第54講空間角與距離的計算(1)

知識梳理

1.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則

稱此向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線，取直線/的方向向量a，則向量a叫做平面a的法向量.

2.空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

直線li?h的方向向量分別為m2

lx//l2ni//n20nl=%n2

/山2ni_Ln2^ni*ii2—0

直線/的方向向量為n，平面a的法向量為m,

I//a,n-Lm0n?m=0

Z±a,n//m<=>n=Am

平面a，￡的法向量分別為n，m,

a//￡,n〃m<=>n=/m

a_L￡,n_LmOn?m=03.異面直線所成的角

3.設a,b分別是兩異面直線h5h的方向向量,則

a馬b的夾角p與所成的角9

(n-

范圍(0，2

a與b的夾角p與/2所成的角0

na-bn,n.la±l

求法cos/?-|a||b|cos'Teos￡|=函

4.求直線與平面所成的角

設直線1的方向向量為a，平面a的法向量為n，直線/與平面a所成的角為6，則sin

夕=|c°s〈a，n〉尸麗.

5.求二面角的大小

(1)如圖①，AB>CD是二面角a—1—0的兩個面內與棱1垂直的直線，則二面角的大小

e=(AB'屈)

(2)如圖②③，m，色分別是二面角a—1—B的兩個半平面a，￡的法向量，則二面角的

大小。滿足

|cosd|=|cos〈m，112〉I>二面角的平面角大小是向量ni與n2的夾角(或其補角).

真題再現(xiàn)

1、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，AB=AAl=l,點P滿足

BP=XBC+iuBBl,其中九貝|（）

A.當4=1時，△A8f的周長為定值B.當〃=1時，三棱錐尸-ABC的體積為定值

C.當a=g時，有且僅有一個點P,使得4尸，2尸

D.當〃=g時，有且僅有一個點尸，使得平面A耳尸

【答案】BD

【解析】

易知，點P在矩形BCG片內部（含邊界）.

對于A,當4=1時，BP=BC+^BB^^BC+juCQ,即此時尸e線段cq,Z\A4P周長不是定

值，故A錯誤；

對于B,當〃=1時，評=4配+函=函+4耳*，故此時P點軌跡為線段與G,而B.CJ/BC,

瓦G〃平面ABC,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當％時，BP^-BC+nBB[,JRBC,4G中點分別為Q,",貝I麗=回+〃西，

22

所以尸點軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，4g,0,l）,P（0,0,〃）,

臺（。,],。），則&尸=-—1,8尸=10,-5,〃；P-BP=//（//—1）=0,所以〃=0

或〃=1.故H,Q均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=；時，而=4而+；西，取8月，CG中點為M,N.BP^BM+AMN，所

、

以P點軌跡為線段肱V.設尸(0,%,；］,因為A石1]

,0,0,所以而=-

2了'%'5'

7\7

3111

48=所以W+3%-1=0n%=-3，此時尸與N重合，故D正確.

故選：BD.

2、【2018年新課標2卷理科】在長方體A2C￡>-44GR中，AB=BC=1,胡=百，則

異面直線AD,與DB}所成角的余弦值為

A.-B.@C.6D.克

5652

【答案】C

【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

D(0,0,0),A(l,0,0),B}(1,1,g),。(0,0,后),所以函=(—1,0,6),函=(1,1,6),

因為cos(皿,DB；)=周商|,所以異面直線AD,與DB所成角的余弦值為

t

骼，選C.

3、【2022年全國甲卷】在四棱錐P-力BCD中，PD1■底面力BCD,CD||AB,AD=DC=CB=1

,AB=2,DP=V3.

(1)證明：BD1PA；

⑵求PD與平面P4B所成的角的正弦值.

【解析】⑴

證明：在四邊形2BCD中，作DE14B于E,CF1AB^F,

因為CD〃4B,>W=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

1

所以4E=SF=|,

故DE=圣BD=y/DE2+BE2=V3,

所以+B/)2=4^2,所以AD1BD,

因為PDJ_平面ABC。，BDu平面力BCD,

所以PDJ.BD,又PDCiAD=D,

所以BD1平面PAD,又因PAu平面PAD,所以BDJ.P4；

(2)如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

BD=V3，則力(1,0,0),8(0,遮,0),「(0,0,圾,

則衣=(-l,0,V3),BP=(0,-V3,V3),PP=(0,0,V3).設平面P4B的法向量元=(x,y,z),

TTL

用?心n-AP=—x+V3z=0

則有｛tt可取五=(V3,1,1)，則cos伍，麻)=藕=E，

n?BP=-V3y+V3z=0

所以PD與平面/MB所成角的正弦值為甚.

的中點.

(1)證明：平面BED_L平面力CD；

(2)設AB=BD=2,乙ACB=60。，點/在BD上，當AaFC的面積最小時，求CF與平面4BD所

成的角的正弦值.

【解析】⑴

因為40=CD,E為4C的中點，所以ACIDE；

在△48。和4CBD中，因為AD=CD/ADB=4CDB,DB=DB,

所以AABDmACBD,所以4B=CB,又因為E為AC的中點，所以AC_L8E；

又因為u平面BEO,DECBE=E,所以AC1平面BED,

因為ACu平面AC。，所以平面BED_L平面力CD.

（2）連接EF,由（1）知，AC_L平面BED,因為EFu平面BED,

所以4C1EF,所以SA4FC="C-E產(chǎn)，

當EFlBD時，EF最小，即△AFC的面積最小.

因為△4BD三ACBD,所以CB=4B=2,

又因為乙4c8=60。，所以△ABC是等邊三角形，

因為E為4C的中點，所以2E=EC=1,BE=退,

因為40J.CD,所以DE==1,在ADEB中，DE2+BE2=BD2,所以BE1DE.

以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,

則4（l,0,0）,B（0,g,0）,D（0,0,l）,所以而=（-1,0,1）,AB=（-l,V3,0）,

設平面4BD的一個法向量為元=（x,y,z）,

則『沈晝；驍二。‘取y=A則=（3，4），

又因為C（一1,0,0）,尸（0片,所以而=（1,累）,

所以cos值函=油贏=晨下=竽，設CF與平面力BD所成的角的正弦值為e（o<e<D，

所以sin。=|cos值麗）1=華，所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為竽.

5、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱力BC-44C1的體積為4,△&BC的面積為2企.

A

B

⑴求A到平面4BC的距離；

⑵設。為&C的中點，AA1AB,平面4/C，平面ABB/i，求二面角2-BD-C的正弦

值.

【解析】⑴

在直三棱柱力BC-&B1Q中，設點A到平面&BC的距離為h,

則%-&BC-5sAABC.h-h—VA^ABC—§SAABCKABC-A1B1C1=丁

解得h=V2,所以點A到平面4BC的距離為迎；

(2)取的中點E,連接AE,如圖，因為=AB,所以4E141B,

又平面AiBC_L平面力BBiAi，平面A】BCC平面力BBp4i=A1B,

且4Eu平面488出，所以4E1平面&BC,

在直三棱柱ABC-aB1Q中，BB1_L平面2BC,

由BCu平面力iBC,BCu平面力BC可得AE1BC,BBr1BC,

又AE,BB]u平面且相交，所以BC1平面力

所以BC,B488i兩兩垂直，以2為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

由(1)得AE=V2,所以441=4B=2,A1B=2&,所以=2,

則力(0,2,0),4】(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以的中點￡>(1,1,1),

則前=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0),

設平面48。的一個法向量記=(x,y,z),則產(chǎn)+y+z=°,

m-BA=2y=0

可取萬=(1,0,-1),

設平面BDC的一個法向量元=(a,b,c),貝式沅,麗二口+Z?+c=0,

m-BC=2a=G

可取元=(0,1,-1),

則cos(或力=磊=短=/

所以二面角a-BD-c的正弦值為11-(-y=

6、【2022年新高考2卷】如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是PB的

中點.

(1)證明：OE〃平面P4C；

(2)若乙4B。=Z_CB。=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-4E-B的正弦值.

【解析】(1)證明：連接B。并延長交4C于點￡>,連接04、PD,

因為PO是三棱錐P-ABC的高，所以P。！平面ABC,40,B0u平面4BC,

所以P。14。、PO1BO,

又PA=PB,所以△POAwzkPOB,即。4=0B,所以N0AB=N0B4,

又4B14C,即NB4C=90。，所以N04B+=90。，/.OBA+/.ODA=90°,

所以=NOAD所以4。=D。，即4。=。。=OB,所以。為BD的中點，又E為PB的中

點，所以OE//PD,

又0E仁平面PAC,PDu平面PHC,所以。E〃平面P4C

(2)過點4作4Z//OP,如圖建立平面直角坐標系，

因為P。=3,AP=5,所以。4=7Ap2-PO2=4,

又NOB力=NOBC=30。，所以BD=2O4=8,貝|力。=4,AB=4V3,

所以"=12,所以0(2國,2,0),B(4V3,0,0),P(2V5,2,3),C(0,12,0),所以

則荏=(38,1,|),AB=(4A/3,0,0),AC=(0,12,0).

n-AE=3V3x+y+-z=0..

設平面4EB的法向量為元=(x,y,z),則,’2，令z=2,則ny=—3,

In-AB=4-\/3x=0

x=0,所以。=(0,-3,2)；設平面/EC的法向量為訪=(a,仇c),則

-_k-----?__3

\m-AE=3V3a+h+-c=0人/—e匕一、1一/有八彳、

j2，令a=V5,貝！Jc=一6,b=0,所以m=(皆,0,—6)；所以

(m-AC=12b=0

l一、nm-124-\/3

=-7=-z==----------

cos('n.m)/=|n||m|V13xV3913

設二面角C-AE-B為。,由圖可知二面角C-AE-B為鈍二面角，

所以cos。=所以sin。=V1-cos20="

1313

故二面角C-AE-B的正弦值為募；

訓練

1、.已知A(l,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是()

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)

【答案】：C

【解析】：設"=(x,y,z)為平面ABC的法向量，AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),

nAB,=0,

則＜化簡得

n-AC,f=0,一x+z=0,

.??x=y=z.故選C.

2、.若直線/的方向向量為。=(1,0,2),平面a的法向量為〃=(—2,1,1),則()

A.I//aB.l.La

C./Ua或/〃aD./與1斜交

【答案】：C

【解析】：???〃=(1,0,2),〃=(—2,1,1),

?u.an=0,即a-Ln,

：.1"a或lUa.

3、已知兩平面的法向量分別為加=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為()

A.45°B.135°

C.45。或135。D.90°

【答案】：c

【解析】：cos(m,n)=瑞=忐=當即加=45°-

:.兩平面所成二面角為45。或180°-45°=135°.

4、在直三棱柱ABC—A/1。中，ZBCA=90°,M,N分別是4S，ACi的中點，BC=CA

=CCi，則與AN所成角的余弦值為()

AWBiC嚕D.坐

【答案1C

【解析】：以點C為坐標原點,CA,CB,CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系.

設BC=C4=CG=2,則可得A(2,0,0),8(0,2,0),A/(l,1,2),N(l,0,2),：,BM=

(1,-1,2),俞=(一1,0,2).

，——、BM,f病

cos{BM,AN)=二~~~

\BM\\AN\

lX(—l)+(—l)X0+2><2_________3

-^/l2+(-l)2+22X^/(-l)2+02+22—乖父鄧

病

—10?

典例剖析

考向一運用向量研究異面直線所成的角

例1、如圖，在四棱錐A48CD中，底面A8CD是矩形，朋，底面ABC。，E是PC的中點.已

知AB=2,AD=2y[2,PA=2,求異面直線8C與AE所成的角的大小.

P

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2陋,

0),￡(1,也，1),

所以靠=(1,?1),BC=(0,2?0).

設施與病的夾角為0,

,A￡BCI4|J2~,

則cos<=二…一==2>所以。=45°,

\AE\-\BC\1“卬42

所以異面直線2C與AE所成的角的大小是45。.

變式1、（山東省煙臺市高三上期末）如圖，在正方體ABCD-44G。中，點尸在線段用。

上運動，則（）

A.直線_平面4G。

B.三棱錐P-4G。的體積為定值

C.異面直線AP與4。所成角的取值范圍是［45。,90°］

D.直線與平面4G。所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】ABD

【解析】對于選項A,連接用由正方體可得AG且，平面4月和。1，則

，所以，平面BDA，故1BD］；同理，連接，易證得

BB1AG,4GAGADXAXDLBDX,

則BD】_L平面4G。,故A正確；

對于選項B,YP-A^D=^CX-AXPD>因為點尸在線段B?上運動，所以S^DP=^A,DAB湎積為

定值，且G到平面APDi的距離即為G到平面\BXCD的距離，也為定值,故體積為定值，故B

正確；

對于選項C,當點p與線段用C的端點重合時,AP與4。所成角取得最小值為60。,故C錯誤;

對于選項D,因為直線臺2J■平面AG。,所以若直線G2與平面4G。所成角的正弦值最大，

則直線CP與直線BD1所成角的余弦值最大，則尸運動到B0中點處，即所成角為,

設棱長為L在RtAD.C.B中,cosZC.BD,=需=宗=^,故。正確

故選:ABD

變式2、如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCABCi，CA=CC!=2CB,則直線8G

與直線481所成角的余弦值為.

【答案】坐

【解析】不妨令CB=1,則CA=CCi=2,可得C(0,0,0),B(0,0,1),Ci(0,2,0),

A(2,0,0),Bi(0,2,1),所以病產(chǎn)(0,2,-1),ABi=(-2,2,1),所以cos<BCi,ABO

=勺藝==+=雪>o,所以冊與血的夾角即為直線eg與直線M的夾角,

|南?麗11弋55

所以直線3G與直線所成角的余弦值為坐.

方法總結：利用向量法求異面直線所成角的方法：(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直

角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量

的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值

的絕對值.

考向二運用向量研究直線與平面所成的角

例2、(2022年廣州附屬中學高三模擬試卷)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD

是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60°,CE_L平面ABCD,CE=6,CD=2,G是

OE的中點.

(1)求證：平面ACG〃平面5即；

(2)求直線AD與平面AB廠所成的角的正弦值.

【解析】【小問1詳解】

證明：連接BD交AC于。，則。是BD的中點，連接OG,?.?G是。E的中點，.?.OG〃3E,

BEu平面BEF,OG<z平面5E戶，:.OG〃平面BEF；

又EFHAC,AC<2平面5防，EFu平面BEF，AC//平面5防，

又AC與0G相交于點。，AC,OGu平面ACG,所以平面ACG〃平面5石戶.

小問2詳解】連接。尸，因為四邊形ABCD是菱形，所以

又NABC=60。，CD=2,所以AABC為等邊三角形，所以AC=2,又EF=1,

所以跖=OC且EF7/OC,所以四邊形OCM為平行四邊形，所以OF//CE,

因為CEL平面ABCD,所以，平面ABCD,

如圖，以。為坐標原點，分別以OC、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則A(-l,0,0),B(O,-Ao),D(O,AO),F(0,0,73),

AD=(1,AO),AB=(1,-AO),AF=(1,0,A/3),

設面ABF的法向量為m=(a,b,c),

in_ZABm-AB=a-也b=0

依題意有〈_，則《令。=6，b=lC=-1,貝！］m=(A/3,1,-1),

m1AFin-AF=a+y/3c=0

省+百

所以cos<AD,m>=

ax44+15

所以直線AO與面AB產(chǎn)成角的正弦值是巫.

5

變式1、如圖，在直棱柱ABCD-AiBiCQi中，AD//BC,ZBAD=90°,AC±BD,BC=\,

AD=AAi=3.

(1)求證：AC_LBiD；

(2)求直線BiCi與平面AC。所成角的正弦值.

【解析】⑴易知AB,AD,AAi兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB,AD,A4i所在

直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設A8=*f>0),則有A(0,0,0),B(t,0,

0),Bi(t,0,3),C(t,1,0),Ci(r,1,3),0(0,3,0),5(0,3,3),所以BQ=&T,3,

-3),AC=(t,1,0),BD=(-t,3,0).

因為ACLBD,所以啟.礪=—產(chǎn)+3+0=0,解得f=小或f=—小(舍去)，

所以瓦b=(一小,3,-3),AC=(V3,1,0).因為Ab蕊=-3+3+0=0,

所以/_1_瓦3,gpAC±BiD.

(2)由(1),知茄1=(0,3,3),危=(小,1,0),疵i=(0,1,0).

設"=(x,y,z)是平面AC。的法向量，

n-AC=0,「小x+y=0,

則J即1令x=l,則〃=(1,一小，小).

n-AD^O,⑶+3z=0,

設直線BiG與平面AC。所成的角為3,

小氤i小回

則sin0=|cos<n,BiCi>|=,即直線81cl與平面AC。所成角

的正弦值為半

變式2、（山東省臨沂市高三上期末）如圖，在四棱錐P/BCD中，AP,平面PCD,AD//BC,

AB±BC,AP=AB=BC=-AD,E為AO的中點，AC與BE相交于點。.

2

（1）證明：POJ_平面ABC。.

（2）求直線BC與平面P8。所成角的正弦值.

【解析】

（1）證明：?.?AP_L平面PCD,。。（=平面尸。。，.,.”_1。，

???AD//BC,3C=工AD,E為AD的中點，則BCHDE且BC=DE.

2

，四邊形BCDE為平行四邊形，.?.5E〃C。，.1/IPJLBE.

又?.?AB,5cAB=3C=LA。，且E為AD的中點，二四邊形A8CE為正方形,

2

:.BE±AC,又APAAC=A,平面APC,

?.?尸Ou平面APC,則5E_LPO.

AP_L平面PC。，PCu平面PCD,AP_LPC,

又AC=Jl4B=JL4P，，APAC為等腰直角三角形，

???。為斜邊47上的中點，二自？，4。且4。口8石=。，？0_1平面/188.

(2)解：以。為坐標原點，建立空間直角坐標系。-xyz,如圖所示

不妨設OB=1,則5(1,0,0),C(O,1,O),P(O,O,1),D(-2,l,0),

貝U配=(-1,1,0),而=(1,0,-1),PD=(-2,1,-1).

設平面PBD的法向量為zi=(x,y,z),

n-PB=O,fx-z=0,[x=z,

則<__即《即《

n-PD=0,1-2x+y-z=0,[y=3z,

令z=l，得”=(1,3,1).

設BC與平面PBD所成角為0,

I—■-I|—1x1+3x1+0x11J’22

sin6=cos<BC,〃>=」----------,1=-—

貝U11爐百網(wǎng)f11

方法總結：利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向

向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的

方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

考向三運用向量研究二面角

例3、(2022年廣東省佛山市高三模擬試卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形

ABCD為菱形，點E為棱的中點，。為邊A5的中點.(1)求證：AE〃平面POC；

71

(2)若側面底面ABCD,且NABC=NPAB=—,AB=2PA=^，求平面PAD

3

與平面POC的夾角的余弦值.

p

c

【解析】【小問1詳解】取線段PC的中點尸，連接EF,

:E,產(chǎn)分別為PD，PC的中點，,跖〃8且跖==CD,

..?底面ABC。是菱形，且。為A3的中點，

AO〃C￡)且A。=工CD,AO〃防且AO=￡F.

2

.??四邊形AOFE平行四邊形，O尸〃AE.

又：Bu平面POC,鉆二平面/^^^二人石“平面？。。.

7T

【小問2詳解】連接AC,由NABC二一得AABC是等邊三角形，

3

???OC，45,???側面底面A5C。，側面？A5c底面A5CD=A5,OCu底面

ABCD,

71

.??OCd_側面B45，因為NB45=—,AB=2PA=4^

3

PA2_|_A?2_PR22

由余弦定理的：cosZPAB=一&4+16-PB_1

2PAAB2x2x42

解得：PB=2也，以。為原點建立空間坐標系。-孫z,如圖所示.

則4(—2,0,0),C(0,273,0),D(-4,2A0),4―1,0,6)，

則麗=卜2,26,0),AP=(l,0,>/3),OC=(0,273,0),OP=(-1,0,V3),

設平面PAD的一個法向量7〃=(%,%z),

AD-m=0-2x+2百y=0

即《令X=4，則根=

AP-m=0x+62=0

設平面POC的一個法向量為n=(a,b,c),

OCn=02回=0

則《一則a=y/3，

即1r,解得：〃=0,令c=l

OP-n=0-a+43c=0

故元=（石,0,1）,

m-n（6』,—|3-i|^5

mlIn，3+1+1xJ3+12^/55

所以平面PAD與平面POC的夾角的余弦值為好.

5

變式1、(山東省煙臺市高三上期末)如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABCD為直角梯形，

AD//BC,BC±CD,平面SCDL平面ABC。，A5CD是以CD為斜邊的等腰直角三

角形，BC=2AD=2CD=4,E為BS上一點，且5￡=2ES.

(1)證明：直線S。//平面ACE；

(2)求二面角S—AC—石的余弦值.

【解析】

(1)連接交AC于點尸，連接石尸,

因為AD//3C,所以皿D與ABCF相似,

所以變=生=2,

FDAD

又一=—=2,所以EF//SD,

ESFD

因為七戶u平面ACE,SDU平面ACE,

所以直線SD//平面ACE

(2)由題，因為平面SCD±平面ABCD,平面SCDA平面ABCD=CD,BCu平面

ABC。,6C，CD,所以3c工平面SCD,

以C為坐標原點,CD,CB所在的方向分別為y軸、z軸的正方向，與曲，麗均垂直的方向

作為X軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系孫Z,

因為3C=2A￡>=2CD=4,BE=2ES,

224

則C(0,0,0),5(1』,0),A(0,2,2),E(-,-,-),

_,_,224

所以CA=(0,2,2),CS=(1,1,0),CE=

設平面SAC的一個法向量為m=(x,y,z)，則

m-CA=0[y+z=0

《一卸廠，

m-CS=01x+y=0

令z=L得x=1,y=-1,于是相=(1,一1,1),

設平面EAC的一個法向量為n=(x,y,z)，則

n-CA=0[y+z=0

\一，即廣，

n-CE=0[x+y+2z=0

令z=L得l=—1,y=—1,于是m=(—，

m-n]

設二面角S-AC-E的平面角的大小為2則cos3=,

m\\n3

所以二面角S-AC-E的余弦值為1

3

變式2、（山東省濰坊市高三上期中）如圖，在棱長均為2的三棱柱ABC-4與￡中，平面

4。5，平面443用，ABX=\B,。為AB1與A3的交點.（1）求證：AB.LCO-

（2）求平面ACGA與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

【解析】（1）因為四邊形4人35為菱形，所以

又平面ACB±平面AXABB},平面4C5Q平面A43耳=\B,

所以平面4。5,因為COu平面ACB,所以A5］，CO.

（2）因為A3=A4,所以菱形AA5用為正方形,

在RtACOA中，C0=AMC2-O42=0,在ACOS中，CO=OB=ECB=2,

CO~+OB-^CB2,

所以，COLOB,又CO,AB］,45cA§1=0,所以，co,平面AA551；

以。為坐標原點，以。4,OB,0C所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系O-孫z.

A（V2,0,0）,A（0，—"0）,C（0,0,V2）,B（0,V2,0）,

設平面ACQA的一個法向量為或=（玉,％,Z］）平面ABC的一個法向量為

%=（%，％，Z2），貝U

—A/2X,—\/2y|-0,—?

<Ll令凡=1，得%=（1,T/），

-以+任i=0,

-A/^%2+V2y,=。，一?,、

廠一廠令％=1，得%=。,1,1），

—V2X2+V2Z2—0,

設平面ACC1A與平面ABC所成銳二面角為a,

1-1+1_1

貝ijcosa=

?iA石一§

所以平面ACC]A與平面ABC所成銳二面角的余弦值為;.

方法總結：利用向量法計算二面角大小的常用方法：（1）找法向量法：分別求出二面角的兩

個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注

意結合實際圖形判斷所求角的大小.（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半

平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的

大小.

優(yōu)化I提升

1、（2022年河北省承德市高三模擬試卷）已知四棱錐P—ABC。,底面ABC。是梯形,AO//BC,

A8=BC=2,ZABC=60°,CDLAC,平面平面ABC。，且B4=AD,PB=2小，E

為PZ）中點，AF±PC,垂足為足

（1）求證：E4_L平面A2C￡）；

（2）求異面直線A8與CE所成的角；

（3）求證：PDLEF.

【詳解】解：（1）證明：因為NCBA=60°,BC=BA=2,

所以AC=2,因為AD/ABC,

所以ND4C=46=60。，又因為，ACD=90°,所以CD=2G，AD=4,

因為B4=AD,所以9=4,因B42+AB2=PB2-所以B4LA5，

因為平面上43，平面ABCD,

平面Q43c平面ABCD=AB,Q4u平面所以上4,平面ABCD,

（2）取"中點K,連接EK,BK,

因為E，K為AP,P￡＞的中點，所以EK//AD,EK=-AD,所以鈕=3。=2,

2

又因為5c〃/4。，所以EK//BC,EK=BC,所以四邊形BCEK為平行四邊形，所以CE//BK,

所以4BA為異面直線A3與CE所成角，所以tan乙KBA=1—=1,所以NKB4=45。，

AB

所以異面直線A3與CE所成角為45。，

(3)證明：因為。CLAC,DCA.PA,ACr＞PA=A,AC,B4u平面？AC

所以OCL平面P4C，

又因為A尸u平面PAC,所以。C_LAb,

又因為WLPC,DCp|PC=C,DC,PCu平面PC。，，所以A尸，平面PCD,

因為PDu平面PCD，所以PD_LA產(chǎn)，

因為B4=AD,E為的中點，所以AELPD,

因為AF0|AE=A,AF,AEu平面AEF,所以？D_L平面AEF,

因為所u平面AER,所以PDLEF.

2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，上4,平面

ABCD,PA=AD=2,AB=l,AM，p￡)于點M,連接3M.

(1)求證：PD1BM；

(2)求直線CD與平面A&0所成角的正弦值.

【解析】

【詳解】(1)證明：?.?RI，平面ABCRABu平面ABCD,:.R4，AB.

???四邊形ABC。為矩形，.?.池，4),4。門外=44。＜=平面。4￡),巳4匚,平面上4￡),

二筋_/平面加0.;200：平面/14。，:.AB±PD.

AM_LPD,ABnAM=A,ABu平面ABM,AMu平面ABM,

PD±平面ABM.又BMu平面ABM,:.PD±BM；

(2)如圖所示，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz,

則A(0,0,0),P(0,0,2),B(l,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),M(0,l,l).

AC=(1,2,0),AM=(0,1,0).CD=(-1,0,0).

_.____.fx+2y=0

設平面ACM的一個法向量為五=(x,y,z),由為_LAC,”J_AM可得《；