鄂州2024中考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列各數中，有理數是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$-\sqrt{3}$

2.若$a$是一個正數，則下列不等式中正確的是（）

A.$a^2>a$

B.$a^2<a$

C.$-a^2>-a$

D.$-a^2<-a$

3.已知$x^2-5x+6=0$，則$x^2-5x+10$的值是（）

A.0

B.1

C.4

D.5

4.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosB$的值是（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{3}$

D.$\frac{5}{4}$

5.已知$x+y=5$，$xy=6$，則$x^2+y^2$的值是（）

A.19

B.21

C.25

D.29

6.若$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，則$a^2+b^2+c^2$的值是（）

A.36

B.45

C.54

D.63

7.已知$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(-1)$的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.若$a$，$b$，$c$是等比數列的前三項，且$abc=27$，$a+b+c=9$，則$b^2$的值是（）

A.3

B.6

C.9

D.12

9.已知$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，則$f(2)$的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，則$a^3+b^3+c^3$的值是（）

A.216

B.243

C.270

D.297

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些是奇函數？（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=x^2$

D.$f(x)=\cosx$

2.若$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，則以下哪些選項是正確的？（）

A.$a=3$

B.$b=3$

C.$c=3$

D.$a^2+b^2+c^2=27$

3.在直角坐標系中，下列哪些點在直線$y=2x+1$上？（）

A.$(1,3)$

B.$(2,5)$

C.$(3,7)$

D.$(4,9)$

4.已知$f(x)=x^2-4x+4$，則$f(x)$的圖像特征包括哪些？（）

A.頂點為$(2,0)$

B.與$x$軸的交點為$(2,0)$

C.與$y$軸的交點為$(0,4)$

D.圖像是一個開口向上的拋物線

5.下列哪些數是實數？（）

A.$\sqrt{4}$

B.$-\sqrt{9}$

C.$\pi$

D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，則$a^2+b^2+c^2$的值為______。

2.函數$f(x)=x^2-4x+4$的圖像與$x$軸的交點坐標為______。

3.在直角坐標系中，點$(3,-2)$關于直線$y=x$的對稱點坐標為______。

4.若$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\cosA$的值為______。

5.已知$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，則$f(3)$的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=11\\

x-y=2

\end{cases}

\]

2.計算下列表達式的值：

\[

\frac{5x^2-4x-3}{x+1}+\frac{2x^2-3x-1}{x-1}

\]

其中$x=2$。

3.已知$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，求$a^2+b^2+c^2$的值。

4.在直角坐標系中，若點$A(1,2)$和$B(4,6)$，求直線$AB$的方程。

5.解不等式組：

\[

\begin{cases}

2x-3y\geq6\\

x+4y\leq12

\end{cases}

\]

并畫出解集的平面區域。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.C（有理數是可以表示為兩個整數之比的數，而$\frac{1}{3}$可以表示為$\frac{1}{3}\times1$，所以是有理數。）

2.A（當$a$為正數時，$a^2$一定大于$a$，因為平方會使正數增大。）

3.B（將$x^2-5x+6$因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，所以$x$的值為2或3，代入$x^2-5x+10$得到1。）

4.A（根據勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，所以$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\times3\times5}=\frac{9+25-16}{30}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$。）

5.A（根據二次方程的根與系數的關系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2\times6=25-12=13$。）

6.B（根據等差數列的性質，$a+b+c=3b$，所以$b=3$，代入$abc=27$得到$a\cdot3\cdotc=27$，所以$ac=9$。由等差數列的性質，$a^2+c^2=(a+c)^2-2ac=(2b)^2-2ac=36-18=18$。）

7.A（直接代入$f(x)=x^2-2x+1$得到$f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)+1=1+2+1=4$。）

8.C（根據等比數列的性質，$a\cdotb\cdotc=b^3$，所以$b^3=27$，所以$b=3$。）

9.B（直接代入$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$得到$f(2)=\frac{2^2-3\times2+2}{2-1}=\frac{4-6+2}{1}=0$。）

10.D（根據等差數列的性質，$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$，由第6題知$a+b+c=9$，$a^2+b^2+c^2=27$，$ab+ac+bc=9b=27$，所以$a^3+b^3+c^3=9\times(27-27)=0$。）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.AB（奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，$x^3$和$\sinx$都是奇函數。）

2.AB（根據等差數列的性質和題目條件，可以得出$a=3$，$b=3$，$c=3$。）

3.ABCD（將點$(3,-2)$代入直線方程$y=2x+1$，解得$x=1$，$y=3$，所以對稱點為$(1,3)$。）

4.AD（根據二次函數的頂點公式，頂點坐標為$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入得頂點為$(2,0)$，與$x$軸的交點為$(2,0)$，與$y$軸的交點為$(0,4)$。）

5.ABCD（$\sqrt{4}$是正數的平方根，$-\sqrt{9}$是負數的平方根，$\pi$是無理數，$\frac{1}{\sqrt{2}}$是無理數，所以都是實數。）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.36（根據等差數列的性質，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=9^2-2\times27=81-54=27$。）

2.$(2,0)$（直接代入$f(x)=x^2-4x+4$得到$f(2)=2^2-4\times2+4=4-8+4=0$。）

3.$(1,3)$（關于直線$y=x$的對稱點坐標為$(y,x)$。）

4.$\frac{5}{3}$（根據勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{5}{6}$。）

5.0（直接代入$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$得到$f(3)=\frac{3^2-3\times3+2}{3-1}=\frac{9-9+2}{2}=\frac{2}{2}=1$。）

四、計算題答案及知識點詳解：

1.解方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=11\\

x-y=2

\end{cases}

\]

解：將第二個方程乘以3得到$3x-3y=6$，然后將兩個方程相加得到$5x=17$，解得$x=\frac{17}{5}$。將$x$的值代入第二個方程得到$y=\frac{3}{5}$。所以方程組的解為$x=\frac{17}{5}$，$y=\frac{3}{5}$。

2.計算下列表達式的值：

\[

\frac{5x^2-4x-3}{x+1}+\frac{2x^2-3x-1}{x-1}

\]

其中$x=2$。

解：將$x=2$代入表達式得：

\[

\frac{5\times2^2-4\times2-3}{2+1}+\frac{2\times2^2-3\times2-1}{2-1}=\frac{20-8-3}{3}+\frac{8-6-1}{1}=\frac{9}{3}+1=3+1=4

\]

3.已知$a$，$b$，$c$是等差數列的前三項，且$a+b+c=9$，$abc=27$，求$a^2+b^2+c^2$的值。

解：根據等差數列的性質，$a+b+c=3b$，所以$b=3$。代入$abc=27$得到$a\cdot3\cdotc=27$，所以$ac=9$。由等差數列的性質，$a^2+c^2=(a+c)^2-2ac=(2b)^2-2ac=36-18=18$。所以$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=9^2-2\times27=81-54=27$。

4.在直角坐標系中，若點$A(1,2)$和$B(4,6)$，求直線$AB$的方程。

解：兩點式直線方程為$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$，代入點$A$和$B$的坐標得：

\[

y-2=\frac{6-2}{4-1}(x-1)\Rightarrowy-2=\frac{4}{3}(x-1)\Rightarrow4x-3y-2=0

\]