第2講 函數的應用,專題二 函數與導數,熱點分類突破,真題押題精練,熱點一 函數的零點 1.零點存在性定理 如果函數yf(x)在區間a，b上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數yf(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根. 2.函數的零點與方程根的關系 函數F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數yf(x)的圖象與函數yg(x)的圖象交點的橫坐標.,例1 (1)(2017屆陜西黃陵中學月考)已知函數f(x) log2x，在下列區間 中，函數f(x)存在零點的是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，),答案,解析,解析 由于f(2)310，f(4) 20， 故零點所在區間為(2,4).,(2)(2017屆河北滄州一中月考)已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x)，且當x0,1時，f(x)x，則方程f(x)log3|x|的解的個數是 A.0 B.2 C.4 D.6,答案,解析,思維升華,解析 運用函數的奇偶性、周期性在同一平面直角坐標系中畫出函數yf(x)，ylog3|x|的圖象，結合圖象可以看出：兩個函數yf(x)，ylog3|x|有四個不同的交點，即方程f(x)log3|x|有四個解，故選C.,思維升華 函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有 (1)函數零點大致存在區間的確定. (2)零點個數的確定. (3)兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合法求解.,跟蹤演練1 (1)(2017屆河北磁縣一中月考)函數f(x)|x| 3的零點所在的區間為 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),答案,解析,(2)(2017屆甘肅高臺縣一中檢測)已知函數f(x)滿足：定義域為R；xR，都有f(x2)f(x)；當x1,1時，f(x)|x|1，則方程f(x) log2|x|在區間3,5內解的個數是 A.5 B.6 C.7 D.8,答案,解析,解析 畫出函數圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解.,熱點二 函數的零點與參數的范圍 解決由函數零點的存在情況求參數的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結合思想，構建關于參數的方程或不等式求解.,答案,解析,思維升華 方程f(x)g(x)根的個數即為函數yf(x)和yg(x)圖象交點的個數.,(，2,解析 由分段函數可知，當x0)有兩個交點，,(2)(2017屆河南中原名校質檢)已知定義在(0，)上的函數f(x)|4x(1x)|，若關于x的方程f 2(x)(t3)f(x)t20有且只有3個不同的實數根，則實數t的取值集合是_.,答案,解析,思維升華,思維升華 關于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數yf(x)的值域.,解析 設g(y)y2(t3)yt2， 當t2時，y0，y1顯然符合題意. 當t2時，兩根同號，只能有一個正根在區間(0,1)上，而g(0)t2，g(1)2t40，,跟蹤演練2 (1)已知函數f(x) 若關于x的方程f(x)k k0有唯一一個實數根，則實數k的取值范圍是_.,答案,解析,0,1)(2，),結合圖象可以看出當0k2時符合題設.,(2)(2017全國)已知函數f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a等于,答案,解析,解析 方法一 f(x)x22xa(ex1ex1) (x1)2aex1e(x1)1， 令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1. g(t)(t)2a(etet)1g(t)， 函數g(t)為偶函數. f(x)有唯一零點，g(t)也有唯一零點. 又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)0， 2a10，解得a . 故選C.,方法二 f(x)0a(ex1ex1)x22x.,當且僅當x1時取“”. x22x(x1)211，當且僅當x1時取“”. 若a0，則a(ex1ex1)2a， 要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a . 若a0，則f(x)的零點不唯一.故選C.,熱點三 函數的實際應用問題 解決函數模型的實際應用問題，首先考慮題目考查的函數模型，并要注意定義域.其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題.(2)數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關系，建立函數關系式.(3)解函數模型：利用數學方法得出函數模型的數學結果.(4)實際問題作答：將數學問題的結果轉化成實際問題作出解答.,思維升華 關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去.,例3 (2017屆湖北孝感市統考)經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/小時)(50x120)的關系可近似表示為：,解答,思維升華,(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？,解 當x50,80)時，,當x80,120時，函數單調遞減，故當x120時，y有最小值10. 因為910，故當x65時每小時耗油量最低.,(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？,思維升華 對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法.,解答,思維升華,當x50,80)時，,當x120時，l取得最小值10. 因為1016，所以當速度為120千米/小時時，總耗油量最少.,跟蹤演練3 (2017屆運城期中)為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似的表示為y x2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？,解答,解 由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為,(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？,解答,解 設該單位每月獲利為S，,因為400x600， 所以當x400時，S有最大值40 000. 故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損.,真題體驗,1.(2016天津改編)已知函數f(x) (0，xR).若f(x)在區 間(，2)內沒有零點，則的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,因為函數f(x)在區間(，2)內沒有零點，,1,2,3,所以函數f(x)在區間(，2)內沒有零點時，,1,2,3,2.(2017山東改編)已知當x0,1時，函數y(mx1)2的圖象與y m的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是_.,(0,13，),答案,解析,1,2,3,1,2,3,要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點， 只需g(1)f(1)，即1m(m1)2， 解得m3或m0(舍去). 綜上所述，m(0,13，).,1,2,3,8,答案,解析,1,2,3,解析 由于f(x)0,1)，則只需考慮1x10的情況，在此范圍內，xQ，且xZ時，,若lg xQ，則由lg x(0,1)，,1,2,3,因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內xD對應的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內xD部分的交點，畫出函數草圖.,圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期內xD部分，,1,2,3,則在x1附近僅有1個交點，因此方程解的個數為8.,1,2,3,押題預測,答案,解析,押題依據 函數的零點是高考的一個熱點，利用函數圖象的交點確定零點個數是一種常用方法.,押題依據,1,2,3,1.f(x)2sin xx1的零點個數為 A.4 B.5 C.6 D.7,1,2,3,解析 令2sin xx10，則2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1， 則f(x)2sin xx1的零點個數問題就轉化為兩個函數h(x)與g(x)圖象的交點個數問題.,1,2,3,所以兩個函數圖象的交點一共有5個， 所以f(x)2sin xx1的零點個數為5.,2.已知函數f(x) 若函數g(x)f(x)2x恰有三個不同的 零點，則實數a的取值范圍是 A.1,1) B.0,2 C.(2,2 D.1,2),答案,解析,押題依據 利用函數零點個數可以得到函數圖象的交點個數，進而確定參數范圍，較好地體現了數形結合思想.,押題依據,1,2,3,1,2,3,所以g(x)0的三個不同的實數根為x2(xa)，x1(xa)，x2(xa). 再借助數軸，可得1