數學課程標準解讀及實踐：《三角形的面積》教學設計（詳案）

師：同學們，我們上節課呢，跟工人叔叔一起研究了樓梯玻

璃的問題，探究了平行四邊形的面積，那么現在這節課工人叔叔

又在忙什么呢？仔細觀察，你發現了哪些數學信息？

生1:我發現標志牌它是三角形的，

生2：這個三角形標志牌的底是9分米，高是7.8分米

師：根據這些信息，你都提出什么數學問題？

生3：這塊三角形的面積是多少？

師：那也就是說求誰的面積？

生3：求標志牌的。

師：這個問題非常的有價值，我們今天就來研究三角形的面

積。（板書：三角形的面積）

制偉邇個銖分牌畬集多少十方分久的＜?或？小猊水

師：同學們想一想，我們要研究三角形的面積，我們可以用

什么樣的方法來研究呢？

生[。3]1：我們可以用古代劉輝所說的以盈補虛的方法。我查

資料想到的啊，

生2：因為我們上節課學的平行四邊形的面積也用到了這種方

法,

師：我們上節課是不是研究了平行四邊形的時候，用到了以

盈補虛的方法，這位同學非常的會遷移。除了以盈補虛的方法，

我們還可以用什么方法呢？

生3：還可以用轉化的方法

帥：也就是我們用以盈補虛的方法轉化成了學過的圖形，是

不是這個意思啊？

師：那么大家繼續大膽的想一想，我們這些三角形可以轉化

成什么圖形呢？

生1：我認為可以轉化成長方形

生2：我們還可以轉化成平行四邊形，

生3：我認為還可以轉化成正方形

師：我發現了咱們同學說的轉化成的圖形，都是已經研究過

它們面積的圖形，那么想不想試一試啊？

師：我們看一看研究提示。請你讀一讀

研究提示

1.想一怨：你想把三角彩轉化成學

過的什么圖彩？

2.試一試：選擇合選的方法,將三

角彩轉化成學過的圖冊.

3.說一說：你是怎樣把三角彩轉化

或學過四彩的？小浦比

師：同學們，現在我們就根據我們課前準備的這些學具，我

們兩位同學合作，根據研究提示，想一想可以把它轉化成什么圖

形。好，我們開始吧。

師：同學們，有的同學已經做好，哪一位同學先上來展示一

下。請你們那兩位同學。這兩位同學在展示的時候，其他同學認

真聽，如果你有補充或者疑問，可以隨時問他們。

第一組：我們是這么做的，請同學們看黑板。這是一個直角

三角形，我們先把直角三角形這上面這個地方剪下來。剪下來以

后呢，我們用以盈補虛的方法，把這個三角形補到這邊，補成一

個平行四邊形。

師：有沒有問題。

生：我想提問你一個問題，你為什么要從中間這個中點剪呢？

生：因為它原本是一個三角形，把它就這樣對折一下，對折

以后才能知道它這個地方和高一樣，如果你不從這個地方剪的話,

往上一往下一點，它這個高度不相等了。

師：有沒有問題了。

4、湖小

師：沒有了？好，剛才這位同學講的特別的好，通過對折，

我們找到兩條邊的什么？

（生齊：中間（中點），然后我們就可以旋轉到右邊，拼成

一個平行四邊形。如果不找到中點，能不能拼成平行四邊形？

帥：這兩位同學的想法特別的好，先謝謝你們。

師：那我們現在借助課件來說一下剛才的想法。

生1:首先先把三角形對折，找出中點。再從中點以上的區域

剪切下來。旋轉180度，移到另一邊，就找到了這個平行四邊形。

（教師課件動圖演示）

師：他講的非常的明白，對不對？好了，除了這種方法，還

有沒有其他的方法。

第二組生：我們用對折的方法來找出這兩條邊的中點。然后

往上旋轉180度。變成一個長方形。

生提問：如果這樣移了，面積還能一樣嗎？

生：當然是一樣的，因為它是同一塊東西，所以說面積是一

樣的，它沒有增加或者減去面積不會變化,

師：還有人有疑問嗎？咦，我們觀察一下剛才兩位同學的做

法。

師：上邊是我們是沿著兩個中點的連線剪下，這個也是找到

中點，我們是怎么剪的呀？

生：做垂線

師：垂直剪對嗎？你看，兩位同學的方法不一樣，特別的有

智慧，為什么呢？兩位同學的想法跟古代數學家的想法是完全

樣，想不想看一看。

師：九張算術當中記載，仔細觀察。這兩部分叫什么？

（生：盈）以盈補（生：虛）？轉化成了（長方形）？所以兩位

同學的想法有沒有智慧啊？

第3組：請同學們看黑板。一個三角形，首先我們對折找出

中點，然后把把它旋轉得長方形。

生提問：你為什么要將它旋轉而不是平移到下邊呢？

生：如果平移的話。那就到這塊，不是長方形了。

師：通過旋轉得到了學過的長方形。大家看這種方法和這種

方法是不是一樣的？

帥：為什么他得出一個長方形啊？原來是個什么三角形？

（生：直角三角形）

師：這邊呢？原來是不是個銳角三角形啊？所以銳角三角形

拼成了？（生：平行四邊形）直角三角形拼成了？（生：長方形）

長方形是不是特殊的平行四邊形啊？

師：方法也非常的。有沒有其他不同的方法好請你們來。

第4組：這里是兩個完全一樣的直角三角形，我們把它旋轉

一下，這樣就能拼成了一個平行四邊形，同學們還有什么疑問嗎？

生：如果這樣，你怎么求一個直角三角形的面積呢？

師：這個問題問的好，我們一會研究，我們先看他怎么轉化

的，轉化的方法妙不妙啊？

師：他的方法和大家不一樣，他用了幾個三角形來轉化？而

且他剛才說用兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形，有

沒有跟他想法一樣的。

師：剛才兩位同學拿了兩個完全一樣的三角形拼成了一個平

行四邊形。那么兩個銳角三角形可不可以拼成一個平行四邊形

呢？有沒有拼銳角三角形的？我們看看課件。

---小:淞

師：重合的目的是為了干嘛呀？是不是完全一樣？得到了一

個？（生：平行四邊形。）

支合

AM

-4砌

師：那兩個鈍角三角形也可不可以這樣得到一個平行四邊形

啊，那你發現什么結論呀？

生：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，

師：我們同學用了這不同的方法，都轉化成了我們學過的？

（生：圖形）

師：那么同學們啊，我們跟以前學過的知識對比，我們可以

發現有很多新的問題。我們看看，剛才我們用了三種方法研究了

轉化，和以前學過的平行四邊形的轉化，你看有沒有相同的地方

啊？比較一下，你有什么新的發現？

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生1:都利用了轉化的思維，把它轉化成以前學過的圖形，

師：他非常善于學習和總結。是不是都有轉化的思想？將？

生1:將新的圖形轉化成了已經學過的圖形

生2：我發現他們都是用以盈補虛的方法來轉化的

帥：有沒有不同的意見，都是以盈補虛嗎？

生3：我覺得可以重疊

師：重疊的目的是為了干嘛呀？

生3：為了把它變成已經學過的圖形

師：同學們，我們上邊是不是以盈補虛的方法啊？

師：這個呢，我們沒有割下來，沒有補到虛的地方。我們是

把兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形，我們可以叫合

拼的方法。

師：好了，你看我們通過對比，知道了轉化是一種非常重要

的學習方法。那么同學們繼續思考，我們轉化已經完成了。那么

轉化之后的圖形和原來的圖形，它們之間有什么樣的關系呢？（教

師手勢引導）

師：那么三角形的面積到底應該怎樣計算呢？

師：這個任務還需要你們自己探究。好嗎？好，請看探究單，

剛才我們用了三種方法，一會，請你兩位同學合作，從每種方法

當中選一種，然后進行探究和推理，好了，開始吧，

師：咱們同學的發現特別的多，剛才老師也搜集了咱們同學

的作品。我們一塊來交流一下行嗎？

師：我們先看這位同學的好，這是哪個小組的作品？

第一組：我們選擇的是第三種方法。請同學們看，這個平行

四邊形是由兩個銳角三角形組成的。所以說兩個三角形的面積是,

平行四邊形的面積等于底X高，那我們要求一個三角形的面積，

就是再92就等于一個三角形的面積。同學們有什么疑問嗎？

生提問：我覺得你們也可以直接求出來這個平行四邊形的面

積。因為你們發現了面積不變了，所以說求出來平行四邊形的面

積就相當于求出來這個三角形的面積。

第一組：它這是兩個三角形拼成的，我們要求一個三角形，

而不是兩個，所以要+2。

師：聽明白了嗎？底X高。2。底X高是求的誰的面積？剛才

他解釋的特別好，我要求一個三角形的面積，所以必須+2,講的

非常好，我們掌聲。

師：我們看一下這兩位同學的想法，這是誰的想法呀？

第二組：我們用的是第一種方法。大家可以看到這個三角形

對折以后，旋轉180度，就變成了一個平行四邊形。然后這個平

行四邊形的高相當于這個三角形的高+2,所以我們直接就可以得

出三角形的高+2X底就是三角形的面積。大家有什么疑問嗎？

生提問：剛才他們的方法是+2,你們為什么不在+2?

第一組：因為這是一個三角形，他們是兩個三角形。

師：答的特別好，我再補充一點。大家看我們把三角形轉化

成平行四邊形，面積變了沒有？這個+2是指的是誰+2?（生：

高）平行四邊形的高是不是三角形高的一半呀？所以這個小2是高

-2,我們在這個轉化當中面積變了沒有？所以能不能+2?

在這種方法（第三種）當中面積變了沒有？（生：變了）變

成了幾個三角形？解答的特別好。

第三組：首先我們確定了這兩個圖形，它們雖然經過轉化，

可是它們的面積沒變。然后原來三角形的高，我們覺得應該等于

長方形的長。而原來三角形其中一條邊的長度是等于它的寬的，

所以我們覺得應該是底X高。

師：我也很想參與，大家看前兩點說的非常對，面積相等對

不對？剛才發現了面積相等，他說原來三角形的高就是這個長方

形的長，對不對？那么他說原來三角形的邊長等于拼成的寬，你

能不能介紹一下哪條邊的長是這個長方形的寬

第二組：在這個三角形中，從兩條邊的中點以下這一部分就

是它的寬。

師：好，沒關系，老師跟大家一起看好。我們看這個圖，大

家看本來三角形是這樣子的。我們沿著中點垂直減下，大家看啊。

長方形的面積和原來三角形的面積沒多沒少，面積相等。長方形

的長是不是三角形的高？

師：達成共識了，關鍵我們來看寬。長方形的寬在這條三角

形的底上，你看這個寬和這個底有什么樣的關系？是相等呢，還

是不相等，是什么樣的關系？把它兩個移到這邊來了，這兩條又

有什么關系？

生：就是我覺得他們之間這個長方形寬的關系，就是這個三

角形的兩個中點之間的長度。

師：這一塊長度和這一塊長度相不相等？那么這一塊跑到哪

去了？這一塊呢？

師：那么這兩部分加起來就是等于下邊這一塊對不對？那么

你說長方形的寬就是這個底邊的多少？

生：一半

師：所以它的面積應該是底X高，還是底的一半乘高？

生：底的一半,

師：你們需要改一改。

師：我們終于把剛才我們的方法研究明白了。同學們，我們

剛才用了三種方法研究。剛才這種方法，跟古人的方法是完全

樣，我們看一下。（板書上的第二種方法）

“半廣以乘正從（zbng）”

七小沏水

師：半廣以乘正從。廣是指三角形的底。正從什么意思呢？

是指三角形的一條高。大家想想，根據剛才我們探究和這個圖,

你能不能解釋一下半廣以成正從什么意思？請你來說

生1:半底乘高

生2：應該是半底乘高就可以得出三角形的面積

生3：底+2義高

師：三個人的想法跟這個想法是完全一致。也是可以用底+2

X高得出三角形的面積。

師：我們把這三種方法一起來看一看。底X（高+2）,底+

2X高，底X高+2。

師：哎，一個三角形出來三個公式，我們最好用一個公式對

不對？那你想用哪個公式？能不能用一個統一的公式來表示？

生1:我覺得用用最后一個公式比較好。因為前幾個公式看上

去有點太麻煩，而這個公式知道底和高，然后再+2就可以了

帥：我也同意他的想法，我們看這三個公式里頭都有底X高

+2。用第三個，你看我們把小2放在最后面，也沒有括號了，可

不可以？

師：那么三角形的面積可以怎么求了，找同學完整的說一遍。

生：底X高+2。（教師板書）

師：如果我們底用a,表示高用h表示，面積用S表示。如果

用字母怎么表示這個面積公式你來說

生：S=ah4-2o

師：同學們，我們剛才研究了三角形面積的計算方法。那我

們及時的進行梳理，我們可以積累很多的活動經驗。我們來看一

看。

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師：我們看一下這一個三角形的探究過程。再和前面的平行

四邊形的探究過程比較一下，你有什么發現？

生［。5］1：那個三角形的面積多了一個+2

生2［。6］：相同點都是在不知道新知識的情況下，轉化成己

經學過的舊知識

生3：它們都是用底X高，先算出來它這個圖形的面積。只不

過三角形的不同就是它要:2

生4：我認為那個它們兩個的研究方式后面的都是一樣的。前

面的是要先把三角形轉化成平行四邊形

師：后邊是完全一樣，我們發現了轉化圖形以后。我們要找

好它們之間的關系，我們叫（教師板貼，生：尋找關系）

師：尋找關系，我們最后就可以推導公式。同學們，這種方

法在以后的梯形的研究過程當中也會應到。希望同學們去應用它。

師：方法知道了，我們會計算它的面積了嗎？能不能列式？

=制作這個標志牌需要多少平方分米的鋁皮？

7.8X9+2=35.1（平方分來）/\

■

師：剛才我們總結了他們的方法，現在我們就運用三角形的

計算面積的方法，我們自己做幾道題。

師：這三道題當中同學們可以自主選擇一道題來完成。

師：我們看一下答案，一起來對一下，全對？

師：老師有個疑問，最后這道題為什么不選13呀？

生：因為計算三角形的公式是底義高?2,但是它那個8m

師：8m是哪個邊的高。（生：25米）

帥：也就是我們在選擇這個底和高的時候，必須是什么樣的

一組底和高啊？（生：對應）

師：我們繼續看第二道題。在上這節課當中我們知道了平行

四邊形玻璃的面積是0.84平方米，那如果我現在在玻璃上要做一

個藍色的噴繪，那這部分的面積是多少？怎么計算？沒有底和高

啦。

生：0.84+2=0.42。因為三角形的面積，就是先求出平行四

邊形的面積再小2,平行四邊形可以分成兩個一樣的

師：平行四邊形正好包含兩個完全一樣三角形。那么但是他

剛才說了一句話，你有沒有聽到，他說三角形是平行四邊形面積

的一半。能隨便說，任何一個三角形是平行四邊形面積一半嗎？

必須什么條件呀？也就是說我們在拼的時候，這個底怎么