福建省高三聯考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x+2}$在其定義域內是增函數，則實數$x$的取值范圍為：

A.$x>1$

B.$x>2$

C.$x>3$

D.$x\geq1$

2.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2$，若$f'(x)=0$的解為$x_1$和$x_2$，則函數的極大值和極小值分別為：

A.$f(x_1)=2,f(x_2)=-2$

B.$f(x_1)=-2,f(x_2)=2$

C.$f(x_1)=-2,f(x_2)=0$

D.$f(x_1)=2,f(x_2)=0$

3.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，則$S_5$的值為：

A.15

B.20

C.25

D.30

4.已知圓$x^2+y^2=16$的圓心為$(0,0)$，點$P(2,2)$到圓的距離為：

A.$2\sqrt{2}$

B.$2\sqrt{3}$

C.$4\sqrt{2}$

D.$4\sqrt{3}$

5.若等差數列$\{a_n\}$的公差$d=2$，且$a_1+a_5=20$，則$a_3$的值為：

A.8

B.10

C.12

D.14

6.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的數量積為：

A.5

B.-5

C.0

D.3

7.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$在$x=2$處取得極值，則$f'(2)$的值為：

A.0

B.1

C.-1

D.2

8.已知等比數列$\{a_n\}$的公比$q=2$，若$a_1=3$，則$a_4$的值為：

A.24

B.12

C.6

D.3

9.若函數$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$在$x=1$處有極值，則該極值為：

A.0

B.1

C.-1

D.無極值

10.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=6$，則$S_4$的值為：

A.16

B.20

C.24

D.28

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，在定義域內既是奇函數又是偶函數的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=\cos(x)$

D.$f(x)=|x|$

2.若函數$f(x)=x^3-3x^2+2x$的圖像與直線$y=2$有兩個不同的交點，則下列條件正確的是：

A.$f'(1)=0$

B.$f'(2)=0$

C.$f'(3)=0$

D.$f'(4)=0$

3.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，則下列說法正確的是：

A.$\{a_n\}$是等差數列

B.$\{a_n\}$是等比數列

C.$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=n^2$

D.$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=n^2-n$

4.下列關于復數的說法中，正確的是：

A.復數可以表示為實部和虛部的和

B.復數乘法滿足交換律

C.復數除法滿足交換律

D.復數加法滿足結合律

5.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(1,-2)$，則下列關于向量積的說法中，正確的是：

A.$\vec{a}\times\vec{b}=2\vec{a}-3\vec{b}$

B.$\vec{a}\times\vec{b}=-2\vec{a}+3\vec{b}$

C.$\vec{a}\times\vec{b}=6+8i$

D.$\vec{a}\times\vec{b}=-6-8i$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的值域為_________。

2.若等差數列$\{a_n\}$的公差$d=3$，且$a_1+a_5=20$，則$a_3=$_________。

3.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec{b}=(2,-1)$的夾角余弦值為_________。

4.圓$(x-3)^2+(y+2)^2=25$的圓心坐標為_________。

5.若函數$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x+2}$在$x=3$處取得極值，則$f'(3)=$_________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題：已知函數$f(x)=x^3-9x^2+24x$，求函數的極值點和拐點。

2.計算題：設數列$\{a_n\}$滿足遞推關系$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2n$（$n\geq2$），求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}$。

3.計算題：已知平面直角坐標系中，點$A(1,2)$和點$B(3,4)$，求過這兩點的直線方程。

4.計算題：計算定積分$\int_0^1(3x^2+2x+1)dx$。

5.計算題：設復數$z=a+bi$（其中$a,b$為實數），若$|z-i|=|z+1|$，求復數$z$的實部和虛部。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.答案：B

知識點：函數的定義域和增減性。函數的定義域是$x>1$，因為對數函數的定義域是正實數，而根號下的表達式必須大于等于0。

2.答案：A

知識點：函數的導數和極值。求導得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x_1=1$和$x_2=2$，計算得$f(1)=2$和$f(2)=-2$。

3.答案：B

知識點：數列的求和。利用等差數列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$n=5$計算得$S_5=20$。

4.答案：B

知識點：點到圓的距離。利用點到圓心的距離公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入點$P(2,2)$和圓心$(0,0)$的坐標計算得$d=2\sqrt{3}$。

5.答案：B

知識點：等差數列的性質。利用等差數列的性質$a_3=\frac{a_1+a_5}{2}$，代入$a_1$和$a_5$的值計算得$a_3=10$。

6.答案：A

知識點：向量的數量積。向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的數量積為$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=1\times2+2\times1=5$。

7.答案：A

知識點：函數的導數和極值。求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=2$，計算得$f'(2)=0$。

8.答案：A

知識點：等比數列的性質。利用等比數列的性質$a_4=a_1q^3$，代入$a_1=3$和$q=2$計算得$a_4=24$。

9.答案：C

知識點：函數的極值。函數$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$在$x=1$處有極值，因為分母為0，分子也為0，故極值為-1。

10.答案：D

知識點：數列的求和。利用等差數列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=6$，$n=4$計算得$S_4=24$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.答案：BCD

知識點：函數的性質。奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數滿足$f(-x)=f(x)$，$\cos(x)$是偶函數，$|x|$是偶函數。

2.答案：ABD

知識點：函數的導數和交點。求導得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x_1=1$和$x_2=2$，計算得$f(1)=2$和$f(2)=-2$，故有兩個交點。

3.答案：ACD

知識點：數列的性質。數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，是等差數列，前$n$項和為$S_n=n^2-n$。

4.答案：ABD

知識點：復數的性質。復數可以表示為實部和虛部的和，復數乘法滿足交換律和結合律，加法滿足結合律。

5.答案：BCD

知識點：向量的向量積。向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的向量積為$\vec{a}\times\vec{b}=2\vec{a}-3\vec{b}$，計算得$\vec{a}\times\vec{b}=6+8i$。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.答案：$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$

知識點：函數的值域。函數的定義域是$x>1$，當$x>2$時，函數值為正；當$x<2$時，函數值為負。

2.答案：2

知識點：數列的極限。利用遞推關系和數列極限的性質，計算得$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}=2$。

3.答案：$\frac{3}{5}$

知識點：向量的夾角。利用向量的點積公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，代入向量的坐標計算得$\cos\theta=\frac{3}{5}$。

4.答案：$\frac{41}{6}$

知識點：定積分的計算。利用定積分的基本公式和積分技巧，計算得$\int_0^1(3x^2+2x+1)dx=\frac{41}{6}$。

5.答案：$a=-1,b=2$

知識點：復數的幾何意義。利用復數的模和幾何關系，解方程得$a=-1,b=2$。

四、計算題答案及知識點詳解：

1.答案：極值點為$x=2$，拐點為$x=1$。

知識點：函數的極值和拐點。求導得$f'(x)=3x^2-18x+24$，令$f'(x)=0$得$x=2$和$x=4$，二階導數$f''(x)=6x-18$，在$x=2$處$f''(2)=-6<0$，故$x=2$是極大值點；在$x=4$處$f''(4)=6>0$，故$x=4$是極小值點。求二階導數的零點得$x=1$，故$x=1$是拐點。

2.答案：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}=2$。

知識點：數列的極限。利用遞推關系和數列極限的性質，計算得$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}=2$。

3.答案：$y=x+1$。

知識點：直線方程的求解。利用兩點式直線方程$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$，代入點$A(1,2)$和點$B(3,4)$的坐標計算得直線方程$y=x+1$。

4.答案：$\frac{41}{6}$。

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