線性二次型最優控制器設計,講解人：胡玲笑,線性二次型最優控制器設計,本節主要內容： 線性二次型最優控制器概述 連續系統線性二次型最優控制 離散系統線性二次型最優控制 線性二次型Gauss最優控制,應用經典控制理論設計控制系統，能夠解決很多簡單、確定系統的實際設計問題。但是對于諸多新型而復雜的控制系統，例如多輸入多輸出系統與階次較高的系統，往往得不到滿意的結果。這時就需要有在狀態空間模型下建立的最優控制策略。 最優控制是現代控制理論的核心。所謂最優控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務時，使系統的某種性能指標具有最優值。根據系統不同的用途，可提出各種不用的性能指標。最優控制的設計，就是選擇最優控制，以使某一種性能指標為最小。,一、線性二次型最優控制概述,線性二次型最優控制設計是基于狀態空間技術來設計一個優化的動態控制器。系統模型是用狀態空間形式給出的線性系統，其目標函數是狀態和控制輸入的二次型函數。二次型問題就是在線性系統約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數達到最小。 線性二次型最優控制一般包括兩個方面：線性二次型最優控制問題（LQ問題），具有狀態反饋的線性最優控制系統；線性二次型Gauss最優控制問題，一般是針對具體系統噪聲和量測噪聲的系統，用卡爾曼濾波器觀測系統狀態。,1.連續系統線性二次型最優控制原理 假設線性連續定常系統的狀態方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目標函數 為最小。式中，Q為半正定是對稱常數矩陣，R為正定實對稱常數矩陣，Q、R 分別為X和U的加權矩陣。,根據極值原理，我們可以導出最優控制律： 式中，K為最優反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須 滿足黎卡夫（Riccati）代數方程 因此，系統設計歸結于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并 求出反饋增益矩陣K。,2.連續系統二次型最優控制的MATLAB函數,在MATLAB工具箱中，提供了求解連續系統 二次型最優控制的函數：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其調用格式為：,其中，A為系統的狀態矩陣；B為系統的輸出矩 陣；Q為給定的半正定實對稱常數矩陣；R為給 定的正定實對稱常數矩陣；N代表更一般化性 能指標中交叉乘積項的加權矩陣；K為最優反饋 增益矩陣；S為對應Riccati方程的唯一正定解P （若矩陣A-BK是穩定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。,其中， lqry()函數用于求解二次型狀態調節器的特 例，是用輸出反饋代替狀態反饋，即其性能指標為： 這種二次型輸出反饋控制叫做次優控制。 此外，上述問題要有解，必須滿足三個條件： （1） （A，B）是穩定的； （2） R0且Q-NR-1NT0; （3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虛軸上不是非能觀 模式。 當上述條件不滿足時，則二次型最優控制無解，函數 會顯示警告信號。,3.連續系統二次型最優控制設計實例,【例8.7】設系統狀態空間表達式為： (1)采用輸入反饋，系統的性能指標為： 取 ，R=1,(2)采用輸出反饋，系統的性能指標為： ，取Q=1,R=1 試設計LQ最優控制器，計算最優狀態反饋矩陣 ，并對閉環系統進行單位階躍的 仿真。 【解】 （1）我們可以用MATLAB函數lqr()來求解LQ最 優控制器，程序清單如下：,A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=diag(1,1,1); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序運行結果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046,同時得到閉環階躍響應曲線，如圖1-1所示。 圖1-1 閉環系統階躍響應曲線,由圖1-1可知，閉環系統單位階躍響應曲線略微 超調后立即單調衰減，仿真曲線是很理想的，反 映了最優控制的結果。 （2）我們可以用MATLAB函數lqry()來求解LQ最優控 制器，給出程序清單如下： A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc),程序運行結果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同時得到閉環階躍響應曲線，如圖1-2所示。 圖1-2 閉環系統階躍響應曲線 由圖1-1和圖1-2知，經最優輸出反饋后，閉環系統階躍響應曲線與經最優狀態反 饋后的階躍響應曲線很接近。,三、離散系統線性二次型最優控制,下面對離散系統線性二次型最優控制進行詳細介紹。 1、離散系統線性二次型最優控制原理 假設完全可控離散系統的狀態方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目標函數 為最小。,式中，Q為半正定實對稱常數矩陣；R為正定實對稱 常數矩陣；Q、R分別為X和U的加權矩陣。 根據極值原理，我們可以導出最優控制律： 式中，K為最優反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必 須滿足黎卡夫（Riccati）代數方程 因此，系統設計歸結于求解黎卡夫（Riccati）方程 的 問題，并求出反饋增益矩陣K。,2.離散系統二次型最優控制的MATLAB函數,在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統二次型最優控制的函 數dlqr()與dlqry()。其調用格式為： 其中，A為系統的狀態矩陣；B為系統的輸出矩陣；Q為給定的半正定 實對稱常數矩陣；R為給定的正定實對稱常數矩陣；N代表更一般化性 能指標中交叉乘積項的加權矩陣；K為最優反饋增益矩陣；S為對應 Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩定矩陣，則總有正定解P 存在）；E為矩陣A-BK的特征值。,其中，dlqr()函數用于求解二次型狀態調節器的特例，是用輸出反饋代替狀態反饋，即 ，則其性能指標為： 3.離散系統二次型最優控制設計實例 【例2】設離散系統的狀態方程 試計算穩態最優反饋增益矩陣，并給出閉環系統的單位階躍響應曲線。,【解】 設定性能指標為 ， 取 ,R=1。 用MATLAB函數dlqr()來求解最優控制器，給出程序清 單如下： %求解最優控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=1000,0;0,1; R=1; A=a,0;-c*a,1; B=b;-c*b; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1); bxc=0;1;cxc=1,0;dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100),程序運行后得到系統最優狀態反饋增益矩陣KX為： Kx =1.9981 -0.0310 以及閉環系統的階躍響應曲線，如圖1-3所示。 圖1-3 閉環系統階躍響應曲線,四、 線性二次型Gauss最優控制,考慮系統隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型的最優控制叫 做線性二次Gauss(LQG)最優控制。這是一種輸出反饋控制，對解決線性 二次型最優控制問題更具有實用性。 1.LQG最優控制原理 假設對象模型的狀態方程表示為： 式中，(t)和(t)為白噪聲信號，(t)為系統干擾噪聲，(t)為傳感器帶來的 量測噪聲。假設這些信號為零均值的Gauss過程，它們的協方差矩陣為： 式中，Ex為向量x的均值。ExxT為零均值的Gauss信號x的協方差。 進一步假設(t)和(t)為相互獨立的隨機變量，使得E (t)T(t) =0。定義最 優控制的目標函數為： 式中，Q為給定的半正定實對稱常數矩陣，R為給定的正定實對稱常數矩陣。,根據LQG問題的分離原理，典型的線性二次型Gauss最優控制的解 可以分解為下面兩個問題： LQ最優狀態反饋控制問題； 帶有擾動的狀態估計問題。 設計LQG控制器的一般步驟如下。 （1）根據二次型的性能指標J，尋求最優狀態反饋增益矩陣K。 （2）設計一個卡爾曼濾波器來估計系統狀態。 （3）構建LQG控制器。 下面介紹Kalman濾波器和LQG控制器設計的MATLAB實現。 2. Kalman濾波器 在實際應用中，若系統存在隨機擾動，通常系統的狀態需要由狀態方 程Kalman濾波器的形式給出。 Kalman濾波器就是最優觀測器，能夠抑 制或濾掉噪聲對系統的干擾和影響。利用Kalman濾波器對系統進行最優 控制是非常有效的。,在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函數來求解系統的Kalman濾波 器。其調用格式為： 對于一個給定系統sys，噪聲協方差Q，R，N函數返回一個Kalman濾波器 的狀態空間模型kest,濾波器反饋增益為L，狀態估計誤差的協方差為P。用 MATLAB構建的Kalman狀態觀測器模型為： 【例3】已知系統的狀態方程為： 已知 ，試設計系統Kalman濾波器。 【解】 為計算系統Kalman濾波器的增益矩陣與估計誤差的協方差，給出一下程序：,% Kalman濾波器 A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2; B=6,1,1;C=0,0,1;D=0; S=ss(A,B,C,D); Q=0.001;R=0.1; kest,L,P=kalman(S,Q,R); L,P 運行程序，得到系統Kalman濾波器的增益矩陣L與估計誤差的協方差 P為： L = 1.0641 1.1566 2.0393 P = 0.0678 0.0664 0.1064 0.0664 0.0695 0.1157 0.1064 0.1157 0.2039,3.LQG最優控制器的MATLAB實現,我們已經知道，LQG最優控制器是由系統的最優反饋增益K和 Kalman濾波器構成，其結構如圖1-4所示。 圖1-4 LQG最優控制器框圖,Kalman濾波,-K,W,V,Y,x,u,+,+,LQG控制器,在系統最優反饋K和Kalman濾波器設計已經完成的情況下，可借助 MATLAB工具箱函數reg()來實現LQG最優控制。函數調用格式為： rlqg=reg(sys,K,L) 其中，sys為系統狀態空間模型，K為用函數lqr()等設計的最優反饋增益，L 為濾波器反饋增益，rlqg為LQG調節器。 【例3】已知控制系統結構圖如圖1-5所示，Simulink仿真模型為untitled.mdl。 試對系統進行LQG最優控制，并給出系統閉環的單位階躍響應曲線。 圖1-5 系統結構圖,【解】 根據題意，要將已知系統結構圖模型轉換成狀態空間模型，需要 調用函數linmod()。取加權矩陣Q1=1,R1=1,以及噪聲矩Q2=0.001,R2=0.1。 給出程序如下： %生成狀態空間模型 a,b,c,d=linmod(untitled); s1=ss(a,b,c,d); q1=1000,0,0;0,1,0;0,0,1;r1=1; K=lqr(a,b,q1,r1) %設計Kalman濾波器 q2=1;r2=1; kest,L,P=kalman(s1,q2,r2); %LQG校正器 af,bf,cf,df=reg(a,b,c,d,K,L);