高三題目數(shù)學(xué)及答案解析

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)（\(i\)為虛數(shù)單位），則\(\vertz\vert=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=(\)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=100\)，則\(n=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知\(\log_2a=\frac{1}{3}\)，則\(a=(\)\)A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\sqrt[3]{2}\)D.\(\sqrt{2}\)7.過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)且與直線(xiàn)\(x-2y-2=0\)平行的直線(xiàn)方程是（）A.\(x-2y-1=0\)B.\(x-2y+1=0\)C.\(2x+y-2=0\)D.\(x+2y-1=0\)8.已知雙曲線(xiàn)\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(\sqrt{2}\)，則其漸近線(xiàn)方程為（）A.\(y=\pmx\)B.\(y=\pm\sqrt{2}x\)C.\(y=\pm\sqrt{3}x\)D.\(y=\pm2x\)9.已知\(x\)，\(y\)滿(mǎn)足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^{2}-x\)，則\(f(-2)=(\)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(6\)D.\(-6\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)C.若\(a\ltb\lt0\)，則\(a^2\gtab\gtb^2\)D.若\(a\gtb\)，\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)，則\(ab\lt0\)3.對(duì)于函數(shù)\(y=\cos2x\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=\frac{\pi}{2}\)對(duì)稱(chēng)C.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{4},0)\)對(duì)稱(chēng)D.在區(qū)間\((0,\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞減4.已知\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比\(q\gt1\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(a_1\gt0\)B.\(a_1\lt0\)C.\(S_n\)單調(diào)遞增D.\(S_n\)可能單調(diào)遞減5.已知直線(xiàn)\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(l_1\parallell_2\)，則\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.若\(l_1\perpl_2\)，則\(A_1A_2+B_1B_2=0\)C.若\(A_1B_2-A_2B_1=0\)，則\(l_1\parallell_2\)D.若\(l_1\)與\(l_2\)相交，則\(A_1B_2-A_2B_1\neq0\)6.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)7.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，且\(f(x+1)\)是偶函數(shù)，\(f(x-1)\)是奇函數(shù)，則（）A.\(f(x)\)是偶函數(shù)B.\(f(x)\)是奇函數(shù)C.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=1\)對(duì)稱(chēng)D.\(f(x)\)的周期為\(4\)8.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)為\(f^\prime(x)\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立C.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)為\(f(x)\)的極值點(diǎn)D.若\(x_0\)為\(f(x)\)的極值點(diǎn)，則\(f^\prime(x_0)=0\)10.已知圓\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直線(xiàn)\(l\)：\(mx-y+1-m=0\)，則（）A.直線(xiàn)\(l\)恒過(guò)定點(diǎn)\((1,1)\)B.直線(xiàn)\(l\)與圓\(C\)可能相離C.直線(xiàn)\(l\)被圓\(C\)截得的弦長(zhǎng)的最小值為\(4\sqrt{6}\)D.當(dāng)直線(xiàn)\(l\)與圓\(C\)相切時(shí)，\(m=-\frac{3}{4}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^3\gtb^3\)。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角）。（）4.拋物線(xiàn)\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（）5.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）6.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到\(y=\sin(x-\frac{\pi}{3})\)的圖象。（）7.若直線(xiàn)\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上一定單調(diào)遞增。（）9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(x^2+1\gt0\)恒成立。（）10.若\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，則\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，解得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，即\(a_1+2\times2=5\)，得\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對(duì)邊，且\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(\sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)。將\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(\sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)代入，得\(\sinB=\frac{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1}{2}\)。因?yàn)閈(a\gtb\)，所以\(A\gtB\)，且\(0\ltB\lt\pi\)，所以\(B=\frac{\pi}{6}\)。3.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)取得最小值\(y_{min}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=3^2-2\times3+3=6\)，所以\(y\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值為\(6\)。4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率。答案：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，可得\(a^2=25\)，\(b^2=9\)，則\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=4\)。長(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a=10\)，短軸長(zhǎng)\(2b=6\)，焦距\(2c=8\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的單調(diào)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}\)，定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}\)。當(dāng)\(x\in(-\infty,0)\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x\in(0,+\infty)\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。2.已知直線(xiàn)\(l\)過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)，討論直線(xiàn)\(l\)斜率的存在情況以及直線(xiàn)\(l\