某店對最近100位采用分期付款的購買者進行統計，統計結果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 頻數352510已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機，顧客分1期付款，其利潤為1000元；分2期或3期付款，其利潤為1500元；分4期或5期付款，其利潤為xx元，以頻率作為概率.()求，的值，并求事件：“購買蘋果7手機的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示銷售一部蘋果7手機的利潤，求的分布列及數學期望.解：()由，得因為所以 3分 6分（）設分期付款的分期數為，則 8分的所有可能取值為1000，1500，xx. 10分所以的分布列為10001500xxP0.350.40.25 12分20（本小題滿分12分如圖，在三棱錐中，為的中點.（1）求證：；（2）設平面平面，求二面角的平面角的正弦值. 20 解：（1）設中點為，連接，因為，所以，又為的中點，所以.因為，所以，因為，所以平面，又平面，所以（2）由（1）知，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又.以為坐標原點，分別以，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，得，由為中點，得，則，設平面的一個法向量為，由，即取，可得，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則所以，二面角的平面角的正弦值為. 21（本小題滿分12分）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點的切線與平行；（）是否存在實數，使以為直徑的圓經過點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（）解法一：設，把代入得，得 ，點的坐標為2分，即拋物線在點處的切線的斜率為 4分直線:的的斜率為， 6分解法二：設，把代入得，得，點的坐標為2分設拋物線在點處的切線的方程為，將代入上式得，4分直線與拋物線相切， ， 即6分（）假設存在實數，存在實數使為直徑的圓經過點 是的中點，由（）知 軸， 8分 10分，故，存在實數使為直徑的圓經過點 12分22(本小題滿分12分) 已知函數（）當時，求的單調區間；（）若函數在其定義域內有兩個不同的極值點.（）求的取值范圍；（）設兩個極值點分別為，證明:解：（）當時，；函數的定義域為，當時，；當時，.所以，在上單調遞減；在上單調遞增. 4分() （）依題意，函數的定義域為，xyo1y=lnxy=axA所以方程在有兩個不同根.即，方程在有兩個不同根. （解法一）轉化為，函數與函數的圖像在上有兩個不同交點，如圖. 可見，若令過原點且切于函數圖像的直線斜率為，只須. 6分令切點，所以，又，所以，解得，于是， 所以. 8分（解法二）令，從而轉化為函數有兩個不同零點，而（） 若