2025屆上海市寶山區高考三模數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.設aeR,集合/=B=[a,4],若4口8=[2,3],貝lja=

2.首項為2,公比為（的無窮等比數列｛見｝的各項和為.

3.若球的大圓的面積為9〃，則該球的體積為

5.已知力=（3,1）方=（1,2）,貝1|&在B上的數量投影是.

6.在（1+x）”的展開式中，第2項和第4項的系數相同，則〃=.

7.已知募函數/（X）過點（9,3）,若/（2a-l）</（3-2a）,則實數。的取值范圍是.

8.隨機變量X~N（105,192）,r~N（100,92）,P（X<A）=P（Y<A）,那么實數A的值

為.

9.已知復數聞=4,集合｛z||z-z°|=2,zeC｝所構成區域的面積是.

10.從1、2、3、4、5、6、7、8、9中依次取出4個不同的數，分別記作以及c、",若6和c+d的

奇偶性相同，則a、b、c、d的取法共有.種

11.如圖，要在A和。兩地之間修建一條筆直的隧道，現在從8地和C地測量得到：

NO3c=24.2°,ZDCB=35.4°,ZDBA=31.6°,ZDCA=17.5°.KOADAB=.（結果

精確到0.1。）

12.已知。>0,函數y=/（x）的定義域是[0,+8）,且滿足=占:記函數y=/（x）

的值域為N/,若存在6>a,使得對于任意符合要求的函數了=/（x）,均滿足：

試卷第1頁，共4頁

{JO=〃x),xe[0,a]u抄}}=4,則實數。的取值范圍是,

二、單選題

13.成對數據（4％）。=1,2,…,〃）的回歸方程為尸人+九則它們在項處的離差是（）

A.乂一（￡叫+6）

C.卜-（處+用

14.“x＞0”是“2、+：＞2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.如圖所示，長方體WBCO—44G〃中，AB=l,AD=2,AAl=3,P是線段4a上的動點,

則下列直線中，始終與直線3尸異面的是（）

B[CC.RCD.AC

16.已知曲線C：sin（x+2力=2x-y,尸（%,%）為曲線。上任一點，以下4個命題:

①曲線C與直線y=x+l恰有四個公共點；

②曲線C與直線＞=2無-1相切；

③%是5的函數；

④%是％的函數.

正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

試卷第2頁，共4頁

三、解答題

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，R4_L平面P/O,底面4BCD為矩形，E為線段PD的

中點，AB=\,PA=AD-2.

(1)求證：〃平面/CE；

(2)求直線AP與平面ACE的夾角的正弦值.

ax+1+a

18.已知QER,函數/(x+l)=log2

x+l

⑴若4=2,求函數/("的表達式及定義域;

⑵若關于X的方程人協-log2[(a-2)x+3"5]=0的解集中恰好只有一個元素，求實數。

的取值范圍.

19.2023世界人工智能大會擬定于七月初在我國召開，我國在人工智能芯片、醫療、自動

駕駛等方面都取得了很多成就.為普及人工智能相關知識，紅星中學組織學生參加“人工智能”

知識競賽，競賽分為理論知識競賽、實踐能力競賽兩個部分，兩部分的成績分為三檔，分別

為基礎、中等、優異.現從參加活動的學生中隨機選擇20位，統計其兩部分成績，成績統

計人數如表：

實踐理論基礎中等優異

基礎021

中等3b1

優異23a

(1)若從這20位參加競賽的學生中隨機抽取一位，抽到理論或實踐至少一項成績為優異的學

生概率為g.求。，6的值；

(2)在(1)的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績為優異的學生中，隨機抽取2人，

試卷第3頁，共4頁

求至少有一個人實踐能力的成績為優異的概率；

(3)若基礎、中等和優異對應得分為1分、2分和3分，要使參賽學生理論成績的方差最小,

寫出b的值.(直接寫出答案)

20.如圖，尸是拋物線r：V=2尤上一點，過點尸的直線/與軸分別交于43兩點，且3是

線段取的中點，。是拋物線r上異于點尸的動點.

⑴證明：直線/是拋物線「的切線；

⑵已知且△PQT的重心是「的焦點，求所在的直線方程;

AEPF

(3)若及戶分別在線段/。、尸。上，且=瓦7交時于點G，求證：點G是

的重心.

21.把一列函數工(無)<(無)、…工(無)、…按一定次序排列稱為函數列，記為M(x)}(〃是正

整數)，￡(x)為，(x)的導函數.記,(。)=,t=fn{x}-f，Xa\x>a\,

4(。)=』f=，(x)(“),x4a}.

nx

⑴若工(x)=J,求證：{￡(2025)}是等比數列；

n

(2)若力(x)=lnx/(x)=/；7々)-xk22,〃eN*),是否存在正數。，使得。任此⑷；

(3)已知力(無)在R上有最小值，求證“，(無)是偶函數”的充要條件是“對于任意正實數。，均

有M"(-c)=(c)

試卷第4頁，共4頁

《2025屆上海市寶山區高考三模數學試卷》參考答案

題號13141516

答案AADB

1.2

【分析】根據交集的定義求解即可.

【詳解】由/=B=[a,4],且/nB=[2,3],

所以a=2.

故答案為：2.

2.6

【分析】先由等比數列的求和公式，得到前〃項和，對前〃項和求極限，即可得出結果.

【詳解】因為無窮等比數列｛%｝的首項為2,公比為g,

3

所以包｝的各項的和為則61-0=6.

故答案為：6

3.36"

【分析】根據球的大圓的面積，先計算出球的半徑，進而可得球的體積.

【詳解】設球的半徑為R,

則球的大圓面積為9兀=7lR2,

解得R=3,

4

故該球的體積V=H；IR3=36兀，

故答案為3671

【點睛】本題考查了球的體積公式，面積公式,屬于基礎題.

3

4.-/0.75

4

【分析】根據誘導公式化簡即可得答案.

【詳解】因為cos]-1=',

答案第1頁，共15頁

（兀）?兀'兀)3

所LL以tts?m[a+%J=sm-

3

故答案為：-.

5.V5

n.A_

【分析】向量值在B上的數量投影為▼，先求出和|3|的值，再代入公式計算.

1^1

【詳解】已知a=(3,1),b=(1,2)f可得展b=3x1+1x2=3+2=5-

已知b—(1,2),可得出|二A/12+22=Jl+4=y/5-

根據向量投影的定義，z在B上的數量投影為喀，將aZ=5，舊|=有代入可得:

1^1

a-b5/T

-——j==73

\b\V5

故答案為：V5.

6.4

【分析】根據二項式展開式的通項公式求出第2項和第4項的系數，再根據這兩項系數相同

列出方程，進而求解〃的值.

【詳解】那么對于二項式(1+x)",其展開式的通項公式為&i=C；xLxx，=CK.

求第2項的系數：令r=l,可得第2項為心=《儲，所以第2項的系數為C：=〃.

求第4項的系數：令廠=3,可得第4項為所以第4項的系數為C；="("一-2)

因為第2項和第4項的系數相同，所以"="("W).

6

,八一r,口1(n-V)(n-2)

由于可得：I=----------------.

6

得6=川一3〃+2,即〃之一3〃-4=0.

解得〃=4或〃=-1.

因為幾為正整數，所以〃=-1舍去，故〃=4.

故答案為：4.

答案第2頁，共15頁

【分析】先利用事函數的定義求得/（X）的解析式，進而得/（X）的定義域與單調性，從而得

到關于〃的不等式組，解之即可得解.

【詳解】由題可設=因為函數/（x）過點（9,3）,

11

所以9'=3Da=-,所以函數〃x）=/，

所以函數〃切=￡是定義在[°，+8）上的增函數，

?>1

-2a-l>02

31

所以若/（2a-l）</（3-2a）,則?3-2aN0n—4a<l,

2（1—1<3—2。1

ia<\

所以實數。的取值范圍是

故答案為：

8.95.5

【分析】由正態分布性質可得X；；"~N（O,1）,工薩~N（O,1）,由此可利用對稱性構造

方程求得結果.

【詳解】???X~N（105,192）,r~N（100,92）,Z~^05~N（O,1）,^-^~N（O,1）,

■：P[X<A）=P（Y<A）,，得吼言四，解得：A=95.5.

故答案為：95.5.

9.32兀

【分析】運用復數的幾何意義畫圖計算即可.

【詳解】設z0=a+歷，已知|2。|=4可得J7壽=4,即點（。/）在以原點（0,0）為圓心，4為

半徑的圓上，如圖圓2.

設z=x+yi,z-z0-^x-a）+｛b-y^i,|z_z（J==2，

表示點（xj）,（a,b）兩點之間的距離為2.

則集合｛z||z-z°卜2,zeC｝所表示的圖形是以點（0,0）為圓心，6為半徑的圓的大圓3和以點

（0,0）為圓心，2為半徑的小圓1之間的圓環部分.

答案第3頁，共15頁

其面積為：S=Ttx6?—nx2?=32兀

集合｛zIIz-z。|=2,zwC｝所構成區域的面積是327r.

10.1584

【分析】根據與c+d的奇偶性相同分情況討論，再結合排列組合的知識分別計算出每

種情況的取法數量，最后將所有情況的取法數量相加即可.

【詳解】6與c+d的奇偶性相同有兩種情況：“+，與c+d均為偶數；”+b與c+d均為

奇數.

要使。+方與c+d均為偶數，則。、b、c、d要么全是奇數，要么全是偶數.

從1、3、5、7、9這5個奇數中取出4個不同數，其取法有C；種，得C；=）廠=5種.

從2、4、6、8這4個偶數中取出4個不同的數，其取法有C：種，得C：=l種.

取出的4個數進行全排列，排列數為A：種，得A：=4x3x2x1=24種.

所以6與c+d均為偶數的取法共有（C；+C：）xA：=（5+1）x24=144種.

要使。+6與c+d均為奇數，則。、b、c、d中兩個為奇數，兩個為偶數.

5x4

從5個奇數中取出2個不同的數，其取法有C；種，得C；===10種.

2x1

4x3

從4個偶數中取出2個不同的數，其取法有C；種，得C；=「=6種.

取出的4個數進行全排列，排列數為A：=24種.

所以”+6與c+d均為奇數的取法共有C；xC；xA：=10x6x24=1440種.

將。+6與c+d均為偶數和均為奇數的取法數量相加，可得總的取法數量為144+1440=1584

種.

故答案為：1584.

答案第4頁，共15頁

11.52.5°.

【分析】根據題意設/。48=夕，則-夕，在△4。。，△8。。，△BD4中,

八口十力』ef?二DCDCBDBDAD

刀別用正弦定理，行sinl750sin(731°-e1'.。。二.”4。，^~^二,八。再相

'UU/.Jsin(/D.[sin24.2sin35.4sin"sin31.6

化簡即可求解.

【詳解】由題可得N8/C=180°-24.20-35.40-31.60-17.50=73.1°,

設NDAB=0,則/D/C=73.1j.

AD_DC

由題意，在中，sinl7.5。一sin(73.1。-6)，

DCBD

在A_8DC中,

sin24.2°sin35.4°

BDAD

在△BZM中,

sin。sin31.6

將上述三式相乘，得sinl7.5°sin24.2°sin6=sin(71.3°-。卜in35.4°sin31.6°,

從而有sinl7.5°sin24.2°=(sin71.3°cot0-cos71.3°)sin35.4°sin31.6°,

卜皿75sm24.2。+c°s7L31

得cot。=X0.767：,

、sin35.4°sin31.6°sin71.3°

所以ND/8xarccotO.7672?52.5°.

故答案為：52.5°

1

12.—,+00

2

V5-1

【分析】設%—得到方程，解出》=,再轉化為不動點問題，再結合蛛網圖即

。"+12

可得到范圍.

1

【詳解】設。用

。”+1

y=x

,對蚱士求導得"一1

(-1)2,

12

y=；

x+l

1

則v|廠如

\2

2p-l

+1

2

7

答案第5頁，共15頁

這是一個“吸引不動點

由蛛網圖可知

1Vs-iA

VXGBa,G0,—%eN+，使得%=x,

2

故Vxe

因此{y|y=/(x),xe

1

另一方面,當xe時,---G

X+1

又〃x)=/

X+1

所以(中=/(x),xe

結合①②可知,

y\y=f{x},x&0,；}=pK=/6L0,6-11

(S--T-j+oo

2r2

故4=＜中=/(x)”

當2_4°＜避二1時，取6=苴二1滿足題意.

222

當選二L時，任取6＞。的實數，滿足題意.

2

故。的取值范圍為a2;

2

故答案為：

答案第6頁，共15頁

13.A

【分析】根據離差的概念，離差指的是觀測值與預測值之間的差值，所以求出預測值，作差

即可求出項的離差.

【詳解】因為回歸方程為y=&尤+九

所以它們在七處的預測值為+5,而觀測值為％,

所以根據離差的基本內涵可知，它們在x,處的離差為乂-（公，+b）.

故選：A.

14.A

【分析】根據基本不等式等號成立條件判斷充分性，取特值驗證判斷必要性即可.

【詳解】若x>0,貝!12，>1，所以T'+’NzJz工?'=2,

2V2

由2'=；得x=0,因為x>0,所以取不到等號，即2、+（>2,

所以“X>0”是“2、+5>2”的充分條件；

又尤=-1時，2-'+^?=|>2,所以“x>0”不是“2工+2>2”的必要條件.

綜上，“X>0”是“2工+吳2”的充分不必要條件.

故選：A

15.D

【分析】根據給定條件，結合長方體的結構特征及異面直線的意義，逐項判斷作答.

【詳解】在長方體/BCD-44GA中,

BBJ/DD,,當尸是4c與3a的交點時，8Pu平面片，BP與

當點P與￡重合時，8Pu平面2CC4，8P與8。相交，B不是;

答案第7頁，共15頁

當點P與4重合時，因為長方體N5CD-44G〃的對角面48cA是矩形，止匕時5尸//。。，

C不是；

因為/Cu平面48CZ）,5wNC,3e平面48CD,而尸任平面48CZ）,因此8P與/C是異面

直線，D是.

故選：D

16.B

【分析】對于①，構造s（x）=sin（3x+2）-x+1,利用導數討論其在［0,2］上的零點個數為3

后可判斷其正誤，對于②，利用導數可判斷其正誤，對于③，結合零點存在定理可判斷其正

誤，對于④，利用導數判斷函數的單調性后可得其正誤.

【詳解】對于①，由消元法可得sin（3x+2）=2xr-l,所以sin（3x+2）=x-l,

當x>2或x<0時，x-1>1或x-1<-1,故止匕時無解，

下面考慮［0,2］上方程sin（3x+2）=x-1的解的個數，

設s（x）=sin（3x+2）-尤+1,所以s'（無）=3cos（3尤+2）-1,

設且cos6=；,貝i］s'（x）=0,貝i］3cos（3x+2）-l=0,

所以cos（3x+2）=；,

又因為XE［0,2］2<3x+2<8,

/c1JLLhTJsr271_0_2271+0—2

所以cos（3x+2）=］的解為石=-------,x2=------------,

而5'（0）=3（：052-1<0,

故當0<%<玉或X2<%<2時，s'(x)<0,當玉<x<12時，s'(x)>0,

故s（x）在（0,再），（馬,2）上為減函數,在（九,%2）上為增函數，

而s(0)=sin2+l>0,川>1且，⑴=sin5<0,

.374h7兀3757i..374⑺4

—sin———,ffff—-<-<-?故sin-------->---------->0,

553525525

a

故s（6>0,$②=$吊8-1<0,故s（無）在［0,2］有3個不同的實數根，故①錯誤;

答案第8頁，共15頁

“工g』/sin(無+2y)=2尤一y.,,],,2+-+2kn

對于②，由《二J,可得sm(5x-2)=l,故―2I。7，

[y=2x-\x--盧￡乙

對sin(x+2y)=2x-y兩邊求關于％的導數，又V隨％的變化而變化，

f

貝!jcos(x+2y)(l+2y)=2-yf

兀

故當-2+]+2加時，有cos(5x-2)(l+2j/)=0=2-V，

X一,(￡乙

71

當-2+)+2/j=2,而直線>=2x7的斜率為2,

X一,AC￡乙

故曲線C與直線>=2無-1相切，故②正確.

對于③，取尤=兀，考慮C:sin(兀+2y)=2兀一了即方程y-sin2y=2兀的解的個數，

7兀77r14冗7T

設"％)=x-sin2x-2?i,則/(5)=5-sinl0-2兀<0,r(——)=-----sin--------2兀=----1-1>0,

'4444

9719兀1871兀

r(—)=——sin------2兀=—一1<0/(3兀)=兀>0,

4444

故?x)至少有兩個零點，故y-sin2y=2兀有兩個不同的解，

故為不是看的函數，故③錯誤；

對于④，“(X)=sin(x+2y)-2x+了，則〃'(x)=cos(x+2_y)-2<0,

故“(X)為R的減函數，且當Xf+8時，當Xf-8時，?(%)->+<?,

故對任意R,方程sin(尤+2力-2尤+了=0即sin(x+2y)=2x-y有唯一解，

故修是外的函數，故④正確.

故選：B.

17.(1)證明見解析

⑵E

6

【分析】(1)根據線面平行的判定定理證明尸8//平面/CE；

(2)通過建立空間直角坐標系求出平面ZCE的法向量，進而利用向量公式求出直線/尸與

平面ZCE所成角的正弦值.

【詳解】(1)連接AD交/C于點尸,,?,￡1是尸。的中點，F是BD中點.EF"PB.

又EFu平面ACE,PB<z平面ACE,PB//平面ACE.

答案第9頁，共15頁

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系/-孫z.則4（0,0,0）,,C（l,2,0）,￡（0,1,1）,

.?.近=(0,1,1),衣=(1,2,0).

ii-AC=0

設平面NCE的法向量為元=（x/,z）,則《

n-AE=0.

x+2y=0

令x=2則y=—l,z=l.

y+z=0.

.,.歷是平面/CE的一個法向量.萬=（0,0,2）,

設直線AP與平面ACE所成角為。,

AP-n0x0+0x(-1)+2x1

則直線AP與平面ACE所成角的正弦值為sin。=

麗2X^22+(-1)2+126

18.(l)/(x)=log2l2+1j,定義域為-OO,--ju(0,+OO)

⑵K。2,3|

2

【分析】（1）根據換元法求解函數解析式，結合對數的意義列不等式求函數的定義域即可;

（2）根據對數運算法則化簡方程-1叫[（"2卜+3叱5]=0,結合對數函數的性質得

方程（0-2）/+（2a-5）x-2=0,分類討論得方程的根從而得實數a的取值范圍.

【詳解】（1）〃x+l）=log2『二;1,令x+l=f,

則/（。=log2[+J（x）=log21+"J

因為a=2,所以/（尤）=1。8212+1],又2+工>0得，解得x<-1或x>0,

\xjx2

則函數/（X）的定義域為。（0,+◎；

（2）由（1）得/（x）=log?]

答案第10頁，共15頁

方程/(5)-log2[(〃-2)x+3〃-5]=0,

BPlog2—+a-log2[(tz-2)x+3tz-5^=0

2

可轉化為(。一2*+(2〃一5卜一2=0,且一+a>0

x

①當。一2=0即a=2時，x=-2,符合題意；

②當“一2。0即QW2時，再=—2,x=--—

2a-2

13

(i)當-2=—^時，。=彳符合題意

a-22

13

(ii)當-2w—^時，且QW2時，要滿足題意，則有

a-22

—1+Q>04、-1+67<0

n1<§或n無解

3?-4<03”一4>0

綜上可得，。的取值范圍(1g

19.⑴〃=3,6=5；

⑵

(3)8

【分析】(1)根據題意將至少一項成績優異的同學全部相加再與總數相比即可得到所求值;

(2)利用間接法先求出抽取中一個實踐能力的成績為優異的人都沒有的概率，繼而求出答

案；

(3)根據表格數據對稱性可知方差最小時a=0,由此可得出答案.

【詳解】(1)由題意，理論或操作至少一項成績為優異的學生共有2+3+。+1+1=7+。人，

則穿=；，得。=3,

又3+2+2+b+3+l+l+3=20,得b=5.

(2)由(I)知，從20位理論成績為優異的學生中抽取1人，實踐成績也為優異的概率為1,

所以從全市理論成績為優異的學生中，隨機抽取2人，至少有一個人操作的成績為優異的概

(3)由題意，a=8-b(0<b<8),

答案第11頁，共15頁

設理論成績為X,,則X取值為{1,2,3},

對應的人數分別為{5,6+5,10-6}(0WbV8),所以參賽學生理論競賽的平均成績為

￡(^)=lx—+2x-^+3x^—^=225-5Z),

―202020

所以參賽學生理論成績的方差為

2

O(X)=(1-2.25+0.056)2xA+(2-2.25+0.056『x+(3-2.25+0.05b)x

=-0.0025b2-0.0256+0.6875

因為所以當b=8時，方差最小.

20.(1)證明見解析

(2)8x—2y—5=0

⑶證明見解析

【分析】(1)先設出點尸坐標，根據中點關系得點A坐標，求直線為斜率，進而得直線/方

程，再聯立直線/與拋物線方程，通過判別式A=0證直線/是拋物線切線.

(2)設尸、。坐標及其中點由已知條件求出M坐標.假設直線尸。斜率不存在推出矛

盾，所以斜率存在.設直線尸。方程，聯立拋物線方程，根據韋達定理及已知乂+%的值求出

斜率左，從而得直線PQ方程.

(3)利用￡、G、尸三點共線得到向量關系，結合已知線段比例關系設參數〃，通過向量

運算及3是尸工中點的條件，得出國與齒、中的關系，進而判斷G是△/尸。重心.

【詳解】(1)設尸］因為8是線段尸/的中點，所以/卜0

k;盟-0=1,(2\

貝「典，所以直線/的方程為了=丁,吟J+%，

聯立一=3一段，整理得/一2%了+了：=0,所以A=(-2%)2-4y；=0,

y=2x

因此，直線/是拋物線r的切線.

(2)設尸(士,乂),。優,巴),尸。中點為M,

答案第12頁，共15頁

1

X1+X2+g]

3-2

由已知得

1

----------=o

3

11

xi+x2=y

解得,從而M

1

%+%=5

<11歷、fl1歷、與重心(3,。］矛盾，故斜率存在;

若直線尸。斜率不存在，則P,Q二-，

1164J(164J

設PUTTY)

聯立r：y2=2x得：gy2_,+；_牛=0,

21

因為％+%=7=3，所以左=4

KZ

所以尸。所在直線方程是8尤-2了-5=0

(3)因為E,G,尸三點共線，所以加=彳班+(1-彳)斯.

AEPFAE\PF

又因為亞H--=----1---,設=〃，貝1]弁7=1一4，

FQEQ\FQ

—?1—---1—-

所以=--QA,QF=-一QP,

]+〃2—4

所以函=%班