數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀及實(shí)踐：《三角形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)（詳案）

師：同學(xué)們，我們上節(jié)課呢，跟工人叔叔一起研究了樓梯玻

璃的問(wèn)題，探究了平行四邊形的面積，那么現(xiàn)在這節(jié)課工人叔叔

又在忙什么呢？仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1:我發(fā)現(xiàn)標(biāo)志牌它是三角形的，

生2：這個(gè)三角形標(biāo)志牌的底是9分米，高是7.8分米

師：根據(jù)這些信息，你都提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生3：這塊三角形的面積是多少？

師：那也就是說(shuō)求誰(shuí)的面積？

生3：求標(biāo)志牌的。

師：這個(gè)問(wèn)題非常的有價(jià)值，我們今天就來(lái)研究三角形的面

積。（板書(shū)：三角形的面積）

制偉邇個(gè)銖分牌畬集多少十方分久的＜?或？小猊水

師：同學(xué)們想一想，我們要研究三角形的面積，我們可以用

什么樣的方法來(lái)研究呢？

生[。3]1：我們可以用古代劉輝所說(shuō)的以盈補(bǔ)虛的方法。我查

資料想到的啊，

生2：因?yàn)槲覀兩瞎?jié)課學(xué)的平行四邊形的面積也用到了這種方

法,

師：我們上節(jié)課是不是研究了平行四邊形的時(shí)候，用到了以

盈補(bǔ)虛的方法，這位同學(xué)非常的會(huì)遷移。除了以盈補(bǔ)虛的方法，

我們還可以用什么方法呢？

生3：還可以用轉(zhuǎn)化的方法

帥：也就是我們用以盈補(bǔ)虛的方法轉(zhuǎn)化成了學(xué)過(guò)的圖形，是

不是這個(gè)意思啊？

師：那么大家繼續(xù)大膽的想一想，我們這些三角形可以轉(zhuǎn)化

成什么圖形呢？

生1：我認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形

生2：我們還可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，

生3：我認(rèn)為還可以轉(zhuǎn)化成正方形

師：我發(fā)現(xiàn)了咱們同學(xué)說(shuō)的轉(zhuǎn)化成的圖形，都是已經(jīng)研究過(guò)

它們面積的圖形，那么想不想試一試啊？

師：我們看一看研究提示。請(qǐng)你讀一讀

研究提示

1.想一怨：你想把三角彩轉(zhuǎn)化成學(xué)

過(guò)的什么圖彩？

2.試一試：選擇合選的方法,將三

角彩轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖冊(cè).

3.說(shuō)一說(shuō)：你是怎樣把三角彩轉(zhuǎn)化

或?qū)W過(guò)四彩的？小浦比

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們就根據(jù)我們課前準(zhǔn)備的這些學(xué)具，我

們兩位同學(xué)合作，根據(jù)研究提示，想一想可以把它轉(zhuǎn)化成什么圖

形。好，我們開(kāi)始吧。

師：同學(xué)們，有的同學(xué)已經(jīng)做好，哪一位同學(xué)先上來(lái)展示一

下。請(qǐng)你們那兩位同學(xué)。這兩位同學(xué)在展示的時(shí)候，其他同學(xué)認(rèn)

真聽(tīng)，如果你有補(bǔ)充或者疑問(wèn)，可以隨時(shí)問(wèn)他們。

第一組：我們是這么做的，請(qǐng)同學(xué)們看黑板。這是一個(gè)直角

三角形，我們先把直角三角形這上面這個(gè)地方剪下來(lái)。剪下來(lái)以

后呢，我們用以盈補(bǔ)虛的方法，把這個(gè)三角形補(bǔ)到這邊，補(bǔ)成一

個(gè)平行四邊形。

師：有沒(méi)有問(wèn)題。

生：我想提問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，你為什么要從中間這個(gè)中點(diǎn)剪呢？

生：因?yàn)樗臼且粋€(gè)三角形，把它就這樣對(duì)折一下，對(duì)折

以后才能知道它這個(gè)地方和高一樣，如果你不從這個(gè)地方剪的話,

往上一往下一點(diǎn)，它這個(gè)高度不相等了。

師：有沒(méi)有問(wèn)題了。

4、湖小

師：沒(méi)有了？好，剛才這位同學(xué)講的特別的好，通過(guò)對(duì)折，

我們找到兩條邊的什么？

（生齊：中間（中點(diǎn)），然后我們就可以旋轉(zhuǎn)到右邊，拼成

一個(gè)平行四邊形。如果不找到中點(diǎn)，能不能拼成平行四邊形？

帥：這兩位同學(xué)的想法特別的好，先謝謝你們。

師：那我們現(xiàn)在借助課件來(lái)說(shuō)一下剛才的想法。

生1:首先先把三角形對(duì)折，找出中點(diǎn)。再?gòu)闹悬c(diǎn)以上的區(qū)域

剪切下來(lái)。旋轉(zhuǎn)180度，移到另一邊，就找到了這個(gè)平行四邊形。

（教師課件動(dòng)圖演示）

師：他講的非常的明白，對(duì)不對(duì)？好了，除了這種方法，還

有沒(méi)有其他的方法。

第二組生：我們用對(duì)折的方法來(lái)找出這兩條邊的中點(diǎn)。然后

往上旋轉(zhuǎn)180度。變成一個(gè)長(zhǎng)方形。

生提問(wèn)：如果這樣移了，面積還能一樣嗎？

生：當(dāng)然是一樣的，因?yàn)樗峭粔K東西，所以說(shuō)面積是一

樣的，它沒(méi)有增加或者減去面積不會(huì)變化,

師：還有人有疑問(wèn)嗎？咦，我們觀察一下剛才兩位同學(xué)的做

法。

師：上邊是我們是沿著兩個(gè)中點(diǎn)的連線剪下，這個(gè)也是找到

中點(diǎn)，我們是怎么剪的呀？

生：做垂線

師：垂直剪對(duì)嗎？你看，兩位同學(xué)的方法不一樣，特別的有

智慧，為什么呢？?jī)晌煌瑢W(xué)的想法跟古代數(shù)學(xué)家的想法是完全

樣，想不想看一看。

師：九張算術(shù)當(dāng)中記載，仔細(xì)觀察。這兩部分叫什么？

（生：盈）以盈補(bǔ)（生：虛）？轉(zhuǎn)化成了（長(zhǎng)方形）？所以兩位

同學(xué)的想法有沒(méi)有智慧啊？

第3組：請(qǐng)同學(xué)們看黑板。一個(gè)三角形，首先我們對(duì)折找出

中點(diǎn)，然后把把它旋轉(zhuǎn)得長(zhǎng)方形。

生提問(wèn)：你為什么要將它旋轉(zhuǎn)而不是平移到下邊呢？

生：如果平移的話。那就到這塊，不是長(zhǎng)方形了。

師：通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到了學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形。大家看這種方法和這種

方法是不是一樣的？

帥：為什么他得出一個(gè)長(zhǎng)方形啊？原來(lái)是個(gè)什么三角形？

（生：直角三角形）

師：這邊呢？原來(lái)是不是個(gè)銳角三角形啊？所以銳角三角形

拼成了？（生：平行四邊形）直角三角形拼成了？（生：長(zhǎng)方形）

長(zhǎng)方形是不是特殊的平行四邊形啊？

師：方法也非常的。有沒(méi)有其他不同的方法好請(qǐng)你們來(lái)。

第4組：這里是兩個(gè)完全一樣的直角三角形，我們把它旋轉(zhuǎn)

一下，這樣就能拼成了一個(gè)平行四邊形，同學(xué)們還有什么疑問(wèn)嗎？

生：如果這樣，你怎么求一個(gè)直角三角形的面積呢？

師：這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的好，我們一會(huì)研究，我們先看他怎么轉(zhuǎn)化

的，轉(zhuǎn)化的方法妙不妙啊？

師：他的方法和大家不一樣，他用了幾個(gè)三角形來(lái)轉(zhuǎn)化？而

且他剛才說(shuō)用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形，有

沒(méi)有跟他想法一樣的。

師：剛才兩位同學(xué)拿了兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平

行四邊形。那么兩個(gè)銳角三角形可不可以拼成一個(gè)平行四邊形

呢？有沒(méi)有拼銳角三角形的？我們看看課件。

---小:淞

師：重合的目的是為了干嘛呀？是不是完全一樣？得到了一

個(gè)？（生：平行四邊形。）

支合

AM

-4砌

師：那兩個(gè)鈍角三角形也可不可以這樣得到一個(gè)平行四邊形

啊，那你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呀？

生：兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，

師：我們同學(xué)用了這不同的方法，都轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過(guò)的？

（生：圖形）

師：那么同學(xué)們啊，我們跟以前學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)比，我們可以

發(fā)現(xiàn)有很多新的問(wèn)題。我們看看，剛才我們用了三種方法研究了

轉(zhuǎn)化，和以前學(xué)過(guò)的平行四邊形的轉(zhuǎn)化，你看有沒(méi)有相同的地方

啊？比較一下，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

/4sx一/iX/

生1:都利用了轉(zhuǎn)化的思維，把它轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形，

師：他非常善于學(xué)習(xí)和總結(jié)。是不是都有轉(zhuǎn)化的思想？將？

生1:將新的圖形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形

生2：我發(fā)現(xiàn)他們都是用以盈補(bǔ)虛的方法來(lái)轉(zhuǎn)化的

帥：有沒(méi)有不同的意見(jiàn)，都是以盈補(bǔ)虛嗎？

生3：我覺(jué)得可以重疊

師：重疊的目的是為了干嘛呀？

生3：為了把它變成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形

師：同學(xué)們，我們上邊是不是以盈補(bǔ)虛的方法啊？

師：這個(gè)呢，我們沒(méi)有割下來(lái)，沒(méi)有補(bǔ)到虛的地方。我們是

把兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形，我們可以叫合

拼的方法。

師：好了，你看我們通過(guò)對(duì)比，知道了轉(zhuǎn)化是一種非常重要

的學(xué)習(xí)方法。那么同學(xué)們繼續(xù)思考，我們轉(zhuǎn)化已經(jīng)完成了。那么

轉(zhuǎn)化之后的圖形和原來(lái)的圖形，它們之間有什么樣的關(guān)系呢？（教

師手勢(shì)引導(dǎo)）

師：那么三角形的面積到底應(yīng)該怎樣計(jì)算呢？

師：這個(gè)任務(wù)還需要你們自己探究。好嗎？好，請(qǐng)看探究單，

剛才我們用了三種方法，一會(huì)，請(qǐng)你兩位同學(xué)合作，從每種方法

當(dāng)中選一種，然后進(jìn)行探究和推理，好了，開(kāi)始吧，

師：咱們同學(xué)的發(fā)現(xiàn)特別的多，剛才老師也搜集了咱們同學(xué)

的作品。我們一塊來(lái)交流一下行嗎？

師：我們先看這位同學(xué)的好，這是哪個(gè)小組的作品？

第一組：我們選擇的是第三種方法。請(qǐng)同學(xué)們看，這個(gè)平行

四邊形是由兩個(gè)銳角三角形組成的。所以說(shuō)兩個(gè)三角形的面積是,

平行四邊形的面積等于底X高，那我們要求一個(gè)三角形的面積，

就是再92就等于一個(gè)三角形的面積。同學(xué)們有什么疑問(wèn)嗎？

生提問(wèn)：我覺(jué)得你們也可以直接求出來(lái)這個(gè)平行四邊形的面

積。因?yàn)槟銈儼l(fā)現(xiàn)了面積不變了，所以說(shuō)求出來(lái)平行四邊形的面

積就相當(dāng)于求出來(lái)這個(gè)三角形的面積。

第一組：它這是兩個(gè)三角形拼成的，我們要求一個(gè)三角形，

而不是兩個(gè)，所以要+2。

師：聽(tīng)明白了嗎？底X高。2。底X高是求的誰(shuí)的面積？剛才

他解釋的特別好，我要求一個(gè)三角形的面積，所以必須+2,講的

非常好，我們掌聲。

師：我們看一下這兩位同學(xué)的想法，這是誰(shuí)的想法呀？

第二組：我們用的是第一種方法。大家可以看到這個(gè)三角形

對(duì)折以后，旋轉(zhuǎn)180度，就變成了一個(gè)平行四邊形。然后這個(gè)平

行四邊形的高相當(dāng)于這個(gè)三角形的高+2,所以我們直接就可以得

出三角形的高+2X底就是三角形的面積。大家有什么疑問(wèn)嗎？

生提問(wèn)：剛才他們的方法是+2,你們?yōu)槭裁床辉?2?

第一組：因?yàn)檫@是一個(gè)三角形，他們是兩個(gè)三角形。

師：答的特別好，我再補(bǔ)充一點(diǎn)。大家看我們把三角形轉(zhuǎn)化

成平行四邊形，面積變了沒(méi)有？這個(gè)+2是指的是誰(shuí)+2?（生：

高）平行四邊形的高是不是三角形高的一半呀？所以這個(gè)小2是高

-2,我們?cè)谶@個(gè)轉(zhuǎn)化當(dāng)中面積變了沒(méi)有？所以能不能+2?

在這種方法（第三種）當(dāng)中面積變了沒(méi)有？（生：變了）變

成了幾個(gè)三角形？解答的特別好。

第三組：首先我們確定了這兩個(gè)圖形，它們雖然經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化，

可是它們的面積沒(méi)變。然后原來(lái)三角形的高，我們覺(jué)得應(yīng)該等于

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。而原來(lái)三角形其中一條邊的長(zhǎng)度是等于它的寬的，

所以我們覺(jué)得應(yīng)該是底X高。

師：我也很想?yún)⑴c，大家看前兩點(diǎn)說(shuō)的非常對(duì)，面積相等對(duì)

不對(duì)？剛才發(fā)現(xiàn)了面積相等，他說(shuō)原來(lái)三角形的高就是這個(gè)長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)，對(duì)不對(duì)？那么他說(shuō)原來(lái)三角形的邊長(zhǎng)等于拼成的寬，你

能不能介紹一下哪條邊的長(zhǎng)是這個(gè)長(zhǎng)方形的寬

第二組：在這個(gè)三角形中，從兩條邊的中點(diǎn)以下這一部分就

是它的寬。

師：好，沒(méi)關(guān)系，老師跟大家一起看好。我們看這個(gè)圖，大

家看本來(lái)三角形是這樣子的。我們沿著中點(diǎn)垂直減下，大家看啊。

長(zhǎng)方形的面積和原來(lái)三角形的面積沒(méi)多沒(méi)少，面積相等。長(zhǎng)方形

的長(zhǎng)是不是三角形的高？

師：達(dá)成共識(shí)了，關(guān)鍵我們來(lái)看寬。長(zhǎng)方形的寬在這條三角

形的底上，你看這個(gè)寬和這個(gè)底有什么樣的關(guān)系？是相等呢，還

是不相等，是什么樣的關(guān)系？把它兩個(gè)移到這邊來(lái)了，這兩條又

有什么關(guān)系？

生：就是我覺(jué)得他們之間這個(gè)長(zhǎng)方形寬的關(guān)系，就是這個(gè)三

角形的兩個(gè)中點(diǎn)之間的長(zhǎng)度。

師：這一塊長(zhǎng)度和這一塊長(zhǎng)度相不相等？那么這一塊跑到哪

去了？這一塊呢？

師：那么這兩部分加起來(lái)就是等于下邊這一塊對(duì)不對(duì)？那么

你說(shuō)長(zhǎng)方形的寬就是這個(gè)底邊的多少？

生：一半

師：所以它的面積應(yīng)該是底X高，還是底的一半乘高？

生：底的一半,

師：你們需要改一改。

師：我們終于把剛才我們的方法研究明白了。同學(xué)們，我們

剛才用了三種方法研究。剛才這種方法，跟古人的方法是完全

樣，我們看一下。（板書(shū)上的第二種方法）

“半廣以乘正從（zbng）”

七小沏水

師：半廣以乘正從。廣是指三角形的底。正從什么意思呢？

是指三角形的一條高。大家想想，根據(jù)剛才我們探究和這個(gè)圖,

你能不能解釋一下半廣以成正從什么意思？請(qǐng)你來(lái)說(shuō)

生1:半底乘高

生2：應(yīng)該是半底乘高就可以得出三角形的面積

生3：底+2義高

師：三個(gè)人的想法跟這個(gè)想法是完全一致。也是可以用底+2

X高得出三角形的面積。

師：我們把這三種方法一起來(lái)看一看。底X（高+2）,底+

2X高，底X高+2。

師：哎，一個(gè)三角形出來(lái)三個(gè)公式，我們最好用一個(gè)公式對(duì)

不對(duì)？那你想用哪個(gè)公式？能不能用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表示？

生1:我覺(jué)得用用最后一個(gè)公式比較好。因?yàn)榍皫讉€(gè)公式看上

去有點(diǎn)太麻煩，而這個(gè)公式知道底和高，然后再+2就可以了

帥：我也同意他的想法，我們看這三個(gè)公式里頭都有底X高

+2。用第三個(gè)，你看我們把小2放在最后面，也沒(méi)有括號(hào)了，可

不可以？

師：那么三角形的面積可以怎么求了，找同學(xué)完整的說(shuō)一遍。

生：底X高+2。（教師板書(shū)）

師：如果我們底用a,表示高用h表示，面積用S表示。如果

用字母怎么表示這個(gè)面積公式你來(lái)說(shuō)

生：S=ah4-2o

師：同學(xué)們，我們剛才研究了三角形面積的計(jì)算方法。那我

們及時(shí)的進(jìn)行梳理，我們可以積累很多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我們來(lái)看一

看。

）什日博到專敘的然意過(guò)＜1三育野面靴的緣比過(guò)祖

g/\-n

三杓今收*滋

底,X舄

師：我們看一下這一個(gè)三角形的探究過(guò)程。再和前面的平行

四邊形的探究過(guò)程比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生［。5］1：那個(gè)三角形的面積多了一個(gè)+2

生2［。6］：相同點(diǎn)都是在不知道新知識(shí)的情況下，轉(zhuǎn)化成己

經(jīng)學(xué)過(guò)的舊知識(shí)

生3：它們都是用底X高，先算出來(lái)它這個(gè)圖形的面積。只不

過(guò)三角形的不同就是它要:2

生4：我認(rèn)為那個(gè)它們兩個(gè)的研究方式后面的都是一樣的。前

面的是要先把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形

師：后邊是完全一樣，我們發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化圖形以后。我們要找

好它們之間的關(guān)系，我們叫（教師板貼，生：尋找關(guān)系）

師：尋找關(guān)系，我們最后就可以推導(dǎo)公式。同學(xué)們，這種方

法在以后的梯形的研究過(guò)程當(dāng)中也會(huì)應(yīng)到。希望同學(xué)們?nèi)?yīng)用它。

師：方法知道了，我們會(huì)計(jì)算它的面積了嗎？能不能列式？

=制作這個(gè)標(biāo)志牌需要多少平方分米的鋁皮？

7.8X9+2=35.1（平方分來(lái)）/\

■

師：剛才我們總結(jié)了他們的方法，現(xiàn)在我們就運(yùn)用三角形的

計(jì)算面積的方法，我們自己做幾道題。

師：這三道題當(dāng)中同學(xué)們可以自主選擇一道題來(lái)完成。

師：我們看一下答案，一起來(lái)對(duì)一下，全對(duì)？

師：老師有個(gè)疑問(wèn)，最后這道題為什么不選13呀？

生：因?yàn)橛?jì)算三角形的公式是底義高?2,但是它那個(gè)8m

師：8m是哪個(gè)邊的高。（生：25米）

帥：也就是我們?cè)谶x擇這個(gè)底和高的時(shí)候，必須是什么樣的

一組底和高啊？（生：對(duì)應(yīng)）

師：我們繼續(xù)看第二道題。在上這節(jié)課當(dāng)中我們知道了平行

四邊形玻璃的面積是0.84平方米，那如果我現(xiàn)在在玻璃上要做一

個(gè)藍(lán)色的噴繪，那這部分的面積是多少？怎么計(jì)算？沒(méi)有底和高

啦。

生：0.84+2=0.42。因?yàn)槿切蔚拿娣e，就是先求出平行四

邊形的面積再小2,平行四邊形可以分成兩個(gè)一樣的

師：平行四邊形正好包含兩個(gè)完全一樣三角形。那么但是他

剛才說(shuō)了一句話，你有沒(méi)有聽(tīng)到，他說(shuō)三角形是平行四邊形面積

的一半。能隨便說(shuō)，任何一個(gè)三角形是平行四邊形面積一半嗎？

必須什么條件呀？也就是說(shuō)我們?cè)谄吹臅r(shí)候，這個(gè)底怎么