1.3.2 函數的奇偶性,生 活 中 的 對 稱,故宮博物院,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-3,1,2,3,4,5,6,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-3,1,2,3,4,5,6,觀察下面兩個函數圖象，它們有什么共同特征？,結論：這兩個函數的圖象都關于y軸對稱。,y=x2,y=|x|,y,x,2,0,1,2,3,-1,-2,-3,1,3,4,5,6,f(-3)= 9,實際上，對于R內任意的一個x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),f(-x) f(x),表（1）,填寫表（1），你發現了什么？,f(-1)= 1,f(-2)= 4,x,-x,y=x2,=f(1),=f(2),=f(3),=,這時我們稱函數y=x2為偶函數。,-1,x,-3,-2,0,1,2,3,y=x2,-1,x,-3,-2,0,1,2,3,填寫表（2），你發現了什么？,實際上，對于R內任意的一個x,都有f(-x)=|-x|=|x|=f(x), 這時我們稱函數y=|x|為偶函數。,f(-2)= 2 =f(2),f(-1)= 1 =f(1),f(-x) = f(x),y=|x|,f(-3)= 3 =f(3),偶函數定義：,一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數。,例如：函數 y=x2+1， 都是偶函數，它們的圖象分別如下圖(1)、(2)所示.,y=x2,偶函數的圖像特征,圖象關于y軸對稱,函數為偶函數,是偶函數嗎？,問題：,不是。,性質：偶函數的定義域關于原點對稱,解：,性質：偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反。,y=x2,例：,單調性如何變化？,觀察下面兩個函數你能發現它們有什么共同特征嗎？,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,結論：兩個函數圖象都關于原點對稱。,f(x)=x,f(-3)= -3 =,實際上，對于R內任意的一個x,都有f(-x)=-x=-f(x),這時我們稱函數y=x為奇函數。,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(-x) -f(x),填寫表（3），你發現了什么？,f(-1)= -1,f(-2)= -2 =,x,-x,-f(1),=,-f(2),-f(3),=,f(x)=x,-1,x,-3,-2,0,1,2,3,y=x,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,填寫表（4），你發現了什么？,f(-3)= =-f(3),f(-1)= -1 =-f(1),f(-2)= =-f(2),f(-x) = -f(x),-1,x,-3,-2,0,1,2,3,奇函數定義：,一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函數。,奇函數的圖像特征,y=x3,O,圖象關于原點對稱,函數為奇函數,問題：,是奇函數嗎？,解：,不是。,性質：奇函數的定義域關于原點對稱。,例5、判斷下列函數的奇偶性：,(1)解：定義域為R,即f(-x)=f(x),f(x)為偶函數,(2)解：定義域為R,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數,(3)解：定義域為x|x0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數,(4)解：定義域為x|x0,即f(-x)=f(x),f(x)為偶函數, f(-x)=(-x)4=x4=f(x), f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x),例 6、判斷下列函數的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,解：（1）函數f(x)=x+x3+x5的定義域為，,又因為f(x)=（x）+（x）3+（x）5,當xR時, - xR, xx3x5, （x+x3+x5 ）, f(x),所以函數f(x)=x+x3+x5是奇函數。,所以，函數f(x)= x2+1是偶函數,又因為f(x)= （x）2+1,（）函數f(x)= x2+1的定義域為，,當XR時, - X R,= x2+1, f(x),例 、判斷下列函數的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,（3）函數f(x)=x+1的定義域為，,當XR時, - X R,又因為f(x)=（x）+1,=-(x1),而f(x)= -(x + 1)=-x-1,所以f(x) f(x)且f(x) f(x),因此 函數f(x)= x+1既不是奇函數也不是偶函數。,例 、判斷下列函數的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,（4） 因為，而 ，,所以函數f(x)= x2 ，x，既不是奇函數也不是偶函數。,例 、判斷下列函數的奇偶性： （1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1； （3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x， （5） f(x)=0,5）函數f(x)= 0的定義域為，,當XR時, - X R,又因為f(x)= 0， f(x)= 0,所以f(x) = f(x)且f(