第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽得分 初二 第2試2005年4月17日 上午830至1030一、選擇題（每小題5分，共50分）以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內.1、若a，b均為正整數，m=ab(ab)，則（ ）Am一定是奇數 Bm一定是偶數 C只有當a，b均為偶數時，m是偶數 D只有當a，b一個為偶數，另一個為奇數時，m是偶數2、設，則等于（ ）A B C3 D33、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，then the value of is（ ）A14 B13 C12 D 11(英漢詞典 positive integers：正整數. prime numbers：質數)_4、購買鉛筆7支，作業本3個，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業本4個，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業本5個，圓珠筆2支共需（ ）A4.5元 B5元 C6元 D6.5元5、計算機將信息轉換成二進制數來處理.二進制是“逢二進一”，如二進制數(1101)2轉換成十進制數是123122021120=13，那么二進制數轉換成十進制數是（ ）A220041 B22005 C220051 D220051 6、已知ABC的三個內角的比是m(m1) (m2)，其中是m大于1的正整數，那么ABC是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形7、已知ABC的三條高的比是345，且三條邊的長均為整數，則ABC的邊長可能是（ ）A10 B12 C14 D168、已知兩位數能被3整除，它的十位數字與個位數字的乘積等于它的個位數字，且它的任意次冪的個位數字等于它的個位數字。這樣的兩位數共有（ ）A1個 B3個 C4個 D5個9、放成一排的2005個盒子中共有4010個小球，其中最左端的盒子中放了a個小球，最右端的盒子中放了b個小球，如果任何相鄰的12個盒子中的小球共有24個，則（ ）Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1，b=2 Da=2，b=110、已知整數，滿足，且那么x2y2z2的值等于（ ）A2 B14 C2或14 D14或17二、填空題（每小題5分，共50分.含兩個空的小題，前空3分，后空2分.）11、如果|a|=3，|b|=5，那么|ab|ab|的絕對值等于 .12、已知，則= .13、某汽車從A地駛向B地，若每分鐘行駛a千米，則11點到達，若每分鐘行駛a千米，則1120時距離B地還有10千米；如果改變出發時間，若每分鐘行駛a千米，則11點到達，若每分鐘行駛a千米，則1120時已經超過B地30千米。A、B兩地的路程是 千米。14、若是一個六位數，其中a，b，c是三個互異的數字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍數，那么M的最小值是 .15、分解因式： .16、若在凸n(n為大于3的自然數)邊形的內角中，最多有M個銳角，最少有m個銳角，則M= ；m= .17、如圖1，等腰RtABC的直角邊長為32，從直角頂點A作斜邊BC的垂線交BC于D1，再從D1作D1D2AC交AC于D2，再從D2作D2D3BC交BC于D3，則AD1D2D3D4D5D6D7D8D9= 圖1ABCD1D2D3D4D5 ；D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10= .ABCDEFG圖4ABCFE圖2圖318、如圖2，將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3(其中EFBC)，已知圖3的面積與原三角形的面積之比為34，且陰影部分的面積為8平方厘米，則原三角形面積為 平方厘米。19、如圖4，ABC中，BCAC=35，四邊形BDEC和ACFG均為正方形，已知ABC與正方形BDEC的面積比是35，那么CEF與整個圖形的面積比等于 .20、如果正整數n有以下性質：n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數，那么n就稱為“希望數”，則最小的希望數是 .甲甲圖5乙乙AB三、解答題（每題10分，共30分） 要求：寫出推算過程.21、圖5是一個長為400米的環形跑道，其中A、B為跑道對稱軸上的兩點，且A、B之間有一條50米的直線通道。甲、乙兩人同時從A點出發，甲按逆時針方向以速度v1沿跑道跑步，當跑到B點處時繼續沿跑道前進，乙按順時針方向以速度v2沿跑道跑步，當跑到B點處時沿直線通道跑回A點處。假設兩人跑步時間足夠長。求：如果v1v2=32，那么甲跑了多少路程后，兩人首次在A點處相遇？如果v1v2=56，那么乙跑了多少路程后，兩人首次在B點處相遇？22、如果a是小于20的質數，且可化為一個循環小數，那么a的取值有哪幾個？如果a是小于20的合數，且可化為一個循環小數，那么a的取值有哪幾個？圖6ABCDP23、如圖6，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點，P是AC邊上的點，連結PB和PD得到PBD。求：當點P運動到AC的中點時，PBD的周長；PBD的周長的最小值。第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽參考答案及評分標準初中二年級 第2試一、選擇題（每小題5分） 題號12345678910答案BCDBCABCAA二、填空題（每小題5分，含兩個空的小題，前空3分，后空2分） 題號11121314151617181920答案6544683213；031；3116215320512三、解答題21、設甲跑了n圈后，兩人首次在A點處相遇，再設甲、乙兩人的速度分別為v1=3m，v2=2m，由題意可得在A處相遇時，他們跑步的時間是 （2分）是 （3分）因為乙跑回到A點處，所以應是250的整數倍，從而知n的最小值是15，（4分）所以甲跑了15圈后，兩人首次在A點處相遇 （5分）設乙跑了米，甲跑了米時，兩人首次在B點處相遇，設甲、乙兩人的速度分別為v1=5m，v2=6m，由題意可得，即 ， （7分）所以，即(p，q均為正整數)。所以p，q的最小值為q=2，p=4， （8分）此時，乙跑過的路程為2504200=1200（米）。 （9分）所以乙跑了1200米后，兩人首次在B點處相遇。 （10分）22、小于20的質數有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）除了2和5以外，其余各數的倒數均可化為循環小數， （4分）所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）由可知，只要合數a的因數中含有2或5以外的質數，那么該數的倒數均可化為循環小數，（8分）所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）23、如圖1，當點P運動到AC的中點時，BPAC，DPAB， （2分）所以 ， （4分）即ABC的周長為BPDPBD=。 （5分）圖2ABCDPGFE圖1ABCDP如圖2，作點B關