鴿巢原理講義

重點(diǎn)：掌握抽屜原理得兩種基本形式。

教學(xué)重難點(diǎn)難點(diǎn)：能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化成抽屜原理所反映得典型形式。

掌握抽屜得設(shè)計(jì)，蘋果得設(shè)計(jì)以及蘋果得放法。

知識縱橫:

“抽屜原理”又稱“鴿籠原理”，最先就是由19世紀(jì)得德國數(shù)學(xué)家狄利克

雷提出來得，所以又稱“狄里克雷原理"這一原理在解決實(shí)際問題中有著廣

泛得應(yīng)用。“抽屜原理”得應(yīng)用就是千變?nèi)f化得,用它可以解決許多有趣得問

題,并且常常能得到一些令人驚異得結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。

7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有(2)

只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里。

教學(xué)內(nèi)容如果每個鴿舍里飛進(jìn)一只鴿子，最多飛進(jìn)5只鴿子,

剩下的2只鴿子飛進(jìn)其中的一個鴿舍里或分別飛進(jìn)兩

個鴿舍里所以，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里。

三個蘋果放進(jìn)兩個抽屜，總有某個抽屜得蘋果數(shù)不止一個,這個結(jié)論就是很明

顯得,但這當(dāng)中蘊(yùn)含著一個有趣得數(shù)學(xué)現(xiàn)象被稱為抽屜原理。

抽屜原理一般有兩種基本形式：

一、將n+l個蘋果放入n個抽屜中，則必有一個抽屜中至少有2個革果；

二、將n】Xn+l個蘋果放入n個抽屜中，則必須有一個抽屜中至少有：m+l)

個蘋果

應(yīng)用抽屜原理解題得一般步驟就是：

1、分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成抽屜原理所反映得典型形式，即指出“抽屜”

與“蘋果”；

2、設(shè)計(jì)“抽屜”得具體形式，構(gòu)造“蘋果”；

3、運(yùn)用原理，得出在某個抽屜中“蘋果”得個數(shù),最終回歸到原理得結(jié)論上。

其中，抽屜得設(shè)計(jì)，蘋果得設(shè)計(jì)及蘋果得放法就是應(yīng)用抽屜原理解決問題得關(guān)

鍵。

例題講解

例1：某班有42名同學(xué),至少有多少名同學(xué)在同一個月出生？

［分析］把42名同學(xué)得出生月份瞧做42個元素,把一年12個月瞧成12個抽

屜，因?yàn)?2=12X3+6。所以依據(jù)抽屜原理二,至少在一個月里有

3+1=4（名）同學(xué)出生。

【舉一反三】

五年級有128名同學(xué)，其中至少有多少個同學(xué)在同一周過生日？

例2:一副撲克牌有4種花色,每種花色有13張,從中任意抽牌，問最少要抽多

少張牌才能保證就是同一花色得？

【舉一反三】

一個口袋里分別有紅、黃、黑球4,7,8個,為使取出得球中保證能有六個同色,

則至少要去小球多少個？

例3:學(xué)校組織2006名同學(xué)去春游，現(xiàn)有解放公園、野生動物園、水族公園三

個景點(diǎn),規(guī)定每人至少去一處,最多去兩處游覽,那么至少有多少個同學(xué)游覽

得地方相同？

【分析】先分類求出每人去一處或兩處得種數(shù),再根據(jù)抽屜原理,把種數(shù)設(shè)為

“抽屜”，把2006名學(xué)生作為“蘋果”。因?yàn)橐?guī)定每人最少去一處，最多去兩

處游覽,所以去一處得有:解放公園,野生動物園，水族公園。去另一處得有：

解放公園-野生動物園，解放公園-水族公園,野生動物園-水族公園。總共有6

種，即6個抽屜，而2006=334X6+2,根據(jù)抽屜原理至少有334+1=3351人）。

【舉一反三】

“六一”兒童節(jié)老師買來一些鉛筆、橡皮與直尺,獎給全班40名同學(xué),每人都

得到其中得一、二或三種,那么，她們當(dāng)中至少有幾個同學(xué)得到得學(xué)習(xí)用具相

同？

例4:黑色、白色、黃色得筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗里想從這些筷

子中取出顏色不同得兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？

【分析】從最不巧得情況想,摸出得8根筷子全就是相同顏色,這就有一雙筷

子顏色相同。另外還剩下兩種顏色得筷子,再從最壞得情況瞧,從余下得兩種

顏色得筷子中摸出兩根顏色不同得筷子,再摸一根筷子,無論就是什么顏色，

都能保證得到一雙顏色相同得筷子。所以至少要取8+2+1=11根筷子才能保證

達(dá)到要求。

【舉一反二】

五⑴班得同學(xué)要從10名候選人中投票選舉班干部,如果每個同學(xué)只能投票

選舉兩名候選人,那么，這個班至少應(yīng)有多少個同學(xué),才能保證必有兩個以上

得同學(xué)投相同得兩名候選人得票？

例5:任意5個整數(shù),說明其中一定能選出3個數(shù)，使它們得與能被3整除。

【分析】我們從這5個被3整除得余數(shù)考慮起。三個數(shù)得與能被3整除,這三

個數(shù)只有以下兩種情況：

1.這三個數(shù)被3除得余數(shù)都相同；

2.這三個數(shù)被3除得余數(shù)都不相同。從這兩種情況加以說明：

(1)若這5個余數(shù)中，有三個余數(shù)互不相同，則取出這二個數(shù)得與一定能被

3整除。

(2)若這5個余數(shù)中,找不到互不相同得3個余數(shù)，則3個余數(shù)中至多出現(xiàn)

2個,則這5個余數(shù)中至少有3個余數(shù)為0,1或2。此時(shí)只要取出這3

個被3除余數(shù)相同得與,則這3個數(shù)得與就能被3整除。

【舉一反三】

從2,4,6,…,30這15個偶數(shù)中任取9個數(shù),試說明其中一定有兩個數(shù)之與就

是34o

例6:在1,3,5,7,-,97,99這50個奇數(shù)中,最多能取出多少個數(shù)，使其中任何

一個都不就是另一個得倍數(shù)？

【分析】這50個數(shù)都就是奇數(shù),如果其中某兩個數(shù),一個就是另一個得倍數(shù)，

則一定就是奇數(shù)倍并至少為3倍,所以這些數(shù)中超過33得數(shù),她們得倍數(shù)都不

在這50個數(shù)中。即從35到99這33個數(shù)中，任何一個都不就是另一個得倍數(shù)。

但這33個數(shù)就是否就是最多得選法呢？我們把一個數(shù)就是另一個數(shù)得倍數(shù)

得情況進(jìn)行分類整

理:(1,3,9,27,81);(5,15,45);(7,21,63);(11,33,99);(13,39);(17,51);(1

9,57);(23,69);(25,75);(29,87);(31,93)。這11個括號內(nèi),每個括號最多取

一個數(shù),從而這11個括號中得數(shù)至少有17個取不到。從而所有50個數(shù)中，

至多能取出50-17=33個數(shù)。

【舉一反三】

從整數(shù)1,2,3,…，100中任選51個數(shù),請說明在選出得數(shù)中，至少有兩個數(shù)，

其中得一個數(shù)就是另一個數(shù)得倍數(shù)？

1.三個小朋友一起做游戲,試說明其中必有兩個小朋友得性別相同。

2.實(shí)驗(yàn)小學(xué)有850名同學(xué),從這些同學(xué)中任意選出27名同學(xué),其中至少有幾

個學(xué)生得屬相就是相同得？

3.袋子里有紅、黃、藍(lán)、白四種顏色得珠子各15粒，閉上眼睛想要摸出顏色

相同得6粒珠子,至少要摸出幾粒珠子,才能保證達(dá)到目得？

4.從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)必有兩個數(shù),其中一個數(shù)就是另一個

課后作業(yè)數(shù)得倍數(shù)？

5.在1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34中任選出7個不同得數(shù),其中必有

設(shè)計(jì)

兩個數(shù)得與為35。

6.停車場上有40輛客車。各種客車座位數(shù)不同,最少得有27座。那么,在這

些客車中，至少有