2/2《特殊平行四邊形間的關系的綜合應用》素養(yǎng)練應用一菱形與矩形的綜合應用1.如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD，BE，BC于點P，O，Q，連接BP，EQ.（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F(xiàn)為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長.應用二菱形與正方形的綜合應用2.【2022·遵義】將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點D與頂點H重合，菱形EFGH的對角線HF經(jīng)過點B，點E，G分別在AB，BC上.（1）求證：△ADE≌△CDG；（2）若AE=BE=2，求BF的長.應用三矩形與正方形的綜合應用3.【2022·海口九中模擬】如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交對角線AC于點M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)，判定四邊形MEBF的形狀，并證明你的結(jié)論.應用四菱形、矩形、正方形的綜合應用4.【邏輯推理】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F.（1）探究OE與OF的數(shù)量關系并加以證明.（2）連接BE，當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE能否為菱形？若能，請證明；若不能，請說明理由.（3）連接AE，AF，當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由.（4）在（3）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由.

參考答案1.（1）證明：∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE.∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∴∠QBO=∠PEO.在△BOQ和△EOP中，∴△BOQ≌△EOP（ASA）.∴QB=PE.∵BC∥AD，∴四邊形BPEQ是平行四邊形.又∵QB=QE，∴四邊形BPEQ是菱形.（2）解：∵O，F(xiàn)分別為BE，AB的中點，∴AE+BE=2OF+2OB=18.設AE=x，則BE=18-x.在Rt△ABE中，，解得x=8，則BE=18-x=10.∴.設PE=y，則AP=8-y，BP=PE=y.在Rt△ABP中，由勾股定理得，解得.在Rt△BOP中，，∴.2.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGH是菱形，頂點D與頂點H重合，菱形EFGH的對角線HF經(jīng)過點B，∴AD=CD，ED=GD，∠ADB=∠CDB，∠EDB=∠GDB.∴∠ADB-∠EDB=∠CDB-∠GDB，即∠ADE=∠CDG.在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG（SAS）.（2）解：如圖，過點E作EQ⊥DF于點Q，則∠EQB=90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=AB=AE+BE=2+2=4，∠EBQ=∠CBD=45°.∴∠QEB=45°=∠EBQ.∴EQ=BQ.由BE=2，易得EQ=BQ=.在Rt△DAE中，由勾股定理得.∵四邊形EFGH是菱形，∴EF=DE=.∴.∴BF=QF-QB.3.解：四邊形MEBF是正方形.證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB=∠MFB=90°.∴四邊形MEBF是矩形.又∵BM是∠ABC的平分線，∴ME=MF.∴矩形MEBF是正方形.4.解：（1）OE=OF證明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF.∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC.∴EO=CO，F(xiàn)O=CO.∴OE=OF.（2）不能為菱形.理由如下：如圖，連接BF，交EC于點G.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴.若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，∴四邊形BCFE不可能為菱形.（3）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.理由：當點O運動到AC的中點時，AO=CO.又∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO.∴AO+CO=EO+FO.即AC=EF.∴四邊形AECF是矩形.（4）當點O運動到AC的中點，且△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AEC