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數學課程標準解讀及實踐:《三角形的面積》教學設計(詳案)

師:同學們,我們上節課呢,跟工人叔叔一起研究了樓梯玻

璃的問題,探究了平行四邊形的面積,那么現在這節課工人叔叔

又在忙什么呢?仔細觀察,你發現了哪些數學信息?

生1:我發現標志牌它是三角形的,

生2:這個三角形標志牌的底是9分米,高是7.8分米

師:根據這些信息,你都提出什么數學問題?

生3:這塊三角形的面積是多少?

師:那也就是說求誰的面積?

生3:求標志牌的。

師:這個問題非常的有價值,我們今天就來研究三角形的面

積。(板書:三角形的面積)

制偉邇個銖分牌畬集多少十方分久的<?或?小猊水

師:同學們想一想,我們要研究三角形的面積,我們可以用

什么樣的方法來研究呢?

生[。3]1:我們可以用古代劉輝所說的以盈補虛的方法。我查

資料想到的啊,

生2:因為我們上節課學的平行四邊形的面積也用到了這種方

法,

師:我們上節課是不是研究了平行四邊形的時候,用到了以

盈補虛的方法,這位同學非常的會遷移。除了以盈補虛的方法,

我們還可以用什么方法呢?

生3:還可以用轉化的方法

帥:也就是我們用以盈補虛的方法轉化成了學過的圖形,是

不是這個意思啊?

師:那么大家繼續大膽的想一想,我們這些三角形可以轉化

成什么圖形呢?

生1:我認為可以轉化成長方形

生2:我們還可以轉化成平行四邊形,

生3:我認為還可以轉化成正方形

師:我發現了咱們同學說的轉化成的圖形,都是已經研究過

它們面積的圖形,那么想不想試一試啊?

師:我們看一看研究提示。請你讀一讀

研究提示

1.想一怨:你想把三角彩轉化成學

過的什么圖彩?

2.試一試:選擇合選的方法,將三

角彩轉化成學過的圖冊.

3.說一說:你是怎樣把三角彩轉化

或學過四彩的?小浦比

師:同學們,現在我們就根據我們課前準備的這些學具,我

們兩位同學合作,根據研究提示,想一想可以把它轉化成什么圖

形。好,我們開始吧。

師:同學們,有的同學已經做好,哪一位同學先上來展示一

下。請你們那兩位同學。這兩位同學在展示的時候,其他同學認

真聽,如果你有補充或者疑問,可以隨時問他們。

第一組:我們是這么做的,請同學們看黑板。這是一個直角

三角形,我們先把直角三角形這上面這個地方剪下來。剪下來以

后呢,我們用以盈補虛的方法,把這個三角形補到這邊,補成一

個平行四邊形。

師:有沒有問題。

生:我想提問你一個問題,你為什么要從中間這個中點剪呢?

生:因為它原本是一個三角形,把它就這樣對折一下,對折

以后才能知道它這個地方和高一樣,如果你不從這個地方剪的話,

往上一往下一點,它這個高度不相等了。

師:有沒有問題了。

4、湖小

師:沒有了?好,剛才這位同學講的特別的好,通過對折,

我們找到兩條邊的什么?

(生齊:中間(中點),然后我們就可以旋轉到右邊,拼成

一個平行四邊形。如果不找到中點,能不能拼成平行四邊形?

帥:這兩位同學的想法特別的好,先謝謝你們。

師:那我們現在借助課件來說一下剛才的想法。

生1:首先先把三角形對折,找出中點。再從中點以上的區域

剪切下來。旋轉180度,移到另一邊,就找到了這個平行四邊形。

(教師課件動圖演示)

師:他講的非常的明白,對不對?好了,除了這種方法,還

有沒有其他的方法。

第二組生:我們用對折的方法來找出這兩條邊的中點。然后

往上旋轉180度。變成一個長方形。

生提問:如果這樣移了,面積還能一樣嗎?

生:當然是一樣的,因為它是同一塊東西,所以說面積是一

樣的,它沒有增加或者減去面積不會變化,

師:還有人有疑問嗎?咦,我們觀察一下剛才兩位同學的做

法。

師:上邊是我們是沿著兩個中點的連線剪下,這個也是找到

中點,我們是怎么剪的呀?

生:做垂線

師:垂直剪對嗎?你看,兩位同學的方法不一樣,特別的有

智慧,為什么呢?兩位同學的想法跟古代數學家的想法是完全

樣,想不想看一看。

師:九張算術當中記載,仔細觀察。這兩部分叫什么?

(生:盈)以盈補(生:虛)?轉化成了(長方形)?所以兩位

同學的想法有沒有智慧啊?

第3組:請同學們看黑板。一個三角形,首先我們對折找出

中點,然后把把它旋轉得長方形。

生提問:你為什么要將它旋轉而不是平移到下邊呢?

生:如果平移的話。那就到這塊,不是長方形了。

師:通過旋轉得到了學過的長方形。大家看這種方法和這種

方法是不是一樣的?

帥:為什么他得出一個長方形啊?原來是個什么三角形?

(生:直角三角形)

師:這邊呢?原來是不是個銳角三角形啊?所以銳角三角形

拼成了?(生:平行四邊形)直角三角形拼成了?(生:長方形)

長方形是不是特殊的平行四邊形啊?

師:方法也非常的。有沒有其他不同的方法好請你們來。

第4組:這里是兩個完全一樣的直角三角形,我們把它旋轉

一下,這樣就能拼成了一個平行四邊形,同學們還有什么疑問嗎?

生:如果這樣,你怎么求一個直角三角形的面積呢?

師:這個問題問的好,我們一會研究,我們先看他怎么轉化

的,轉化的方法妙不妙啊?

師:他的方法和大家不一樣,他用了幾個三角形來轉化?而

且他剛才說用兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形,有

沒有跟他想法一樣的。

師:剛才兩位同學拿了兩個完全一樣的三角形拼成了一個平

行四邊形。那么兩個銳角三角形可不可以拼成一個平行四邊形

呢?有沒有拼銳角三角形的?我們看看課件。

---小:淞

師:重合的目的是為了干嘛呀?是不是完全一樣?得到了一

個?(生:平行四邊形。)

支合

AM

-4砌

師:那兩個鈍角三角形也可不可以這樣得到一個平行四邊形

啊,那你發現什么結論呀?

生:兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形,

師:我們同學用了這不同的方法,都轉化成了我們學過的?

(生:圖形)

師:那么同學們啊,我們跟以前學過的知識對比,我們可以

發現有很多新的問題。我們看看,剛才我們用了三種方法研究了

轉化,和以前學過的平行四邊形的轉化,你看有沒有相同的地方

啊?比較一下,你有什么新的發現?

/4sx一/iX/

生1:都利用了轉化的思維,把它轉化成以前學過的圖形,

師:他非常善于學習和總結。是不是都有轉化的思想?將?

生1:將新的圖形轉化成了已經學過的圖形

生2:我發現他們都是用以盈補虛的方法來轉化的

帥:有沒有不同的意見,都是以盈補虛嗎?

生3:我覺得可以重疊

師:重疊的目的是為了干嘛呀?

生3:為了把它變成已經學過的圖形

師:同學們,我們上邊是不是以盈補虛的方法啊?

師:這個呢,我們沒有割下來,沒有補到虛的地方。我們是

把兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形,我們可以叫合

拼的方法。

師:好了,你看我們通過對比,知道了轉化是一種非常重要

的學習方法。那么同學們繼續思考,我們轉化已經完成了。那么

轉化之后的圖形和原來的圖形,它們之間有什么樣的關系呢?(教

師手勢引導)

師:那么三角形的面積到底應該怎樣計算呢?

師:這個任務還需要你們自己探究。好嗎?好,請看探究單,

剛才我們用了三種方法,一會,請你兩位同學合作,從每種方法

當中選一種,然后進行探究和推理,好了,開始吧,

師:咱們同學的發現特別的多,剛才老師也搜集了咱們同學

的作品。我們一塊來交流一下行嗎?

師:我們先看這位同學的好,這是哪個小組的作品?

第一組:我們選擇的是第三種方法。請同學們看,這個平行

四邊形是由兩個銳角三角形組成的。所以說兩個三角形的面積是,

平行四邊形的面積等于底X高,那我們要求一個三角形的面積,

就是再92就等于一個三角形的面積。同學們有什么疑問嗎?

生提問:我覺得你們也可以直接求出來這個平行四邊形的面

積。因為你們發現了面積不變了,所以說求出來平行四邊形的面

積就相當于求出來這個三角形的面積。

第一組:它這是兩個三角形拼成的,我們要求一個三角形,

而不是兩個,所以要+2。

師:聽明白了嗎?底X高。2。底X高是求的誰的面積?剛才

他解釋的特別好,我要求一個三角形的面積,所以必須+2,講的

非常好,我們掌聲。

師:我們看一下這兩位同學的想法,這是誰的想法呀?

第二組:我們用的是第一種方法。大家可以看到這個三角形

對折以后,旋轉180度,就變成了一個平行四邊形。然后這個平

行四邊形的高相當于這個三角形的高+2,所以我們直接就可以得

出三角形的高+2X底就是三角形的面積。大家有什么疑問嗎?

生提問:剛才他們的方法是+2,你們為什么不在+2?

第一組:因為這是一個三角形,他們是兩個三角形。

師:答的特別好,我再補充一點。大家看我們把三角形轉化

成平行四邊形,面積變了沒有?這個+2是指的是誰+2?(生:

高)平行四邊形的高是不是三角形高的一半呀?所以這個小2是高

-2,我們在這個轉化當中面積變了沒有?所以能不能+2?

在這種方法(第三種)當中面積變了沒有?(生:變了)變

成了幾個三角形?解答的特別好。

第三組:首先我們確定了這兩個圖形,它們雖然經過轉化,

可是它們的面積沒變。然后原來三角形的高,我們覺得應該等于

長方形的長。而原來三角形其中一條邊的長度是等于它的寬的,

所以我們覺得應該是底X高。

師:我也很想參與,大家看前兩點說的非常對,面積相等對

不對?剛才發現了面積相等,他說原來三角形的高就是這個長方

形的長,對不對?那么他說原來三角形的邊長等于拼成的寬,你

能不能介紹一下哪條邊的長是這個長方形的寬

第二組:在這個三角形中,從兩條邊的中點以下這一部分就

是它的寬。

師:好,沒關系,老師跟大家一起看好。我們看這個圖,大

家看本來三角形是這樣子的。我們沿著中點垂直減下,大家看啊。

長方形的面積和原來三角形的面積沒多沒少,面積相等。長方形

的長是不是三角形的高?

師:達成共識了,關鍵我們來看寬。長方形的寬在這條三角

形的底上,你看這個寬和這個底有什么樣的關系?是相等呢,還

是不相等,是什么樣的關系?把它兩個移到這邊來了,這兩條又

有什么關系?

生:就是我覺得他們之間這個長方形寬的關系,就是這個三

角形的兩個中點之間的長度。

師:這一塊長度和這一塊長度相不相等?那么這一塊跑到哪

去了?這一塊呢?

師:那么這兩部分加起來就是等于下邊這一塊對不對?那么

你說長方形的寬就是這個底邊的多少?

生:一半

師:所以它的面積應該是底X高,還是底的一半乘高?

生:底的一半,

師:你們需要改一改。

師:我們終于把剛才我們的方法研究明白了。同學們,我們

剛才用了三種方法研究。剛才這種方法,跟古人的方法是完全

樣,我們看一下。(板書上的第二種方法)

“半廣以乘正從(zbng)”

七小沏水

師:半廣以乘正從。廣是指三角形的底。正從什么意思呢?

是指三角形的一條高。大家想想,根據剛才我們探究和這個圖,

你能不能解釋一下半廣以成正從什么意思?請你來說

生1:半底乘高

生2:應該是半底乘高就可以得出三角形的面積

生3:底+2義高

師:三個人的想法跟這個想法是完全一致。也是可以用底+2

X高得出三角形的面積。

師:我們把這三種方法一起來看一看。底X(高+2),底+

2X高,底X高+2。

師:哎,一個三角形出來三個公式,我們最好用一個公式對

不對?那你想用哪個公式?能不能用一個統一的公式來表示?

生1:我覺得用用最后一個公式比較好。因為前幾個公式看上

去有點太麻煩,而這個公式知道底和高,然后再+2就可以了

帥:我也同意他的想法,我們看這三個公式里頭都有底X高

+2。用第三個,你看我們把小2放在最后面,也沒有括號了,可

不可以?

師:那么三角形的面積可以怎么求了,找同學完整的說一遍。

生:底X高+2。(教師板書)

師:如果我們底用a,表示高用h表示,面積用S表示。如果

用字母怎么表示這個面積公式你來說

生:S=ah4-2o

師:同學們,我們剛才研究了三角形面積的計算方法。那我

們及時的進行梳理,我們可以積累很多的活動經驗。我們來看一

看。

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底,X舄

師:我們看一下這一個三角形的探究過程。再和前面的平行

四邊形的探究過程比較一下,你有什么發現?

生[。5]1:那個三角形的面積多了一個+2

生2[。6]:相同點都是在不知道新知識的情況下,轉化成己

經學過的舊知識

生3:它們都是用底X高,先算出來它這個圖形的面積。只不

過三角形的不同就是它要:2

生4:我認為那個它們兩個的研究方式后面的都是一樣的。前

面的是要先把三角形轉化成平行四邊形

師:后邊是完全一樣,我們發現了轉化圖形以后。我們要找

好它們之間的關系,我們叫(教師板貼,生:尋找關系)

師:尋找關系,我們最后就可以推導公式。同學們,這種方

法在以后的梯形的研究過程當中也會應到。希望同學們去應用它。

師:方法知道了,我們會計算它的面積了嗎?能不能列式?

=制作這個標志牌需要多少平方分米的鋁皮?

7.8X9+2=35.1(平方分來)/\

師:剛才我們總結了他們的方法,現在我們就運用三角形的

計算面積的方法,我們自己做幾道題。

師:這三道題當中同學們可以自主選擇一道題來完成。

師:我們看一下答案,一起來對一下,全對?

師:老師有個疑問,最后這道題為什么不選13呀?

生:因為計算三角形的公式是底義高?2,但是它那個8m

師:8m是哪個邊的高。(生:25米)

帥:也就是我們在選擇這個底和高的時候,必須是什么樣的

一組底和高啊?(生:對應)

師:我們繼續看第二道題。在上這節課當中我們知道了平行

四邊形玻璃的面積是0.84平方米,那如果我現在在玻璃上要做一

個藍色的噴繪,那這部分的面積是多少?怎么計算?沒有底和高

啦。

生:0.84+2=0.42。因為三角形的面積,就是先求出平行四

邊形的面積再小2,平行四邊形可以分成兩個一樣的

師:平行四邊形正好包含兩個完全一樣三角形。那么但是他

剛才說了一句話,你有沒有聽到,他說三角形是平行四邊形面積

的一半。能隨便說,任何一個三角形是平行四邊形面積一半嗎?

必須什么條件呀?也就是說我們在拼的時候,這個底怎么

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