專題五 解析幾何 第1講 圓與圓錐曲線的基本問題練習(xí)一、選擇題1.已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M、N分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A.54 B.54C.53 D.53解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B2.(2015全國卷)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析由題意知M在雙曲線C：y21上，又在x2y23內(nèi)部，由得y，所以y0b0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3，0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選D.答案D4.(2016四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖，由題可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y00時(shí)，kOM0時(shí)，kOM0，要求kOM最大值，不妨設(shè)y00.則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2等號(hào)成立.故選C.答案C5.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a，b0)的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M.若|MF2|F1F2|，則C的離心率是()A. B.C. D.解析不妨設(shè)c1，則直線PQ：ybxb，兩漸近線為yx，因此有交點(diǎn)P，Q，設(shè)PQ的中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，因?yàn)榫€段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)，因此有kMN，所以34a2b21a2，所以a2，所以e.答案B二、填空題6.(2015浙江卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y3x4y10.令z3x4y10，則3x4y10z0.當(dāng)直線3x4y10z0與圓x2y21相切時(shí)，z取最值，故1，z5 或z15，|2xy4|6x3y|的最大值為15.答案157.(2016浙江卷)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義需滿足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案(2，8)8.(2016深圳第二次調(diào)研)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(0，2)，則p等于_.解析由題意知直線AB的方程為yx，垂直線平分線方程為yx2，聯(lián)立上面兩直線方程得y1，x1，即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)A，B，則，1p，p.答案三、解答題9.(2015全國卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以1.解得k.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.10.(2014全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0，2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得1. 將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b 2 .11.已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.解(1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.法二由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2，依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2，1)對(duì)稱，且|AB|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y