期末復習專題01等差數列和等比數列內容導圖內容導圖預覽考點清單總結考點清單總結考點清單1等差數列的概念及通項公式一、等差數列的概念一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.二、等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，A叫做a與b的等差中項，且2A=a+b.三、等差數列的通項公式1.首項為a1，公差為d的等差數列｛an｝的通項公式為an=a1+（n1）d.2.若數列｛an｝是等差數列，首項為a1，公差為d，則an=f（n）=a1+（n1）d=nd+（a1d）.（1）點（n，an）落在直線y=dx+（a1d）上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1d；

（2）這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.四、等差數列的判定與證明證明或判定等差數列的方法（1）定義法：an+1an=d（n∈N*）.（2）等差中項法：2an=an1+an+1（n≥2）.（3）通項公式法：an=a1+（n1）d=pn+q（p，q為常數）.考點清單2等差數列的性質1.設等差數列｛an｝的首項為a1，公差為d，則（1）an=dn+（a1d）（n∈N*）；（2）an=am+（nm）d（m，n∈N*）；（3）d=an?amn?m（m，n2.下標性質：在等差數列｛an｝中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq.特別地，若m+n=2p（m，n，p∈N*），則有am+an=2ap.若｛an｝，｛bn｝分別是公差為d，d'的等差數列，則有數列結論｛c+an｝公差為d的等差數列（c為任一常數）｛c·an｝公差為cd的等差數列（c為任一常數）｛an+an+k｝公差為2d的等差數列（k為常數，k∈N*）｛pan+qbn｝公差為pd+qd'的等差數列（p，q為常數）考點清單3等差數列的前n項和公式一、等差數列的前n項和有關計算等差數列的前n項和公式已知量首項、末項與項數首項、公差與項數求和公式Sn=nSn=na1+n（二、等差數列中前n項和的最值問題等差數列前n項和的最值（1）在等差數列｛an｝中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組an當a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式組an（2）Sn=d2n2+a1?d2n，若d≠0，則從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值.當三、求數列｛|an|｝的前n項和由等差數列｛an｝求數列｛|an|｝的前n項和的技巧常先由Sn的最值判斷出哪些項為正，哪些項為負或先求出an，解得an≥0時n的取值范圍，判斷出哪些項為正，哪些項為負.（1）等差數列｛an｝的各項都為非負數，這種情形中數列｛|an|｝就等于數列｛an｝，可以直接求解.（2）若前k項為負，從k+1項開始以后的項非負，則｛|an|｝的前n項和Tn=?（3）若前k項為正，從k+1項開始以后的項非正，則Tn=S（4）分別求出an≥0與an<0時的和，再相減求出|an|的前n項和.四、等差數列前n項和的性質及應用1.設等差數列｛an｝的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d.2.若數列｛an｝是公差為d的等差數列，則數列Snn也是等差數列，且公差為3.在等差數列中，若Sn=m，Sm=n，則Sm+n=（m+n）.4.已知等差數列｛an｝和｛bn｝的前n項和分別為Sn，Tn，則anbn=S2n?1T五、等差數列的奇（偶）項和問題等差數列的奇（偶）項和的性質（1）設等差數列｛an｝的項數為2n（n∈N*），則有：①S2n=n（an+an+1）；②S偶S奇=nd，S偶S奇=an+1an（an≠0，且S奇（2）設等差數列｛an｝的項數為2n1（n≥2，且n∈N*），則S2n1=（2n1）an（an是數列的中間項），S奇S偶=an，S奇S偶考點清單4等比數列的概念及通項公式一、等比數列的有關概念等比數列的概念一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）.二、等比中項等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2=ab.三、等比數列的通項公式1.首項為a1，公比為q的等比數列｛an｝的通項公式為an=a1qn1.2.等比數列的通項公式與指數型函數的關系（1）當q>0且q≠1時，等比數列｛an｝的第n項an是函數f（x）=a1q·qx（x∈R）當x=n時的函數值，即an=f（（2）任給函數f（x）=kax（k，a為常數，k≠0，a>0，且a≠1），則f（1）=ka，f（2）=ka2，…，f（n）=kan，…構成一個等比數列｛kan｝，其首項為ka，公比為a.注意點：（1）當a1>0，q>1時，數列｛an｝為正項的遞增等比數列.（2）當a1>0，0<q<1時，數列｛an｝為正項的遞減等比數列.（3）當a1<0，q>1時，數列｛an｝為負項的遞減等比數列.（4）當a1<0，0<q<1時，數列｛an｝為負項的遞增等比數列.（5）當q=1時，數列｛an｝為常數列.（6）當q<0時，數列｛an｝為擺動數列；奇數項符號相同，偶數項符號相同.四、等比數列的判定與證明判定與證明等比數列的方法（1）定義法：anan?1=q（n∈N*且（2）等比中項法：an2=an1an+1（n∈N*且n≥2，a（3）通項公式法：an=a1qn1=a1q·qn=A·qn（考點清單5等比數列的性質一、等比數列的性質1.等比數列通項公式的推廣和變形an=amqnm.2.設數列｛an｝為等比數列，則：（1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），則ak·al=am·an.（2）若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列.注意點：（1）性質的推廣：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz.（2）該性質要求下標的和相等，且左右兩側項數相同.（3）在有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即a1·an=a2·an1=….二、由等比數列構造新等比數列等比數列的常用結論（1）若｛an｝是公比為q的等比數列，則①｛can｝（c為任一不為零的常數）是公比為q的等比數列；②｛|an|｝是公比為|q|的等比數列；③｛anm｝（m為常數，m∈N*）是公比為q（2）若｛an｝，｛bn｝分別是公比為q1，q2的等比數列，則數列｛an·bn｝是公比為q1·q2的等比數列.（3）等比數列的“子數列”的性質若數列｛an｝是公比為q的等比數列，則①｛an｝去掉前幾項后余下的項仍組成公比為q的等比數列；②奇數項數列｛a2n1｝是公比為q2的等比數列，偶數項數列｛a2n｝是公比為q2的等比數列；③若｛kn｝是等差數列且公差為d，則｛akn｝是公比為q考點清單6等比數列前n項和公式一、等比數列前n項和的計算已知量首項、公比與項數首項、公比與末項求和公式公式一：Sn=a公式二：Sn=a二、利用等比數列前n項和公式判斷等比數列1.當公比q≠1時，設A=a1q?1，等比數列的前n項和公式是Sn=AqnA.即Sn2.當公比q=1時，因為a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函數.注意點：公比不為1的等比數列前n項和公式的結構特點：qn的系數與常數項互為相反數.三、等比數列前n項和公式的性質1.數列｛an｝為公比不為1的等比數列（或公比為1，且n不是偶數），Sn為其前n項和，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍構成等比數列.2.若｛an｝是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：（1）在其前2n項中，S偶S奇（2）在其前2n+1項中，S奇S偶=a1a2+a3a4+…a2n+a2n+1=a1+a2n+1q1?（?q）=a1+a3.若｛an｝是公比為q的等比數列，則Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N*）.注意點：等比數列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.考點題型·鞏新知考點題型·鞏新知考點一等差數列的判斷1．若數列是等差數列，則下列數列不一定是等差數列的是（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知數列、都是正項等比數列，則（

）考點二等差數列的證明(2)證明是等差數列.(2)求數列的通項公式．(2)求數列的通項公式.(1)計算數列的前4項；(3)求的通項公式.(2)求的通項公式考點三等差數列基本量的計算A． B． C． D．A．2 B．1 C．2 D．3A． B． C． D．1考點四等差數列角標和性質A．1 B．2 C．3 D．4A．4 B．3 C．2 D．1A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定考點五Sn的片段和性質A．17 B．19 C．21 D．23A．36 B．48 C．60 D．120A．1 B．2 C．3 D．6考點六Sn/n的等差性質A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040A．10 B．100 C．110 D．120A． B． C． D．考點七兩等差數列前n項和比的性質A． B． C． D．A． B． C． D．考點八Sn的二次函數性質A．14 B．13 C．11 D．7考點九Sn的奇偶數項和的性質41．已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261.則此數列的項數為（

）A．15 B．17 C．19 D．21A．60 B．70 C．75 D．85考點十｜an｜的前n項和A．80 B．208 C．680 D．780(1)求數列的通項公式(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和(1)求數列的通項公式；考點十一等差數列的應用48．《九章算術》是中國古代的數學名著，書中有“分錢問題”：現有5個人分5錢，5人分得錢數依次成等差數列，前兩人分得錢數之和等于后三人分得錢數之和，則分得錢數最少的一人錢數為（

）A． B． C． D．49．《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數學著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增的等差數列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若上造出27錢，則公士出錢數為（）A．31錢 B．32錢 C．33錢 D．34錢A．9 B．10 C．11 D．1251．《張邱健算經》是公元5世紀中國古代內容豐富的數學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了尺布.”52．元代數學家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關數列的計算問題：“今有竹七節，下兩節容米四升，上兩節容米二升，各節欲均容，問逐節各容幾升？”其大意為：現有一根七節的竹子，最下面兩節可裝米四升，最上面兩節可裝米二升，如果竹子裝米量逐節等量減少，問竹子各節各裝米多少升？以此計算，這根竹子的裝米量為（

）A．升 B．升 C．升 D．升考點十二等差數列的綜合題(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．(2)求數列的通項公式；(1)求的通項公式；（2）若為數列中的最小項，求的取值范圍．

考點十三等比數列的判斷A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件A．為等差數列 B．為等比數列C．為等差數列 D．為等比數列

考點十四等比數列的證明(2)求的通項公式.(2)求數列的通項公式.(1)求實數的值；考點十五等比數列基本量的計算A． B． C．3 D．13A．5 B．10 C．15 D．20A．5 B．3 C． D．A． B． C．14 D．15考點十六等比數列角標和性質A． B． C． D．3A．1 B． C．2 D．3A．10 B．11 C．12 D．22A．3 B．±3 C．9 D．±9考點十七Sn的性質應用A．2 B．4 C．6 D．8A．12 B．14 C．16 D．18A．2 B．3 C．4 D．5A． B． C．3 D．12A． B． C．0 D．2考點十八等比數列的簡單應用84．洛陽龍門石窟是世界上規模最大的石刻藝術寶庫，被聯合國教科文組織評為“中國石刻藝術的最高峰”.現有一石窟的某處共有378個“浮雕像”，分為6層，對每一層來說，上一層的數量是該層的2倍，則從下往上數，第4層“浮雕像”的數量為（

）A．16 B．32 C．48 D．6485．某農村合作社引進先進技術提升某農產品的深加工技術，以此達到10年內每年此農產品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產品的銷售總額約為（

）A．964萬元 B．2980萬元 C．3940萬元 D．5170萬元86．《九章算術》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經過的時間最少為（

）A．3天 B．4天 C．5天 D．6天87．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點