2023-2025北京高三一模數學匯編

三角函數的圖像與性質

一、單選題

1.（2025北京海淀高三一模）已知函數、=后皿妙+夕）（。>0）的部分圖象如圖所示.若A,B,C,D

C.兀D.-

2

2.（2025北京石景山高三一模）已知羽y^R,且貝！J（）

11八

A.------->0B.2x-2y>0

x）

C.cosx-cosy<0D.Inx+lny<0

P—〃x<—a

3.（2025北京門頭溝高三一模）已知函數〃力="’（a>0,6>0）,若既不存在最大值也

[bsmx9x>-a.

不存在最小值，則下列。，人關系中一定成立的是（）

A.a+b>—B.a+b<\C.ab<-D.ab>—

284

4.（2025北京房山高三一模）已知函數〃x）=sin2x,貝『飛+3=0”是“〃%）+/優）=0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（2025北京門頭溝高三一模）已知函數〃x）=sin（x4],滿足“石）+/（%）=0,且〃x）在區間

（外,馬）上具有單調性，則占+超的值可以是（）

人兀c2兀-4兀-5兀

A.-B.——C.——D.——

3333

6.（2025北京平谷高三一模）已知函數/（x）=sin￡x,任取feR,定義集合:4={y|y=/（%）,點

尸億—0），Q（xJ（x））滿足區夜}.設M，%分別表示集合4中元素的最大值和最小值，記

則函數力?）的最小值是（）

A.20B.1C.72D.2

7.（2025北京平谷高三一模）已知函數/（x）=2sin"-0|（0>O）,若｛）在區間,:鼻上沒有最

值，則。的最大值為（）

245

A.-B.-C.-D.2

333

8.（2024北京西城高三一模）關于函數〃x）=sim:+cos2x,給出下列三個命題：

①是周期函數；

②曲線y=〃尤）關于直線X對稱；

③〃x）在區間[。,2兀）上恰有3個零點.

其中真命題的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

9.（2024北京西城高三一模）下列函數中,既是偶函數又在區間（。,+8）上單調遞增的是（

A.>=苫2+尤By=cosx

C.,=2工D.y=log2|x|

10.（2024北京門頭溝高三一模）下列函數中,既是奇函數又在（。,+/）上單調遞增的是（）

1i

rA.y=5zB.》二一

XX

C.y=tanrD.y=x\j]

TT

n.（2024北京石景山高三一模）設Q=203,^=sin—,c=ln2,則（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

12.（2024北京石景山高三一模）下列函數中，在區間（-U）上為減函數的是（）

A./（x）=siarB.f^-cosxC./（x）=ln（x+l）D.f（x）=2x

13.（2024北京豐臺高三一模）已知函數/（x）=sin（2x+[,則“e=m+航（左eZ）”是“是偶函

數，且"％-a）是奇函數”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

JT

14.（2023北京房山高三一模）"0<%<二”是“tanxvl”的（）

4

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2023北京西城高三一模）設a=1g2,/?=cos2,c=20-2，貝!J()

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.a<b<c

16.（2023北京西城高三一模）下列函數中，在區間（。,+。）上為增函數的是（）

A.y=一禺B.y=x2-2x

C.y=sinxD.y=x~—

X

17.（2023北京朝陽高三一模）聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合

音.若一個復合音的數學模型是函數/（x）=sinx+gsin2x（xeR）,則下列結論正確的是（）

A.〃x）的一個周期為兀B.的最大值為:

C.的圖象關于直線x=兀對稱D.〃尤）在區間［0,2可上有3個零點

二、填空題

18.（2024北京海淀高三一模）已知函數/'（x）=sin（x+e］sin2x,則；函數/（x）的圖象

的一個對稱中心的坐標為.

19.（2024北京西城高三一模）已知。,方?（0,兀）.使1211（&+尸）<1311（?-尸）成立的一組￡,/?的值為

a=；P=.

20.（2023北京延慶高三一模）如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數

y=Asin（cox+<p）+b,其中A>0,且函數在x=6與x=14時分別取得最小值和最大值.這段時間的最大溫

差為_;。的一個取值為.

x/時

7T

21.（2023北京海淀高三一模）己知函數f（x）=sin（x+e）（049<27i）.若/（尤）在區間-,n上單調遞減，

則（P的一個取值可以為.

三、解答題

22.（2023北京房山高三一模）已知函數/'（x）=sin（。尤+0）（0>0,。<。（兀）的最小正周期為兀.

（1）求。值；

（2）再從條件①.條件②、條件③三個條件中選擇一個作為已知.確定的解析式.設函數

g（x）=/（x）-2sin2x,求g（x）的單調增區間.條件①：/（x）是偶函數；條件②：/（x）圖象過點［條

件③：/（x）圖象的一個對稱中心為If5,。］.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給

分.

參考答案

1.D

【分析】根據對稱性可知E為圓心，根據［4同=怛目即可求解.

由于A,B,C,。四點在同一個圓上，且和反C均關于點E對稱,

故E為圓心，i^\AE\^\BE\,

2.B

【分析】利用反比例函數，指數函數，對數函數，余弦函數的性質判斷即可.

【詳解】因為無>y>。，所以即工一,<0,故A錯誤；

xyxy

因為x>y>。，所以丁>2%即2，-2，>0,故B正確；

因為x>y>0,而余弦函數s=8sf在(0,+oo)上不單調，

如cos27T—cos7i=l-(-l)=2>0,故C錯誤；

因為x>y>0,由于當尤>y>l時，恒有lnx>0,lny>0,故D錯誤；

故選：B.

3.B

【分析】先分析函數y=ei-“在x<-。時的單調性與值域，再結合/(x)既不存在最大值也不存在最小值

這一條件，分析函數y=Min元在時的情況，進而得出。，6的關系.

【詳解】當x<—。時，fM=e+a-a,對其求導可得尸Q)=e，+。.

因為>0恒成立，所以/(尤)=e+在(f,-a)上單調遞增.

此時/(%)</(-a)=e~a+a-a=l-a.

%+a

x->-8,e->0,則e*+"-aT?-a,故/。)=產"-a在(-8,-a)上函數值的取值范圍為(-a』-。).

當血-a時，/(尤)=6sinx,sinx的值域是,所以/(尤)=6sinx的值域是［-6,句.

因為/（%）既不存在最大值也不存在最小值，所以1一〃>匕且一〃<一匕，即a+bvl且

選項A：由a+Z?vl且a>Z?,不能推出“+8>5,例如〃=1,b=g時，。+^=耳<5，所以A選項錯誤.

選項B：前面已推出a+Z?vl,所以B選項正確.

選項C：由a+Z?vl且〃>/?,不能得出。/?（一，例如a=0.5,Z?=0.4時，ab=0.2>-,所以C選項錯誤.

88

選項D：由。+6<1且。>6不能得出ab?!，例如a=0.5,6=0.4時，ab^Q.2<~,所以D選項錯誤.

44

故選：B.

4.A

【分析】根據正弦函數的對稱性，結合充分條件與必要條件的定義，可得答案.

【詳解】由函數〃x）=sin2x,則易知其圖象對稱中心（日,。）

當后=0時,（0,0）為函數“X）圖象的對成中心，

則當玉+工2=。時，/（西）+/（%）=。，充分性成立；

當左力0時，由/（玉）+/（々）=。，可能得到芯+%=日4°，必要性不成立.

故選：A.

5.B

【分析】由〃月滿足〃%）+/伍）=0,且〃x）在區間（4馬）上具有單調性，得到（后三,。）為函數

/（X）的對稱中心，根據三角函數的性質，得到%+無2=W+2E/eZ,結合選項，即可求解.

【詳解】因為/（X）滿足〃％）+〃々）=0,且“X）在區間（9％）上具有單調性，

則點（網,/區））和區,/（x2））關于點（后三,0）對稱,

即（土產,0）為函數〃尤）的對稱中心，

又由函數/（x）=sin]x-|J的零點為尤-[=kt,AeZ,x=^+kn,keZ,

所以'+*=—+kji,keZ,解得x+x,=—+2far,左eZ,

23-3

2冗27r

當左=0時，xx+x2=,即玉+々的值可以是.

故選：B.

6.B

【分析】作出函數的圖象，根據尸的位于不同的位置，即可分情況求解.

2兀

【詳解】如圖所示，/(x)=sinWx的圖象，此時，函數的最小正周期為三

2-

點尸億sin'),e(x,siny),

當點尸在A點時，點。在曲線。4s上，Mt=1,叫=0,

當點尸在曲線上從A接近3時，此=1,仍減小，所以%⑺逐漸增大；

當點尸在3點時，Mt==-1,h^=Mt-mt=2

當點尸在曲線上從B接近C時，%=T,〃,減小，⑺逐漸減小，

當點尸在C點時，Mt=O,7M(=-1,h(t^=Mt-mt=1

當點尸在曲線上從C接近。時，g=-i，M增大，〃⑺逐漸增大，

當點尸在。點時，必=1"=-1,一”=2

當點尸在曲線上從。接近E時，M,=\,%增大,h(t)逐漸見減小，

當點尸在E點時，Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1,

綜上可得力(。的最小值是1

【點睛】關鍵點點睛：根據點尸的位置變化，分別求解M,，”的值.

7.A

71兀F兀71717171

【分析】由尤e,得3一1￡--G)---,一CD---進而結合題意可得

4?24323

\71717171](7171I

，進而求解即可.

【詳解】由XW69>0,

r.兀

貝°cox——e

因為“X)在區間1-：,鼻

上沒有最值,

jr7iTT9

則5④,解得

G>0

2

所以。的最大值為

故選：A.

8.D

【分析】選項①，根據條件得到了(x+2兀)=/(%),即可判斷出①的正誤；選項②，根據條件得出

f(7t-X)=fa),根據對稱軸的定義，即可得出②的正誤；選項③，令/。)=。，直接求出X的值，即可得

出③的正誤，從而得出結果.

【詳解】對于①，因為/(x)=siiu-+cos2x,所以

/(x+2?r)=sin(%+2TT)+cos2(x+2TI)=sinx+cos2x=f(x),故T=2TI,所以選項①正確，

對于②，因為/(7t-x)=sin(7i-x)+cos2(7t-x)=sinx+cos2x=/(無)，

由對稱軸的定義知，x為函數f(x)的一條對稱軸，所以選項②正確，

對于③，因為/(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+l,令/(x)=0,得至iJ-2sin2%+sinx+l=0,

又xe[0,27t),由sinx=一；,得至ljx=,或無,

解得sin尤=或sinx=1

2

由sin尤=1,得到x=],所以選項③正確，

故選：D.

9.D

【分析】利用奇偶函數的判斷方法及基本函數的單調性，對各個選項逐一分析判斷，即可得出結果.

【詳解】對于選項A,當x=l時，y=l+l=2,當％=-1時，y=l-l=O,即/(-l)Af(l),所以選項A不

滿足題意，

對于選項B,因〉=8族在區間(0,+8)上不單調，所以選項B不滿足題意，

對于選項C,因為y=2,圖象不關于y軸對稱，所以選項C不滿足題意，

對于選項D,令/(力=142忖，易得其定義域為(-。,0)口(0,+8),關于原點對稱，

又f(-x)=log2|-x|=log?W=f(x),所以y=log2kl為偶函數，

當x>0時，y=log2|x|=log2x,又y=log2X在區間(0,+8)上單調遞增，所以選項D滿足題意，

故選：D.

10.D

【分析】根據基本初等函數的單調性與奇偶性判斷即可.

【詳解】對于A：y=x：定義域為[°，-)，為非奇非偶函數，故A錯誤；

對于B：>=:定義域為(-?),。)1^。,用)，為奇函數，但是函數在(。,+8)上單調遞減，故B錯誤；

對于C：y=tanx為奇函數，定義域為卜+,但是函數在(0,+動上不單調，故C錯誤；

對于D：令y=〃x)=xN定義域為R,JLf(-^)=-x|-x|=-x\x\=-f(x),

所以y=x|X為奇函數，且當尤>0時y=Y,函數在(0,+8)上單調遞增，故D正確.

故選：D

11.B

【分析】根據給定的條件，利用指數、對數函數、正弦函數的性質，借助l，g進行比較判斷選項.

7TTTI

【詳解】a=20,3>2°=1,Z?=sin--<sin—

1262

而也<2<e,貝！jg<ln2<l,即所以Z?<c<a.

故選：B

12.D

【分析】根據三角函數，指數函數和對數函數的性質，即可判斷選項.

【詳解】A,根據正弦函數的性質可知，(-1』)[4,曰，所以y=sinx在(-1,1)上為增函數，故A錯

誤；

B,/(x)=cosx是偶函數，關于〉軸對稱，(-1,1)1,宗3,所以y=cosx在(—1,0)上是增函數，在(0,1)

上是減函數，故B錯誤；

C,〃x)=ln(x+l)的定義域是(T+e),函數y=ln(x+l)是區間(-1,1)上是增函數，故C錯誤；

D,根據指數函數的性質可知，〃力=2-工在區間上是減函數，故D正確.

故選：D

13.A

【分析】首先求出/(x+a)、/(x-c)的解析式，再根據正弦函數的性質求出使/(x+a)是偶函數且

/(x-a)是奇函數時。的取值，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因為〃x)=sin(2x+：j,貝5]/(x+a)=sin]2x+2a+：j,

/(x-a)=sin(2x-2a+：),

若/(x-a)是奇函數，則一2c+?=匕無人eZ,解得"二個一芋歡/％,

若/（x+0是偶函數，則2a+?=J+&兀&eZ,解得<z=?+"他eZ,

42o2

所以若〃x+a）是偶函數且/（X-。）是奇函數，貝i]a=J+"/eZ,

o2

所以由+E住eZ）推得出“X+O）是偶函數，且/（x-e）是奇函數，故充分性成立；

O

由/（X+。）是偶函數，且/（X-。）是奇函數推不出1=!+也優CZ）,故必要性不成立，

O

所以“cr=J+E住eZ）”是“/（x+c）是偶函數，且“X-a）是奇函數”的充分不必要條件.

8

故選：A

14.A

【分析】當0<x<J時，tanxe（O,l）,滿足tanxvl,充分性，取式=當計算得到不必要性，得到答案.

4v74

【詳解】當0<%<；時,tan九即（0,1）,滿足tanxvl,充分性;

取％=型，滿足tanx=-l<l,不滿足0<x<?,不必要性.

44

7E

故是“tanxcl”的充分而不必要條件.

4

故選：A

15.C

【分析】分別利用指數函數、對數函數、三角函數單調性，限定4c的取值范圍即可得出結論.

【詳解】根據對數函數>=炮無在定義域內為單調遞增可知。=lgl<lg2<lgl0=l,即ae（O,l）；

IT

由三角函數y=COSX單調性可知匕=cos2<cos—=0;

2

利用指數函數y=2,為單調遞增可得c=20-2>2°=1;

所以b<a<c.

故選：C

16.D

【分析】利用基本初等函數的單調性逐項判斷各選項中函數在區間（0,+。）上的單調性，可得出合適的選

項.

【詳解】對于A選項，當％>0時，y=-|x|=-x,則丁=一國在（0,+8）上單調遞減；

對于B選項，函數y=一一2%在區間（0,+動上不單調；

對于C選項，函數y=sinx在（0,+“）上不單調；

對于D選項，因為函數>=%、y=-g在（0,+e）上均為增函數，

所以，函數y=x-,在（。,+8）上為增函數.

X

故選：D.

17.D

【分析】A.代入周期的定義，即可判斷；

B.分別比較兩個函數分別取得最大值的x值，即可判斷；

C.代入對稱性的公式，即可求解；

D.根據零點的定義，解方程，即可判斷.

【詳解】A./(.x+7i)=sin(x+7r)+^-sin2(x+7r)=-sin.x+-|sin2x^/(%),故A錯誤；

B.y=sinx,當x=a+2E,%eZ時，取得最大值1,y=-sin2x,當2x=烏+2E,%wZ時，即

2-22

x=^+kn,ZeZ時，取得最大值所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以八月的最大值不是；，

故B錯誤；

C.f(2n-x)=sin(27r-x)+^-sin2(27r-x)=-sinx-^sin2x^f［x),所以函數〃x)的圖象不關于直線x=兀

對稱，故C錯誤；

D./(x)=sinx+^sin2x=sinx+sinxcosx=0,即sinx(l+cosx)=0,XG［0,2兀］,

即sinx=O或cosx=—l,解得：％=0,兀,2兀，

所以函數/(%)在區間［。,2兀］上有3個零點，故D正確.

故選：D

TT

18.-1(--,0)(答案不唯一)

4

【分析】根據函數表達式，代入即可求出了［(兀)的函數值，根據條件，先求出使/。)=。的一個取值

x=,再證明,0)是/(x)的一個對稱中心即可.

44

【詳解】因為/(x)=sin(x+E)sin2x,所以/匕兀［=+；卜n(2x1)=-1,

因為/(X)定義域為R,當x=-J時，A-：)=sin卜：+?sin(_g)=0,

44I44J2

JT

下證(-二,0)是/(%)的一個對稱中心，

4

在/。)=$m、+：卜必上任取點「(”。)，其關于(_卞0)對稱的點為尸，(4一天,一%),

l//兀\.(冗71］.-71.71.c\?/兀、.c\

_-x+sin=

又了(一孑一/)=smoT2(---^o)sin(-x0)sin(-7i-2x0)=-sin(x0+—)sin(2x0)=-y0,

乙T"J4I"I"

TT

所以函數/(%)的圖象的一個對稱中心的坐標為(-二,0),

4

jr

故答案為：-1;（--,0）（答案不唯一）

19.||（答案不唯一）

【分析】任取一組。,月40,兀），驗證是否滿足tan（a+0<tan（a-0即可得.

【詳解】取。=尸=1，止匕時tan（a+4）=tang<0,tan（a—/）=tan0=0,

故tan（a+0<tan（a-0,符合要求.

故答案為：-T（答案不唯一）.

33

20.20℃—（答案不唯一）

【分析】根據圖像直接可得最大溫差，再根據函數的最值情況與周期情況可得A,b,（o,代入點

（6,10）,可得”

【詳解】由圖像可知最大值為30,最小值為10,

所以最大溫差為30℃-10℃=20℃,

2A=30-10A=10

即,解得

26=30+106=20

又由已知可得工=14-6,即7=16,

2

且7='，所以。=

m8

=10sinf+j+20,

所以函數解析式為y

又函數圖像經過點（6,10）,

代入得10sin^x6+^+20=10

所以一TT+（P=—兀+2kit,左eZ

42

角軍得夕—---（■2kji,keZ,

4

37r

所以人的一個可能取值為不（答案不唯一）,

4

37r

故答案為：20℃,—（答案不唯一）.

4

7T

21.-（不唯一）

2

【分析】根據正弦型函數的單調性進行求解即可.

jr71

【詳解】由xe兀=>x+°w—+0，兀+0

TT

因為/(%)在區間§,兀上單調遞減，且0?。<2兀，

71、兀

—+(p>—

所以有13:=>^<(p<^

,3兀