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文檔簡介
2025北京高三一模數學匯編
三角函數章節綜合
一、單選題
1.(2025北京海淀高三一模)已知函數了=儡皿妙+9)(。>0)的部分圖象如圖所示.若A,B,C,D
C.兀D.-
2
2.(2025北京東城高三一模)在平面直角坐標系xOy中,角a以Ox為始邊,其終邊落在第一象限,則下
列三角函數值中一定大于零的是()
A.sin(7i+cr)B.cos(K-6r)C.sin2aD.cos2cr
3.(2025北京西城高三一模)已知函數"x)=sinx+J5cosx.若〃%)=/(%2),則()
B.玉一%=2E或玉+x=2E+](kwZ)
A.%1-x2=Ihi^keZ)2
C.%+%2=左兀+三(左£Z)D.西一/=2E或玉+W=hi+^kGZ)
4.(2025北京石景山高三一模)已知羽y^R,且x>y>。,貝Ij()
11c
A.------->0B.2x-2y>0
%y
C.cosx—cosy<0D.Inx+lny<0
2
5.(2025北京西城高三一模)在長方形ABC。中,E為5C的中點,cosZAEB=-,貝!JcosNAED=()
6.(2025北京朝陽高三一模)已知sina+sin尸=0,cosa+cos尸=6,則Jcos(a—[)=()
A.--B.gC.WD.1
222
e—/7y<■—H
7.(2025北京門頭溝高三一模)已知函數〃x)=,.''(a>0,6>0),若〃x)既不存在最大值也
bsmx,x>—a.
不存在最小值,則下列。,〃關系中一定成立的是()
111
A.a+b>—B.a+b<XC.ab<-D.ab>—
284
8.(2025北京房山高三一模)已知函數/(x)=sin2x,則“再+x?=。"是+的()
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
9.(2025北京門頭溝高三一模)己知函數〃x)=sin(x-3,滿足〃%)+/伍)=0,且在區間
(西,當)上具有單調性,則占+々的值可以是()
71-2兀-4兀-5兀
A.-B.——C.——D.——
3333
10.(2025北京朝陽高三一模)某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園,如圖所示.這條河兩岸所在
直線4,乙互相平行,橋。E與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形,它的三個入口分別
設在直角三角形的頂點A,B,C處,其中入口A點(定點)在橋。E上,且A到直線34的距離分別為
%,外(%,也為定值),入口8,C分別在直線4,4上,公園的一邊A3與直線乙所成的銳角—ABD為
a,另一邊AC與AB垂直.設該休閑公園的面積為S(a),當a變化時,下列說法正確的是()
A.函數S(a)的最大值為他2
C.若火,%且則5(%)<5他)
D.若/,&且%+%=5,則S(aJ=S(%)
11.(2025北京平谷高三一模)已知函數/(x)=sing無,任取feR,定義集合:A=bO=〃x),點
p(f"(。),Q(x,〃x))滿足|尸。區血}.設M,%分別表示集合4中元素的最大值和最小值,記
如)=陷-4則函數%)的最小值是()
A.20B.1C.桓D.2
12.(2025北京平谷高三一模)己知函數/(x)=2sin]8T(0>0),若/⑺在區間高上沒有最
值,則。的最大值為()
245
A.—B.—C.-D.2
333
二、填空題
13.(2025北京門頭溝高三一模)在平面直角坐標系xQy中,角。以Qr為始邊,其終邊與單位圓交點的橫
坐標為-《,寫出一個符合題意的a=.
14.(2025北京石景山高三一模)如圖,角a以圓為始邊,它的終邊與單位圓。相交于點P,且點尸的橫
坐標為|,則sin['+a)的值為
15.(2025北京海淀高三一模)如圖所示,某游樂場有一款游樂設施,該設施由轉輪A和轉輪B組成,B
的圓心固定在轉輪A上的點。處,某個座椅固定在轉輪8上的點”處.A的半徑為10米,8的半徑為5
米,A的圓心尸距離地面豎直高度為20米.游樂設施運行過程中,A與B分別繞各自的圓心逆時針方向勻
速旋轉,A旋轉一周用時萬分鐘,8旋轉一周用時£TT分鐘.當。在P正下方且M在。正下方時,開始計
2
時,設在第f分鐘M距離地面的豎直高度為米.給出下列四個結論:
②/巾)最大值是35;
③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘;
④存在/。40,萬),使得f時M到尸的距離等于15米.
其中所有正確結論的序號為.
16.(2025北京東城高三一模)已知函數〃x)=sinox?>0),若〃x)的最小正周期為兀,則
co=;若存在%,%24兀,2兀],使得[〃芭)-"工2)|=2,則。的最小值為.
17.(2025北京房山高三一模)若對任意實數x,cos[x+,=Asin(x+e)(A>0)恒成立,則滿足條件的一組
4°的值為A=,§=.
18.(2025北京豐臺高三一模)已知函數/(尤)=5皿0尤+夕)(0>0,|同</)的部分圖象如圖所示,其中M,N
是直線y=;與曲線y=〃x)的兩個相鄰交點.若阿2=三,則0=,f^\=.
3
19.(2025北京延慶高三一模)己知a是第四象限角且sina=-y,2sin/7-cos/7=0,則tan(a-0的值
為.
三、解答題
20.(2025北京通州高三一模)設函數〃x)=2sin(0x+0)10>0,|同<3
(I)若/(。)=-1,求e的值.
(2)已知f(x)在區間上單調遞增,/f^=2,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇
L66」I6J
一個作為已知,使函數八%)存在,求。,。的值.
27rTT
條件①:/(X)在區間一行,一了上單調遞減;
條件②:,[]=20;
條件③:%=為函數“X)圖象的一條對稱軸.
注:如果選擇的條件不符合要求,第(2)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個
解答計分,
21.(2025北京石景山高三一模)已知函數/(x)=Asin(0x+0)(其中A>0,。>0,同<;).從條件
①、條件②、條件③這三個條件中選出兩個作為已知,使得函數/(x)唯一確定.
⑴求函數〃尤)的解析式;
(2)求函數/(無)在0弓上的最大值和最小值.
條件①:=
條件②:C,oJ是產〃X)的對稱中心;
條件③:y=f(x)可以由函數y=sin2x+石cos2x平移得到.
注:如果選擇的條件不符合要求,得。分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答.按第一個解答計分.
22.(2025北京順義高三一模)已知函數/(x)=sin]0x-T+百cos0x(?>O).
⑴求”0)的值;
(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知條件,使函數/(x)存在且唯一確定.當/(X)在區間
(0,9(。>0)上僅有一個零點時,求。的取值范圍.
IT77r
條件①:"X)在上是單調函數;
條件②:、="力圖象的一個對稱中心為],。)
條件③:對任意的xeR,都有/(小/卮|成立.
注:如果選擇的條件不符合要求,得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計分.
參考答案
1.D
【分析】根據對稱性可知E為圓心,根據|AE|=忸E|即可求解.
由于A,B,C,。四點在同一個圓上,且4。和民C均關于點E對稱,
故E為圓心,i^\AE\=\BE\,
2.C
【分析】先得至IJsina>0,cosa>0,利用誘導公式和倍角公式得到AB錯誤,C正確,舉出反例得到D錯
誤.
【詳解】由題意得sina>0,cosa>0,
A選項,sin(7r+?)=-sina<0,A錯誤;
B選項,cos(7i-?)=-cosa<0,B錯誤;
C選項,sin2a=2sintzcosa>0,C正確;
兀
D選項,cos2cr=cos2t3z-sin2a,若此時cos2c=0,D錯誤.
4
故選:C
3.B
【分析】利用輔助角公式化簡函數〃%)的解析式,利用正弦型函數的周期性和對稱性求解.
【詳解】因為〃x)=sinx+gcosx=2sin[x+g),則該函數的最小正周期為2兀,
由%+]=也+"|■(左sZ)可得%=E(左eZ)
所以,函數“X)的對稱軸方程為無=航+1左ez),
因為/(xj=/(%2),貝°%—x?=2E或%+x2=+=2kn+^(keZ),
故選:B.
4.B
【分析】利用反比例函數,指數函數,對數函數,余弦函數的性質判斷即可.
【詳解】因為x>y>0,所以即工一1<0,故A錯誤;
xyxy
因為%>y>。,所以2">21,即2'—2>>0,故B正確;
因為%>y>。,而余弦函數S=8S/在(0,+8)上不單調,
cos2K-cos71=1-(-1)=2>0,故C錯誤;
因為九>y>。,由于當%>y>l時,恒有ln%>0,lny>0,故D錯誤;
故選:B.
5.B
2
【分析】設/AEB=e,則cos6=:,分析可知NA£D=TI-26,利用誘導公式結合二倍角的余弦公式可求
得cosNAED的值.
2
【詳解】設NA£B=。,貝!Jcos6=§,如下圖所示:
因為|AB|二O。,\BE\=\CE\fZABE=NDCE=90°,所以,AABE^ADCE,
所以,ZDEC=ZAEB=0f故ZAED=TI—29,
因此,cosZAEZ)=cos(7i-2。)=-cos20=l-2cos20=1—2x
故選:B.
6.B
【分析】將給定的兩個等式平方相加,再逆用差角的余弦公式即得.
【詳解】由sina+sin4=。,cosa+cos尸=6,(sincir+sin;0)2+(coscr+cosy0)2=3,
整理得2+2(cosacos£+sinasin尸)=3,所以cos(a-/?)=:.
故選:B
7.B
【分析】先分析函數y=e""-。在x<-a時的單調性與值域,再結合/(x)既不存在最大值也不存在最小值
這一條件,分析函數y=6sin尤在尤2-a時的情況,進而得出a,6的關系.
【詳解】當x<—a時,f{x}=e+a-a,對其求導可得f(x)=e?.
因為e?>0恒成立,所以/(尤)=e+在上單調遞增.
止匕時/"(x)</(-a)=ea+a—a=1—a.
ex+a->0,則故/(x)=-。在(一叫一。)上函數值的取值范圍為.
當血-a時,f(x)=bsinx,sinx的值域是所以/(尤)=6sinx的值域是[-6,句.
因為/(x)既不存在最大值也不存在最小值,所以1-且即a+6<!且。>6.
選項A:由a+6<l且。>6,不能推出a+b>」,例如。=!,時,a+b=-<—,所以A選項錯誤.
24882
選項B:前面已推出a+匕<1,所以B選項正確.
選項C:由a+6vl且a>6,不能得出abV:,例如a=0.5,6=0.4時,ab=0.2>^,所以C選項錯誤.
88
選項D:由。+6<1且a>人不能得出4b2—,例如。=0.5,6=0.4時,ab=0.2<—,所以D選項錯誤.
44
故選:B.
8.A
【分析】根據正弦函數的對稱性,結合充分條件與必要條件的定義,可得答案.
【詳解】由函數〃尤)=sin2x,則易知其圖象對稱中心
當左=0時,(0,0)為函數圖象的對成中心,
則當%+%=。時,/(^)+/(x2)=0,充分性成立;
當上片0時,由/(菁)+/(々)=0,可能得到西+N=gwO,必要性不成立.
故選:A.
9.B
【分析】由“力滿足〃石)+/伍)=0,且〃尤)在區間a,%)上具有單調性,得到(后強,。)為函數
27T
/(X)的對稱中心,根據三角函數的性質,得到%+%=?+2也歡ez,結合選項,即可求解.
【詳解】因為/(*)滿足/&)+/(9)=0,且/(X)在區間(占,七)上具有單調性,
則點(%,/(%))和(%"(%))關于點(三產,0)對稱,
即(后三,0)為函數八%)的對稱中心,
又由函數/(x)=sin[x—]]的零點為X—1=E,Z:£Z,解得X=;+E/EZ,
所以"+"=二+%兀,%£z,解得%+W=@+2E,左£Z,
233
2兀27r
當左=0時,%+尤?=,即X]+x2的值可以是.
故選:B.
10.D
【分析】主要涉及三角函數以及三角形面積公式的應用.首先根據直角三角形中的三角函數關系,分別求出
AB和AC的長度表達式,再根據三角形面積公式得到SQ)的表達式,最后對該表達式進行分析,判斷各
個選項的正確性.
【詳解】在RfVABD中,ZABD=a,A。=生,根據正弦函數的定義,可得AB=/".
sincr
TT
因為4BAC=5,ZABD=a,所以NC鉆=c,在RhACE中,AE=h},根據余弦函數的定義,可得
AC=-^—.
COS。
對于VABC,S(a)=-ABAC,將A8=',AC=-^代入可得:
2sinacosa
=一,進一步化簡為s(a)=1g,
2smacosa2sinacosasin2a12)
對于選項A,因為所以2ae(O,兀),sin2ce(0,1].當sin2打取最小值0(取不到),最大值1
時,S(a)=餐-沒有最大值,所以A錯誤.
sin2a
對于選項B,由S(a)=,sin26rG(0,1],當sin2a=1,即2a=£,時,S(a)取得最小值
sin2a24
帥,所以B錯誤.
對于選項C,當時,2a£(0,g],sin2a單調遞增,S(a)=1-單調遞減;當aw[2,時,
I4J<2Jsm2a142)
2a/[兀],sin2a單調遞減,S(a)=1也單調遞增.
<2Jsin2a
所以若即火£卜),3且%<%,不一定有S(%)<S(%),C錯誤.
對于選項D,若%,的£1°,蕓且%+%=',貝42al+2%=兀,sin2/=sin(兀-2a2)=sin2%因為
她SQ)=總,所以S(%)=S(%),D正確.
S(%)=
sin2al
故選:D.
11.B
【分析】作出函數的圖象,根據Q的位于不同的位置,即可分情況求解.
2兀
【詳解】如圖所示,/(x)=sin]x的圖象,此時,函數的最小正周期為H
點尸億sin苗),Q(x,sin手),
當點尸在A點時,點。在曲線。4B上,Mt=1,mt=0,=1,
當點尸在曲線上從A接近B時,M,=l,g減小,所以〃⑺逐漸增大;
當點尸在2點時,Mt=l,/nt=-1,h(t)=Mt-mt=2
當點尸在曲線上從B接近C時,減小,〃⑺逐漸減小,
當點尸在C點時,Mt=O,mt=-1,h(t)
當點尸在曲線上從C接近。時,g增大,/7?)逐漸增大,
當點尸在。點時,Mt=1,uit=-1,/?(r)=Af,-mt=2
當點尸在曲線上從。接近E時,=1,%增大,/??)逐漸見減小,
當點尸在E點時,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=l,
綜上可得〃?)的最小值是1
【點睛】關鍵點點睛:根據點尸的位置變化,分別求解M,,”的值.
12.A
【分析】由工€[一1,5卜,進而結合題意可得
(一'進而求解即可.
【詳解】由XE[—],'],①>0,
i71f717171兀、
則-五_于”―、,
D\I,D乙DJ
因為/(X)在區間卜了j
上沒有最值,
LL」(兀兀兀71
所以——G)——,—a)——U
(4323
JT7T7T9
則傳0,解得
a)>0
所以。的最大值為:2.
故選:A.
2兀
13.y(答案不唯一)
【分析】根據終邊相同的角以及余弦函數的定義,計算即可.
1947r
【詳解】由題意,cosa=——,則a=—+2左兀或。=—+Ikji.kGZ.
233
2兀
故答案為:y(答案不唯一).
3
14.-/0.6
5
3
【分析】先根據三角函數的定義可得cosa=£,進而結合誘導公式求解即可.
33
【詳解】由題意,點P的橫坐標為《,貝ijcosa=g,
巾?「兀、3
貝Usin[,+aJ=costz.
3
故答案為:—.
15.①③
【分析】根據題意,可求得在第/分鐘M距離地面的豎直高度為"(1)=-10cos22£-10cos2/+25,逐項判斷
即可求解.
【詳解】轉輪A與轉輪5分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉,A旋轉一周用時萬分鐘,8旋轉一周用
2%
時g分鐘,可得最小正周期?;=萬,TB=^,所以0=也=2,叫=三=4,
又A的半徑為10米,A的圓心尸距離地面豎直高度為20米,
所以第/分鐘,。點距離地面的高度為:/(0=20-10cos2G
第f分鐘,/距離地面的豎直高度為:/i(t)=f(t)-5cos4t=20-10cos2t-5cos4t,
2
55
化簡得//(/)=-lOcos?2t—10cos2t+25=—10(cos2t+—+一,
2
所以/i[7]=-10cos[2x:1+g+曰=25,故①正確;
當cos2f+;=0,即cos2r=-(時,Mt)得最大值,為三,故②錯誤;
若M到尸的距離等于15米,則點Q在線段上,貝|需4r=2/+2加水eN=f=M#eN,
所以不存在務武。,萬),使得公2時M到P的距離等于15米.故④錯誤;
/2(ITT
因為A旋轉一周用時萬分鐘,8旋轉一周用時萬分鐘,所以可得點。在圓周上的速度為k=2。,同理可
20
得點以在圓周上的速度為£=,所以點M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘,故③正確.
故答案為:①③.
2
16.2
4
【分析】由正弦型函數的最小正周期公式可求①,由題意可得了(%),/(%)為函數的最大值或最小值,由
713兀
CDTl<—con<——
2
題意可得;或,,可求①的最小值.
2°心里
2。兀>—
122
【詳解】因為函數/(x)=sinox3>0)的最小正周期為兀,所以蒙=兀,解得。=2,
因為/(x)=sinox3>0)e[-l,l],又(占)-/(尤2)|=2,
所以/&),/(%)為函數的最大值或最小值,
要使。最小,則最大值與最小值應在同一個周期內,
由xe[7t,2可,貝!]<yxe[(y7t,2(2Wt],
,兀,3兀
C07l<—①71<——
2253
則;或,解得一、,
2。兀22
2COTI>—
[22
所以。的最小值為3.
4
故答案為:①2;②
4
【分析】應用誘導公式計算求解即可.
【詳解】若對任意實數X,cos(X+£J=sin=sin(X+gJ=Asin(x+°)(A>°)恒成立,
兀
則滿足條件的一組A,。的值為A=l,夕=]2+2析火eZ.
2兀
故答案為:1;y(答案不唯一).
18.2B
2
【分析】先根據IMN與周期的關系求出。;再利用圖象過的點求出。;最后將x=]代入函數求/弓).
17T
【詳解】已知M,N是直線y=]與曲線y=/(元)的兩個相鄰交點,且|MN|=§.
設則工2_再=J-
且sin(*+9)=L則嗎+0=二+2E,則_%+2而呻,同理—飛+2ht-(p,
26xi—x2一
①0)
-+2kn-(p-+2kn-(p—在刀/日
m因此Y_663—兀?解得啰=2.
-*1--------------------------------—-----——
COCD693
因為函數〃x)=sin(2x+o)的圖象過點G,0)可得sin(2x£+0)=0,
6
兀
所以§+9=7仇neZ,貝!J9=〃兀一百,neZ.
由于|夕|<:,則0=-々,那么〃尤)=
將X=]代入/(x)=sin(2x-mj可得:6
2
故答案為:2;乎.
19.-2
【分析】由已知求得tana=-=3,tan/?=1;,再根據兩角差的正切公式計算即可.
42
343
【詳解】因為a是第四象限角且sina=-=,所以cosa==,tanc=-j
554
因為2sin/—cos/?=0,所以tan4=;,
31
tana-tanp
貝Utan(cif-/7)=42
1+tanatan/3
故答案為:-2.
20.(1)-J
o
(2)選擇條件①或③,a>=\,(p=-^.
【分析】(1)利用/'(())=一1得sin。=-g,再結合。的范圍即可;
(2)選擇條件①或③,則可利用最小值和最大值求出半周期,即可求。,再根據最值即可求解。;若選擇
②,因2行不在值域范圍內,故不存在解析式.
【詳解】⑴由題意可知/⑼=2sino=-l,即sinp=_g,
因時苦,則夕=一
⑵條件①:山)在[號用上單調遞減,在卜普[上單調遞增,且]引=2,
則/(x)在處取最小值,在”處取最大值,
66
71_5兀兀C71r-j
兀,--CD+(P=--F2A71,攵£Z,
62
71_
則G=1,(p=-—+2kit,kwZ,
因Id<],則e=_
則/(x)=2sin^--|^;
條件②:因〃x)e[—2,2],則=不可能成立,故無解析式;
條件③:因=則在,處取最大值,
又%=為函數〃x)圖象的一條對稱軸,且在乎]上單調遞增,
6L66_
則/(X)在-已處取最小值,
T兀5兀(兀、5兀兀…Tr
則”=_=-^一|一工1=71,-a>+<p=-+2kTi,keZ,
2co6^6762
71_
則G=1,(p=-—+2kit,kwZ,
因Id<g,則
貝I]/(x)=2sin
綜上可知,若選擇條件①或③,則,(x)=2sin
若選擇條件②,則不存在解析式.
21.⑴/(x)=2sin]2x-[
(2)最大值為2,最小值為-1
【分析】(1)分析易得要使函數/(x)唯一確定,則必須要選③,選①③或選②③,進而根據正弦函數的性
質求解即可;
(2)根據正弦函數的性質求解即可;
【詳解】⑴①,由/⑶=1,得Asin]詈+夕卜1;
②,由信■,1是y=F(x)的對稱中心,得Asin(m+“=O,
貝!]j.+o=ku,keZ;
③,由>=$;:in2x+A^cos2x=2sinf2x+yI,
因為/(x)=Asin(0x+e)可以由函數y=2sin(2x+3平移得到,
貝!JA=2,0=2.
由上述可知,要使函數/(%)唯一確定,則必須要選③.
71(0,
選①③,由上述可知,A=2,a)=2,Asin
則2$?2+9)=1,BPsin[g+°
2,
所以三+夕=烏+2fat或至+2kn,keZ,
366
jrjr
貝U夕=——+2kn或一+2kji,keZ,
62
p即/(x)=2sin(2x-‘
又貝1」9=一
6
選②③,由上述可知,A=2,a>=2,—+(p=kn,fceZ,
12
兀兀
貝。—(p—kji,左£Z,即(p-.......Fkit,ksZ,
66
p即〃x)=2sin(2x-/
又貝|」e=一
6
.c兀71,1c兀71兀5兀
(2)由xe0,—,得-
226o6
則sin[2x———,1,貝I]2sin12x-7]e[―1,2],
所以函數〃尤)在0,,上的最大值為2,最小值為-1.
22.⑴走
2
(2)答案見解析
【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數解析式即可求解;
(2)關于條件①,從函數的周期,以及單調區間兩方面限制。求出。的取值范圍;關于條件②求出函數
對稱中心表達式,將代入,確定。的取值;關于條件③根據已知條件確定=從而確定。的
取值;再從選條件①②、①③、②③三種情況分別確定。的值,再利用函數的性質即可求解.
【詳解】(1)因為/(x)=sin(0x-:1+后cos(yx(0>O),
所以f(x)=sincos~~cossin~+^3coscox
1.y/3.(Tl\
——sincoxH----coscox=sincox+—,
22I
所以/(0)=sing=¥.
(2)對于條件①:在會號上是單調函數,
TT77r7TTTTT
因為“X)在上是單調函數,所以仁-.vg,
jr7T
所以一f又因為。>0,解得0<GK2,
CD2
因為一]+2勺兀43+]<^+2左]兀eZ),
解得一2+型+生(《eZ),
co6a)o)
所以函數/(x)=sin(0x+]J的單調單調遞增區間為:
57r2左兀,兀2km/,r-x
---+——<x<—+——GZ),
6a)co6coco
0<69<2
jr77r--+^<-(^eZ),
若函數在上單調遞增,貝人
6。口1257
7i2左兀7兀
—+——>—
6(vco12
0<a)<2
整理有469>-10+24^
224匕
a)<—+----L
77
0<6?<2
2
當上i=0時,<。之一10,解得0<GW,,
a)<—
[7
0<69<2
當仁=1時,<^>14無解,匕得其他值時不等式無解;
,26
a)<——
I7
因為?|■+222兀+](年+2%2兀(左2£Z),
解得」L+出64套+出的eZ),
6a>co6coCD
所以函數/(xhsinlo
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