2025北京高三一模數學匯編

三角函數章節綜合

一、單選題

1.（2025北京海淀高三一模）已知函數了=儡皿妙+9）（。>0）的部分圖象如圖所示.若A,B,C,D

C.兀D.-

2

2.（2025北京東城高三一模）在平面直角坐標系xOy中，角a以Ox為始邊，其終邊落在第一象限，則下

列三角函數值中一定大于零的是（）

A.sin(7i+cr)B.cos(K-6r)C.sin2aD.cos2cr

3.（2025北京西城高三一模）已知函數"x）=sinx+J5cosx.若〃％）=/（%2），則（）

B.玉一%=2E或玉+x=2E+](kwZ)

A.%1-x2=Ihi^keZ)2

C.%+%2=左兀+三（左￡Z）D.西一/=2E或玉+W=hi+^kGZ)

4.（2025北京石景山高三一模）已知羽y^R,且x>y>。，貝Ij（）

11c

A.------->0B.2x-2y>0

%y

C.cosx—cosy<0D.Inx+lny<0

2

5.（2025北京西城高三一模）在長方形ABC。中，E為5C的中點，cosZAEB=-,貝！JcosNAED=（）

6.(2025北京朝陽高三一模)已知sina+sin尸=0,cosa+cos尸=6，則Jcos(a—[)=()

A.--B.gC.WD.1

222

e—/7y<■—H

7.（2025北京門頭溝高三一模）已知函數〃x）=,.''（a>0,6>0）,若〃x）既不存在最大值也

bsmx,x>—a.

不存在最小值，則下列。，〃關系中一定成立的是（）

111

A.a+b>—B.a+b<XC.ab<-D.ab>—

284

8.（2025北京房山高三一模）已知函數/（x）=sin2x,則“再+x?=。"是+的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.（2025北京門頭溝高三一模）己知函數〃x）=sin（x-3,滿足〃%）+/伍）=0,且在區間

（西,當）上具有單調性，則占+々的值可以是（）

71-2兀-4兀-5兀

A.-B.——C.——D.——

3333

10.（2025北京朝陽高三一模）某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在

直線4，乙互相平行，橋。E與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別

設在直角三角形的頂點A,B,C處，其中入口A點（定點）在橋。E上，且A到直線34的距離分別為

%,外（％,也為定值），入口8,C分別在直線4，4上，公園的一邊A3與直線乙所成的銳角—ABD為

a,另一邊AC與AB垂直.設該休閑公園的面積為S（a）,當a變化時，下列說法正確的是（）

A.函數S（a）的最大值為他2

C.若火,%且則5（%）<5他）

D.若/，&且%+%=5，則S（aJ=S（%）

11.（2025北京平谷高三一模）已知函數/（x）=sing無，任取feR,定義集合：A=bO=〃x）,點

p（f"（。），Q（x,〃x））滿足|尸。區血｝.設M，%分別表示集合4中元素的最大值和最小值，記

如）=陷-4則函數％）的最小值是（）

A.20B.1C.桓D.2

12.（2025北京平谷高三一模）己知函數/（x）=2sin]8T（0>0）,若/⑺在區間高上沒有最

值，則。的最大值為（）

245

A.—B.—C.-D.2

333

二、填空題

13.（2025北京門頭溝高三一模）在平面直角坐標系xQy中，角。以Qr為始邊，其終邊與單位圓交點的橫

坐標為-《，寫出一個符合題意的a=.

14.（2025北京石景山高三一模）如圖，角a以圓為始邊，它的終邊與單位圓。相交于點P,且點尸的橫

坐標為|,則sin['+a）的值為

15.（2025北京海淀高三一模）如圖所示，某游樂場有一款游樂設施，該設施由轉輪A和轉輪B組成，B

的圓心固定在轉輪A上的點。處，某個座椅固定在轉輪8上的點”處.A的半徑為10米，8的半徑為5

米，A的圓心尸距離地面豎直高度為20米.游樂設施運行過程中，A與B分別繞各自的圓心逆時針方向勻

速旋轉，A旋轉一周用時萬分鐘，8旋轉一周用時￡TT分鐘.當。在P正下方且M在。正下方時，開始計

2

時，設在第f分鐘M距離地面的豎直高度為米.給出下列四個結論：

②/巾）最大值是35；

③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；

④存在/。40,萬），使得f時M到尸的距離等于15米.

其中所有正確結論的序號為.

16.（2025北京東城高三一模）已知函數〃x）=sinox?>0）,若〃x）的最小正周期為兀，則

co=;若存在％,%24兀,2兀］,使得［〃芭）-"工2）|=2,則。的最小值為.

17.（2025北京房山高三一模）若對任意實數x,cos［x+，=Asin（x+e）（A>0）恒成立，則滿足條件的一組

4°的值為A=，§=.

18.（2025北京豐臺高三一模）已知函數/（尤）=5皿0尤+夕）（0>0,|同</）的部分圖象如圖所示，其中M,N

是直線y=；與曲線y=〃x）的兩個相鄰交點.若阿2=三，則0=,f^\=.

3

19.（2025北京延慶高三一模）己知a是第四象限角且sina=-y,2sin/7-cos/7=0,則tan（a-0的值

為.

三、解答題

20.（2025北京通州高三一模）設函數〃x）=2sin（0x+0）10>0,|同<3

（I）若/（。）=-1，求e的值.

（2）已知f（x）在區間上單調遞增，/f^=2,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

L66」I6J

一個作為已知，使函數八％）存在，求。，。的值.

27rTT

條件①：/（X）在區間一行，一了上單調遞減；

條件②：，［］=20；

條件③：％=為函數“X）圖象的一條對稱軸.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分，

21.（2025北京石景山高三一模）已知函數/（x）=Asin（0x+0）（其中A>0,。>0,同<；）.從條件

①、條件②、條件③這三個條件中選出兩個作為已知，使得函數/（x）唯一確定.

⑴求函數〃尤）的解析式；

（2）求函數/（無）在0弓上的最大值和最小值.

條件①：=

條件②：C，oJ是產〃X)的對稱中心；

條件③：y=f(x)可以由函數y=sin2x+石cos2x平移得到.

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答.按第一個解答計分.

22.(2025北京順義高三一模)已知函數/(x)=sin]0x-T+百cos0x(?>O).

⑴求”0)的值；

(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知條件，使函數/(x)存在且唯一確定.當/(X)在區間

(0,9(。>0)上僅有一個零點時，求。的取值范圍.

IT77r

條件①："X)在上是單調函數；

條件②：、="力圖象的一個對稱中心為],。)

條件③：對任意的xeR,都有/(小/卮|成立.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案

1.D

【分析】根據對稱性可知E為圓心，根據|AE|=忸E|即可求解.

由于A,B,C,。四點在同一個圓上，且4。和民C均關于點E對稱,

故E為圓心，i^\AE\=\BE\,

2.C

【分析】先得至IJsina>0,cosa>0,利用誘導公式和倍角公式得到AB錯誤，C正確，舉出反例得到D錯

誤.

【詳解】由題意得sina>0,cosa>0,

A選項，sin（7r+?）=-sina<0,A錯誤；

B選項，cos（7i-?）=-cosa<0,B錯誤；

C選項，sin2a=2sintzcosa>0,C正確；

兀

D選項，cos2cr=cos2t3z-sin2a,若此時cos2c=0,D錯誤.

4

故選：C

3.B

【分析】利用輔助角公式化簡函數〃%）的解析式，利用正弦型函數的周期性和對稱性求解.

【詳解】因為〃x）=sinx+gcosx=2sin[x+g）,則該函數的最小正周期為2兀，

由%+]=也+"|■（左sZ）可得％=E（左eZ）

所以，函數“X)的對稱軸方程為無=航+1左ez),

因為/(xj=/(%2)，貝°%—x?=2E或%+x2=+=2kn+^(keZ),

故選：B.

4.B

【分析】利用反比例函數，指數函數，對數函數，余弦函數的性質判斷即可.

【詳解】因為x>y>0,所以即工一1<0,故A錯誤；

xyxy

因為％>y>。，所以2">21，即2'—2>>0,故B正確；

因為％>y>。，而余弦函數S=8S/在(0,+8)上不單調，

cos2K-cos71=1-(-1)=2>0,故C錯誤；

因為九>y>。，由于當％>y>l時，恒有ln%>0,lny>0,故D錯誤；

故選：B.

5.B

2

【分析】設/AEB=e,則cos6=：,分析可知NA￡D=TI-26,利用誘導公式結合二倍角的余弦公式可求

得cosNAED的值.

2

【詳解】設NA￡B=。，貝!Jcos6=§,如下圖所示：

因為|AB|二O。，\BE\=\CE\fZABE=NDCE=90°,所以，AABE^ADCE,

所以，ZDEC=ZAEB=0f故ZAED=TI—29,

因此,cosZAEZ）=cos（7i-2。）=-cos20=l-2cos20=1—2x

故選：B.

6.B

【分析】將給定的兩個等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

【詳解】由sina+sin4=。，cosa+cos尸=6，(sincir+sin；0)2+(coscr+cosy0)2=3,

整理得2+2(cosacos￡+sinasin尸)=3,所以cos(a-/?)=：.

故選：B

7.B

【分析】先分析函數y=e""-。在x<-a時的單調性與值域，再結合/(x)既不存在最大值也不存在最小值

這一條件，分析函數y=6sin尤在尤2-a時的情況，進而得出a,6的關系.

【詳解】當x<—a時，f{x}=e+a-a,對其求導可得f(x)=e?.

因為e?>0恒成立，所以/(尤)=e+在上單調遞增.

止匕時/"(x)</(-a)=ea+a—a=1—a.

ex+a->0,則故/(x)=-。在(一叫一。)上函數值的取值范圍為.

當血-a時，f(x)=bsinx,sinx的值域是所以/(尤)=6sinx的值域是［-6,句.

因為/(x)既不存在最大值也不存在最小值，所以1-且即a+6<!且。>6.

選項A：由a+6<l且。>6,不能推出a+b>」，例如。=!，時，a+b=-<—,所以A選項錯誤.

24882

選項B：前面已推出a+匕<1,所以B選項正確.

選項C：由a+6vl且a>6,不能得出abV：,例如a=0.5,6=0.4時，ab=0.2>^,所以C選項錯誤.

88

選項D：由。+6<1且a>人不能得出4b2—,例如。=0.5,6=0.4時，ab=0.2<—,所以D選項錯誤.

44

故選：B.

8.A

【分析】根據正弦函數的對稱性，結合充分條件與必要條件的定義，可得答案.

【詳解】由函數〃尤)=sin2x,則易知其圖象對稱中心

當左=0時，(0,0)為函數圖象的對成中心，

則當%+%=。時，/(^)+/(x2)=0,充分性成立；

當上片0時，由/(菁)+/(々)=0,可能得到西+N=gwO,必要性不成立.

故選：A.

9.B

【分析】由“力滿足〃石)+/伍)=0,且〃尤)在區間a，%)上具有單調性，得到(后強,。)為函數

27T

/(X)的對稱中心，根據三角函數的性質，得到%+%=?+2也歡ez,結合選項，即可求解.

【詳解】因為/(*)滿足/&)+/(9)=0,且/(X)在區間(占,七)上具有單調性，

則點(%,/(%))和(%"(%))關于點(三產,0)對稱,

即(后三,0)為函數八%)的對稱中心，

又由函數/(x)=sin[x—]]的零點為X—1=E,Z：￡Z,解得X=；+E/EZ,

所以"+"=二+%兀,%￡z,解得％+W=@+2E,左￡Z,

233

2兀27r

當左=0時，%+尤?=，即X]+x2的值可以是.

故選：B.

10.D

【分析】主要涉及三角函數以及三角形面積公式的應用.首先根據直角三角形中的三角函數關系，分別求出

AB和AC的長度表達式，再根據三角形面積公式得到SQ)的表達式，最后對該表達式進行分析，判斷各

個選項的正確性.

【詳解】在RfVABD中，ZABD=a,A。=生，根據正弦函數的定義，可得AB=/".

sincr

TT

因為4BAC=5，ZABD=a,所以NC鉆=c,在RhACE中，AE=h},根據余弦函數的定義，可得

AC=-^—.

COS。

對于VABC,S(a)=-ABAC,將A8=',AC=-^代入可得：

2sinacosa

=一,進一步化簡為s(a)=1g,

2smacosa2sinacosasin2a12)

對于選項A,因為所以2ae(O,兀)，sin2ce(0,1].當sin2打取最小值0(取不到)，最大值1

時，S(a)=餐-沒有最大值，所以A錯誤.

sin2a

對于選項B,由S(a)=,sin26rG(0,1],當sin2a=1,即2a=￡,時，S(a)取得最小值

sin2a24

帥,所以B錯誤.

對于選項C,當時，2a￡(0,g],sin2a單調遞增，S(a)=1-單調遞減；當aw[2,時,

I4J<2Jsm2a142)

2a/[兀],sin2a單調遞減，S(a)=1也單調遞增.

<2Jsin2a

所以若即火￡卜)，3且%<%,不一定有S(%)<S(%),C錯誤.

對于選項D,若%,的￡1°，蕓且％+%='，貝42al+2%=兀，sin2/=sin(兀-2a2)=sin2%因為

她SQ)=總,所以S(%)=S(%),D正確.

S(%)=

sin2al

故選：D.

11.B

【分析】作出函數的圖象，根據Q的位于不同的位置，即可分情況求解.

2兀

【詳解】如圖所示，/(x)=sin］x的圖象，此時，函數的最小正周期為H

點尸億sin苗),Q(x,sin手)，

當點尸在A點時，點。在曲線。4B上，Mt=1,mt=0,=1,

當點尸在曲線上從A接近B時，M,=l,g減小，所以〃⑺逐漸增大；

當點尸在2點時，Mt=l,/nt=-1,h(t)=Mt-mt=2

當點尸在曲線上從B接近C時，減小，〃⑺逐漸減小，

當點尸在C點時，Mt=O,mt=-1,h(t)

當點尸在曲線上從C接近。時，g增大,/7?)逐漸增大，

當點尸在。點時，Mt=1,uit=-1,/?(r)=Af,-mt=2

當點尸在曲線上從。接近E時，=1,%增大,/??)逐漸見減小,

當點尸在E點時，Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=l,

綜上可得〃?)的最小值是1

【點睛】關鍵點點睛：根據點尸的位置變化，分別求解M,，”的值.

12.A

【分析】由工€［一1，5卜,進而結合題意可得

(一'進而求解即可.

【詳解】由XE［—］，'］，①>0,

i71f717171兀、

則-五_于”―、，

D\I,D乙DJ

因為/(X)在區間卜了j

上沒有最值,

LL」(兀兀兀71

所以——G)——,—a)——U

(4323

JT7T7T9

則傳0,解得

a)>0

所以。的最大值為:2.

故選：A.

2兀

13.y(答案不唯一)

【分析】根據終邊相同的角以及余弦函數的定義，計算即可.

1947r

【詳解】由題意，cosa=——,則a=—+2左兀或。=—+Ikji.kGZ.

233

2兀

故答案為：y(答案不唯一).

3

14.-/0.6

5

3

【分析】先根據三角函數的定義可得cosa=￡,進而結合誘導公式求解即可.

33

【詳解】由題意，點P的橫坐標為《，貝ijcosa=g,

巾?「兀、3

貝Usin[,+aJ=costz.

3

故答案為：—.

15.①③

【分析】根據題意，可求得在第/分鐘M距離地面的豎直高度為"(1)=-10cos22￡-10cos2/+25,逐項判斷

即可求解.

【詳解】轉輪A與轉輪5分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉，A旋轉一周用時萬分鐘，8旋轉一周用

2%

時g分鐘，可得最小正周期?；=萬，TB=^,所以0=也=2,叫=三=4,

又A的半徑為10米，A的圓心尸距離地面豎直高度為20米，

所以第/分鐘，。點距離地面的高度為：/(0=20-10cos2G

第f分鐘，/距離地面的豎直高度為：/i(t)=f(t)-5cos4t=20-10cos2t-5cos4t,

2

55

化簡得//(/)=-lOcos?2t—10cos2t+25=—10(cos2t+—+一，

2

所以/i[7]=-10cos[2x：1+g+曰=25,故①正確;

當cos2f+；=0,即cos2r=-(時，Mt)得最大值，為三，故②錯誤；

若M到尸的距離等于15米，則點Q在線段上，貝|需4r=2/+2加水eN=f=M#eN,

所以不存在務武。,萬)，使得公2時M到P的距離等于15米.故④錯誤；

/2(ITT

因為A旋轉一周用時萬分鐘，8旋轉一周用時萬分鐘，所以可得點。在圓周上的速度為k=2。，同理可

20

得點以在圓周上的速度為￡=,所以點M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘，故③正確.

故答案為：①③.

2

16.2

4

【分析】由正弦型函數的最小正周期公式可求①，由題意可得了(%),/(%)為函數的最大值或最小值，由

713兀

CDTl<—con<——

2

題意可得;或,,可求①的最小值.

2°心里

2。兀>—

122

【詳解】因為函數/(x)=sinox3>0)的最小正周期為兀，所以蒙=兀,解得。=2,

因為/(x)=sinox3>0)e[-l,l],又(占)-/(尤2)|=2,

所以/&)，/(%)為函數的最大值或最小值，

要使。最小，則最大值與最小值應在同一個周期內,

由xe[7t,2可，貝!]<yxe[(y7t,2(2Wt],

,兀,3兀

C07l<—①71<——

2253

則；或,解得一、,

2。兀22

2COTI>—

[22

所以。的最小值為3.

4

故答案為：①2；②

4

【分析】應用誘導公式計算求解即可.

【詳解】若對任意實數X,cos(X+￡J=sin=sin(X+gJ=Asin(x+°)(A>°)恒成立,

兀

則滿足條件的一組A,。的值為A=l,夕=］2+2析火eZ.

2兀

故答案為：1;y(答案不唯一).

18.2B

2

【分析】先根據IMN與周期的關系求出。；再利用圖象過的點求出。；最后將x=］代入函數求/弓).

17T

【詳解】已知M,N是直線y=］與曲線y=/(元)的兩個相鄰交點，且|MN|=§.

設則工2_再=J-

且sin(*+9)=L則嗎+0=二+2E，則_%+2而呻，同理—飛+2ht-(p,

26xi—x2一

①0)

-+2kn-(p-+2kn-(p—在刀/日

m因此Y_663—兀?解得啰=2.

-*1--------------------------------—-----——

COCD693

因為函數〃x)=sin(2x+o)的圖象過點G，0)可得sin(2x￡+0)=0,

6

兀

所以§+9=7仇neZ,貝!J9=〃兀一百，neZ.

由于|夕|<:,則0=-々，那么〃尤)=

將X=］代入/(x)=sin(2x-mj可得:6

2

故答案為：2；乎.

19.-2

【分析】由已知求得tana=-=3,tan/?=1；,再根據兩角差的正切公式計算即可.

42

343

【詳解】因為a是第四象限角且sina=-=,所以cosa==，tanc=-j

554

因為2sin/—cos/?=0,所以tan4=；,

31

tana-tanp

貝Utan(cif-/7)=42

1+tanatan/3

故答案為：-2.

20.(1)-J

o

(2)選擇條件①或③，a>=\,(p=-^.

【分析】(1)利用/'(())=一1得sin。=-g,再結合。的范圍即可；

(2)選擇條件①或③，則可利用最小值和最大值求出半周期，即可求。，再根據最值即可求解。；若選擇

②,因2行不在值域范圍內，故不存在解析式.

【詳解】⑴由題意可知/⑼=2sino=-l,即sinp=_g,

因時苦,則夕=一

⑵條件①：山)在［號用上單調遞減，在卜普［上單調遞增，且］引=2,

則/(x)在處取最小值，在”處取最大值,

66

71_5兀兀C71r-j

兀，--CD+(P=--F2A71,攵￡Z,

62

71_

則G=1,(p=-—+2kit,kwZ,

因Id<］，則e=_

則/(x)=2sin^--|^；

條件②：因〃x)e［—2,2］,則=不可能成立，故無解析式；

條件③：因=則在,處取最大值，

又％=為函數〃x)圖象的一條對稱軸，且在乎］上單調遞增,

6L66_

則/(X)在-已處取最小值，

T兀5兀(兀、5兀兀…Tr

則”=_=-^一|一工1=71,-a>+<p=-+2kTi,keZ,

2co6^6762

71_

則G=1,(p=-—+2kit,kwZ,

因Id<g，則

貝I]/(x)=2sin

綜上可知，若選擇條件①或③，則，(x)=2sin

若選擇條件②，則不存在解析式.

21.⑴/(x)=2sin]2x-[

(2)最大值為2,最小值為-1

【分析】(1)分析易得要使函數/(x)唯一確定，則必須要選③，選①③或選②③，進而根據正弦函數的性

質求解即可；

(2)根據正弦函數的性質求解即可；

【詳解】⑴①，由/⑶=1，得Asin］詈+夕卜1；

②,由信■，1是y=F(x)的對稱中心，得Asin(m+“=O,

貝!]j.+o=ku,keZ；

③，由＞=$;：in2x+A^cos2x=2sinf2x+yI,

因為/(x)=Asin(0x+e)可以由函數y=2sin(2x+3平移得到,

貝！JA=2,0=2.

由上述可知，要使函數/(%)唯一確定，則必須要選③.

71(0,

選①③，由上述可知，A=2,a)=2,Asin

則2$?2+9)=1,BPsin[g+°

2,

所以三+夕=烏+2fat或至+2kn,keZ,

366

jrjr

貝U夕=——+2kn或一+2kji,keZ,

62

p即/(x)=2sin(2x-‘

又貝1」9=一

6

選②③，由上述可知，A=2,a>=2,—+(p=kn,fceZ,

12

兀兀

貝。—(p—kji,左￡Z,即(p-.......Fkit,ksZ,

66

p即〃x)=2sin(2x-/

又貝|」e=一

6

.c兀71，1c兀71兀5兀

(2)由xe0,—,得-

226o6

則sin[2x———,1,貝I]2sin12x-7]e[―1,2],

所以函數〃尤）在0，，上的最大值為2,最小值為-1.

22.⑴走

2

（2）答案見解析

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數解析式即可求解；

（2）關于條件①，從函數的周期，以及單調區間兩方面限制。求出。的取值范圍；關于條件②求出函數

對稱中心表達式，將代入，確定。的取值；關于條件③根據已知條件確定=從而確定。的

取值；再從選條件①②、①③、②③三種情況分別確定。的值，再利用函數的性質即可求解.

【詳解】（1）因為/（x）=sin（0x-：1+后cos（yx（0>O）,

所以f（x）=sincos~~cossin~+^3coscox

1.y/3.（Tl\

——sincoxH----coscox=sincox+—,

22I

所以/（0）=sing=￥.

（2）對于條件①：在會號上是單調函數，

TT77r7TTTTT

因為“X）在上是單調函數，所以仁-.vg,

jr7T

所以一f又因為。>0,解得0<GK2,

CD2

因為一]+2勺兀43+]<^+2左]兀eZ）,

解得一2+型+生（《eZ）,

co6a）o）

所以函數/（x）=sin（0x+]J的單調單調遞增區間為：

57r2左兀,兀2km/,r-x

---+——<x<—+——GZ）,

6a）co6coco

0<69<2

jr77r--+^<-(^eZ),

若函數在上單調遞增，貝人

6。口1257

7i2左兀7兀

—+——>—

6(vco12

0<a)<2

整理有469>-10+24^

224匕

a)<—+----L

77

0<6?<2

2

當上i=0時,<。之一10,解得0<GW,,

a)<—

[7

0<69<2

當仁=1時，<^>14無解，匕得其他值時不等式無解;

,26

a）<——

I7

因為?|■+222兀+］（年+2%2兀（左2￡Z）,

解得」L+出64套+出的eZ）,

6a>co6coCD

所以函數/（xhsinlo