1、1,第10章幾何光學的近軸理論,光線模型幾何光學的實驗定律成像定理光學儀器,2,10.2幾何光學的基本概念,1.幾何光學是關于物體所發出的光線經光學系統的成像理論。2.幾何光學是建立在實驗的基礎之上的。3.幾何光學中，光的物理模型是幾何學上的線，即“光線”。4.“光線”模型來自于物理實驗,3,4,光的反射與折射,5,反射定律、折射定律實驗,6,一、幾何光學的實驗定律,1光的直線傳播定律在均勻媒質中，光沿直線傳播。,P,Q,7,如果介質是非均勻的，則光的傳播將會發生偏折，即不再沿著一條直線傳播。但是，總可以設法發現光傳播的路徑，這條路徑是折線或曲線。根據這一事實，也可以得出這樣的結論，既然在媒質

2、中，光總是沿直線、折線、或曲線傳播，那么就可以用一條幾何上的線來描述和研究光的傳播，這就是“光線”。,8,2光的反射律,物,觀察者（接收器）,平面鏡,擋板,9,反射光在入射面內,界面,入射面,10,光的反射定律,1）反射光在入射面內2）反射光線與入射光線在界面法線的兩側3）反射角等于入射角,11,3、光的折射定律,介質2,介質1,分界面,物,像,只與兩種介質有關，折射率,12,折射光在入射面內,Snell定律,界面,入射面,Descartes定律,折射光線與入射光線在界面法線的兩側,13,實驗定律的數學表示,14,光的色散,一束平行的白光（復色光）從一種媒質（例如真空或空氣）射入另一種媒質時，

3、只要入射角不等于0，不同顏色的光在空間散開來。說明不同顏色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。,15,4、光的可逆性原理,上述實驗定律都反映了光路的可逆性,光路可逆物像可逆光強可逆,16,光線如果沿原來反射和折射方向入射時，則相應的反射和折射光將沿原來的入射光的方向。,如果物點Q發出的光線經光學系統后在Q點成像，則Q點發出的光線經同一系統后必然會在Q點成像。即物像之間是共軛的。,Q,Q,17,二、Fermat原理,P,Q,光實際傳播的路徑，是與介質有關的。,Theactualpathbetweentwopointstakenbyabeamoflightistheonewhichistrave

4、rsedintheleasttime.,18,費馬（Fermat）原理：兩點間光的實際路徑，是光程平穩的路徑。（1679年）光程：折射率光所經過的路程，即nS。一般情況下為折射率的路徑積分。平穩：極值（極大、極?。┗蚝愣ㄖ?。在數學上，用變分表示,19,橢球面內兩焦點間光的路徑，光程為恒定值,20,在橢球面上一點作相切的平面和球面，則經平面反射的光線中，實際光線光程最小，經球面反射的光線中，實際光線光程最大。,21,拋物面焦點發出的光，反射后變為平行光，匯聚在無窮遠處，光程為極大值。,22,原理與定律,可以由Fermat原理導出幾何光學的實驗定律所以可以說，Fermat原理是更基本的一般來說，任

5、何一門學科，都有著無法證明的（指從理論上無法證明）最基本的假設，這就是原理，是這一學科所建立的基礎。,23,物像之間的等光程性物點A與像點A之間的光程總是相等的。但由于兩者是物像關系，所以，只有通過相同光具組的光線的光程才是相等的,24,幾何光學的局限,幾何光學是關于光的唯象理論。不涉及光的物理本質。對于光線，是無法從物理上定義其速度的。在幾何光學領域，也無法定義諸如波長、頻率、能量等物理量。也可以說：幾何光學就是三大實驗定律在幾何學中的應用,25,三、幾何光學定律成立的條件,1光學系統的尺度遠大于光波的波長。2介質是各向同性的。3光強不是很大。,26,3個簡單的平面成像問題,平面折射成像（1

6、）平面可以折射成像嗎？（2）用最簡單直接的方法如何計算？,27,10.3反射與折射的應用,10.3.1光在平面上的反射,28,“虛光線”與“虛像”,光線并沒有進入平面的下方所以，像點并不是真實光線匯聚而成的而是視覺上將反射光線反向延長后匯聚形成的因而，反射光線的反向延長線就是“虛光線”，這樣形成的像就是“虛像”。,29,虛光程,按照費馬原理，物像之間應該是等光程的,上式對任意方向光線成立的條件為等式的值為0,則虛像所在的空間，即平面下方的折射率為,虛光線的光程稱作虛光程,30,在平面反射的情形下，物與像點點對應，所以平面鏡可以嚴格成像,31,10.3.2光在平面上的折射,1折射光來自同一點光源

7、的入射光，經平面折射后，其折射光線的反向延長線不再匯聚于同一點因而嚴格說來，平面折射是不能成像的不是不能成像，而是不能嚴格成像,32,用折射定律近似計算像距,像方折射率n物方折射率n，物到界面距離s，求像到界面距離s,在光線束孔徑很小的情況下，平面可以近似成像,即光線之間挨得較近,33,白光入射,2棱鏡,偏轉角,有最小偏轉角,如果,紅光,黃光,藍光,34,光的全反射,35,3全反射,有可能,但,所以，當,時，折射光實際上不存在，,只有反射光,這種情況就是全反射，也稱全內反射,36,出現全反射的最小入射角稱作全反射臨界角,全反射臨界角,光線從光密介質射向光疏介質，折射角比入射角大入射角滿足就會出

8、現全反射,37,4全反射棱鏡,倒轉棱鏡(阿米西棱鏡）,屋脊形五棱鏡,38,珀羅組合棱鏡,39,其它類型的組合全反射棱鏡,阿貝-科尼組合棱鏡,施密特-樸漢組合棱鏡,珀羅組合棱鏡,珀羅-阿貝組合棱鏡,40,棱錐反射體,從斜面射入、再經三個直角面全反射、最后從斜面出射的光，沿原路返回,棱錐陣列反射器：阿波羅棱鏡陣列、自行車尾燈、路牌、,41,色散棱鏡,阿貝棱鏡,佩林-布羅卡棱鏡,全反射使光線間隔進一步增大,42,分色棱鏡,利用全反射，以及二向色性光學薄膜、或者干涉濾波薄膜的濾波作用，使不同波長的光分開,低通涂膜,高通涂膜,紅綠藍三基色分開,各自被CCD記錄,再將信號組合,還原為原來的色彩,43,5.

9、光纖,單根光線不能傳輸圖像,依靠集束光線傳輸圖像,纖芯0.1mm,包膜,保護層,44,將媒質分成一系列薄層，設每一層中的折射率是均勻的，則每一層中，光線是直線。,10.4變折射率光學,不均勻的媒質，其折射率是各處不同的，例如大氣層，受到重力、溫度、湍流等因素的影響，是變折射率介質。其中光線不再沿直線傳播。對于漸變折射率介質，可以導出光線的基本方程設在直角坐標系中，折射率只在y方向變化,x,y,45,光線方程,46,例10.4.1一條筆直平坦的高速公路上方空氣的折射率隨高度y的變化規律，式中，是地面處空氣的折射率。一個人站在公路上向遠處觀察，他的眼睛離地面的高度為H=1.6m，問此人能看到公路上

10、最遠的距離是多少？,47,由于,，可以將,略去,光線軌跡為,48,例10.4.2光纖的折射率式中為比1小得多的常數，為光纖軸線中心的折射率，試求傳導光線的軌跡方程，并證明：在近軸光線條件下，光纖有自聚焦的特性。,階躍型光纖，折射率沿徑向呈階梯形分布，是全反射光纖，用于圖像傳輸，以及光信號傳輸。折射型光纖（或梯度型光纖），本題討論的即是這種新型光纖?？梢詫⒐饫w分割成許多同軸薄圓筒，由對稱性可知，只需要分析含光纖軸線的截面內的光線軌跡即可。,49,常量,50,振幅,空間頻率,小角度入射時（傍軸近似），,所有光線有相同的周期,有自聚焦效應。自聚焦光纖,51,10.5近軸光在單球面上的成像,10.5.

11、1物與像的虛實性1同心光束從同一點發出的或匯聚到同一點的光線束，稱為同心光束。,從光線的性質看，物上的每一點都發出同心光束，而像點都由同心光束會聚得到。,52,物,像,2物方和像方,物點所在的空間為物方空間像點所在的空間為像方空間,物方空間,像方空間,觀察者，或接收器所在的空間,物所在的空間,物光線經過光具成像，則經過光具的光線所在的空間就是像方,虛像所在的空間不是像方,物方,像方,反射鏡的物方和像方重合,53,3實物與虛物，實像與虛像發出同心光束的物點，為實物點；物方同心光束延長后匯聚所成的點，為虛物點。,物方,像方,實物,虛物,實物,虛物所在的空間不是物方,物方,像方,54,經過光具組后的

12、同心光束，匯聚在像方形成的點，為實像點；像方發散的同心光束反向延長后匯聚的點，為虛像點。,像方,物方,實像,虛像,像方,55,實物成實像,實物成虛像,虛物成實像,虛物成虛像,56,10.5.2近軸光在單球面上的成像,57,從Q點發出的光線QM折射后變為MQMQ與沿光軸的光線QOQ相交成像,1.軸上物點成像,58,59,在QMC和QMC中分別應用余弦公式,60,不同，s不同，即從Q點發出的同心光束不能保持同心性,61,欲使折射光線保持同心性，必須(1)滿足近軸（傍軸）條件,折射球面的光焦度,或者(2),沒有意義,只有,這就是平面鏡,取,62,平行光入射,像方焦距，像點Q所在位置為像方焦點,折射光

13、為平行光,物方焦距，物點Q所在位置為物方焦點,Gauss公式,63,各種類型的折射球面,64,65,66,物像公式中各參量的符號,虛像的像距取負值,對物方凸球面的半徑取正值，凹球面半徑取負值,67,匯聚入射光線的情形,虛物,物方入射光線束的虛擬匯聚點,虛物的物距取負值,68,（1）物方和像方：以光線入射的一方作為物方，另一方為像方。（2）物點在物方，物距s0；物點在像方（虛物），物距s0；像點在物方（虛像），像距s0；向物方凹進的球面，r0；線段在主光軸之下，y0。,70,（6）角度自主光軸或球面法線算起，逆時針方向為正，順時針方向為負。,（8）對于反射球面，其物方和像方位于球面同一側。,（7

14、）圖中所標均為絕對值，對于是負值的參數，應在其前面加上負號。,71,3.軸外物點成像,相當于光軸繞球心旋轉，像隨物動,滿足近軸條件時，圓弧變為直線。,軸上物點成像在光軸上，軸外物點如何成像？,72,像的橫向放大率,73,焦點與焦平面,平行于光軸的入射光線經過球面折射后，匯聚于像方焦點。,由于單球面有無數個光軸，所以，凡是相互平行的入射光線，經折射后，都匯聚于與入射光線平行的光軸的像方焦點上。,所有這些像方的焦點構成一個球面。,74,在傍軸條件下，上述像方焦點可以看作是處于一個平面上，這就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光線都匯聚于像方焦平面上的同一點。同樣，可以得到并定義物方焦平面，從

15、該平面上一點發出的所有光線，經折射后，在像方為相互平行的光線,物方焦平面,像方焦平面,75,折射球面的光學參數,物方焦距,像方焦距,物方焦點,像方焦點,物方焦平面,像方焦平面,76,折射球面的光學性質,根據這些光學參數，可以得到任意一條光線的共軛光線,77,符號約定下的反射、折射定律,用同一數學公式表示反射、折射定律,78,由折射球面物像公式推導反射球面物像公式,反射鏡的像方在球面左側,曲率半徑,凹面鏡,焦點,球心,物方像方,79,凹面鏡,凸面鏡,80,凸面鏡（負鏡）,凹面鏡（正鏡）,對于實物，總是在焦點內側成正立縮小虛像,可以成倒立實像或放大虛像,81,4符號約定下像的橫向放大率公式,折射球

16、面,反射球面,82,5Lagrange-Helmhotz恒等式,對光線的角放大率為,Lagrange-Helmhotz恒等式,由于,可得到,83,10.6薄透鏡成像,10.6.1薄透鏡由兩個折射球面組成，過兩球面圓心的直線為光軸，頂點間距d。,就是薄透鏡，通常可以,可以認為，兩球面頂點重合，稱為光心，記為O。,如果滿足,84,逐次成像法,成像透鏡由兩個折射球面組成，透鏡使光線經過了兩個球面的折射可以用逐次成像法得到透鏡的成像公式物Q1經第一面折射成像Q2（應用物像關系可確定像）Q2無論虛實，總是發出光線的，對第二面來說等效于物Q2作為第二面的物，經第二面折射成像Q3（再次應用物像關系可確定像）

17、反復應用上述方法，可得到最終的像,85,10.6.2薄透鏡成像公式1用逐次成像法推導,虛物Q1經過2再一次成像,86,薄透鏡的光焦度，單位是屈光度（diopter，D），對于眼鏡，度數為100,物在像方，虛物,第一次成像,第二次成像,87,物方焦距,像方焦距,2薄透鏡的焦點與焦平面,88,磨鏡者公式,空氣中的薄透鏡,89,物方焦距,物方焦點,像方焦距,像方焦點,物方焦平面,像方焦平面,光心,光軸,極薄的平行玻璃平板，兩側折射率相等，通過光心的光線方向不變,薄透鏡的光學參數與光學特性,90,成像的基本光學單元,凡是存在簡單的物像關系，而且其中的距離有共同的度量起點，即可以用下述公式描述的光學器件

18、,是成像光具組的基本單元,單個折射面、反射面，以及薄透鏡，都是基本的成像單元,厚透鏡不是基本的成像單元，是兩個折射球面構成的光具組，用逐次成像法求解,91,例題：一個等曲率雙凸透鏡，放在水面上。球面半徑為3cm，中心厚度2cm，玻璃和水的折射率分別為1.50和1.33。透鏡下4cm處物點Q。計算兩曲面的光焦度，并計算Q點像的位置。,Q第一次成像,第二次成像，物距s2=0.02+0.054=0.074m，,在前鏡面下0.26m處。,92,正透鏡與負透鏡,焦距為正值的透鏡是正透鏡；焦距為負值的透鏡是負透鏡。正透鏡的像方焦點在像方；負透鏡的像方焦點在物方。正透鏡使入射的平行光匯聚在像方焦點；負透鏡使

19、入射的平行光發散。空氣中，中間厚邊緣薄的透鏡是正透鏡；中間薄邊緣厚的透鏡是負透鏡。,93,證明空氣中的正透鏡必定是中間厚邊緣??；負透鏡必定是中間薄邊緣厚所謂正透鏡，系指物方焦點在其物方，而像方焦點在其像方以平行光正入射證明,從費馬原理看光學成像,F,光線愈遠離光軸，所經過距離愈長,為使光程相等，則遠離光軸的光線，其在透鏡中的距離必須較短,所以正透鏡的形狀，必須愈遠離中心軸線，厚度愈薄,正透鏡的形狀，必定是中間厚邊緣薄的結構,平行光自左側入射，匯聚到正透鏡右側焦點,同理，負透鏡的形狀，必定是中間薄邊緣厚的結構,F,光線在透鏡中的光程虛光線的虛光程定值,94,圖示,Gauss物像公式,距離從光心算

20、起,95,Newton物像公式,Newton物像公式,如果距離從焦平面算起點在焦平面之外為正值,96,4像的橫向放大率,總放大率為兩次成像的放大率的乘積,第二次成像，是虛物成像,97,5Lagrange-Helmhotz恒等式,Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立,98,6薄透鏡作圖法,三對共軛的特殊光線,平行于光軸的入射光線經過像方焦點的光線,經過物方焦點的光線平行于光軸的像方光線,經過透鏡光心的入射光線經過透鏡光心的像方光線,F,F,99,物像作圖法,F,F,F,F,100,正透鏡作圖法,101,102,103,像方焦點,物方焦點,像方焦平面,物方焦平面,負透鏡作圖法,平行于光

21、軸的入射光線經過像方焦點的光線,經過物方焦點的光線平行于光軸的像方光線,經過透鏡光心的入射光線經過透鏡光心的像方光線,104,像方焦點,物方焦點,像方焦平面,物方焦平面,105,像方焦點,物方焦點,像方焦平面,物方焦平面,106,像方焦點,物方焦點,像方焦平面,物方焦平面,107,7透鏡組的成像作圖法,由多個透鏡或反射鏡組成的光具組，可以采用逐次成像法處理成像問題?？梢杂弥庇^的作圖法當然也可以反復應用成像公式計算,108,光具組的逐次成像,光線經第1鏡所成的像，作為第2鏡的物,109,虛像作為第2鏡的物,第1鏡的虛像對第2鏡發出實光線該虛像是第2鏡的實物,虛像,第1鏡的虛像不可能位于第2鏡的像

22、方，因而不可能是第2鏡的虛物,110,將物經第一個透鏡的所成的像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，依次逐個進行。,透鏡組的逐次成像作圖法,111,只要第一鏡的像處于第二鏡的物方，對于第二鏡來說都是實物，不論像的虛實,經過L1成虛像，但對于L2來說，發出真實的光線，是實物,逐次成像法過程中物和像的虛實性,112,虛像作為物,第一像在第二鏡的物方則為實物，在第二鏡的像方則為虛物。,逐次成像過程中，前次所成像本身的虛實性，與作為后一次成像物的虛實性，沒有直接關系,F1,F2,F2,F1,1.直接利用第一鏡的光線作圖；2.利用第二鏡的物的特殊光線作圖,113,L1的實像，對于L2來說，是虛物,只要第一鏡的像處于第二鏡的像方，對于第二鏡來說都是虛物。,第一鏡實像為第二鏡虛物,114,如果將上述第一透鏡的像作為第二透鏡的實物處理，則會得到錯誤的結果,115,另一種作法,1.直接利用第一鏡的光線作圖；2.利用第二鏡的物的特殊光線作圖,116,借助于焦平面的特性，找出虛物的折射光線,117,透鏡組的逐次成像計算法,對第一個透鏡用成像公式計算，確定像的位置將該像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，依次逐個進行。如果上述像是下一個透鏡的實物，則物距為正值，直接應用公式進行計算；如果是虛物，則其到第二透鏡的距離，即物距是負值。,118,高斯光學GaussianOptic