專題1.5空間向量的應用（一）：用空間向量研究直線、平面的位置關系（舉一反三講義）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求平面的法向量】 2【題型2利用空間向量證明線線平行】 4【題型3利用空間向量證明線面平行】 6【題型4利用空間向量證明面面平行】 9【題型5利用空間向量證明線線垂直】 14【題型6利用空間向量證明線面垂直】 18【題型7利用空間向量證明面面垂直】 23【題型8平行、垂直綜合的向量證明】 28【題型9空間中位置關系的探索性問題】 32知識點1空間中點、直線和平面的向量表示1．空間中點、直線和平面的向量表示(1)空間中點的位置向量：如圖，在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：【注】一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量.已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.【題型1求平面的法向量】【例1】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，則平面ABC的一個法向量可以為（

）A．(4,3,6) B．(?4,3,6) C．(4,?3,6) D．(4,3,?6)【解題思路】由題設AB=(3,?4,0)，AC【解答過程】由題設AB=(3,?4,0)，AC若m=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，則m取y=3，則m=(4,3,6)故選：A.【變式11】（2425高二上·海南省直轄縣級單位·期末）已知點A0,0,0、B0,0,1、C1,1,0在平面α內，則下列向量為平面αA．n=0,1,0 C．n=1,1,0 【解題思路】設平面α的法向量為n=x,y,z，根據法向量的定義可得出n?【解答過程】設平面α的法向量為n=x,y,z，由題意可得AB=則n?AB=z=0n?故選：B.【變式12】（2425高二上·貴州貴陽·階段練習）在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A(?1,?0,?0),?A．(0,0,0) B．(?2,2,2)C．(1,1,?1) D．(?1,?1,1)【解題思路】由法向量定義求出一個法向量，與它平行的向量即可．【解答過程】設法向量為m=(x,y,z)由已知AB=(1,0,1),則m?AB=x+z=0m?只有B選項中向量與m平行，可表示為?2m故選：B．【變式13】（2425高二上·陜西銅川·階段練習）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以A．1,1,1 B．?1,1,1C．1,?1,1 D．1,1,?1【解題思路】根據法向量的求解方法求解即可.【解答過程】由題意，A11,0,1，B1,1,0∴A1C設n=x,y,z是平面則有A1C1?n=?x+y=0B∴n故選：A.知識點2用空間向量研究直線、平面的平行關系1．空間中直線、平面的平行(2)線面平行的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；(2)證明直線的方向向量可以用平面內兩個不共線向量表示且直線不在平面內；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明．【題型2利用空間向量證明線線平行】【例2】（2425高二上·河南·期末）在空間直角坐標系中，已知A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1，D4,3,0，則直線AB與CD的位置關系是（A．異面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直【解題思路】利用給定的坐標，求出向量AB,【解答過程】由A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1得AB=?3,?3,3，CD=1,1,?1，則而AC=(2,0,?2)，顯然向量AB,AC不共線，即點C所以直線AB與CD平行．故選：B.【變式21】（2425高二上·吉林松原·階段練習）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直線l的方向向量v=?1,?2,2與直線ABA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】求出AB，再利用AB//v，解得得到關于【解答過程】因為Ax,1,2,B3,y,0由已知AB//v，所以3?x?1=y?1?2=所以x+y=5.故選：D.【變式22】（2425高二上·全國·課后作業）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2【解題思路】證法一：以D為坐標原點，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標系，求出AP,證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【解答過程】證法一：由題意知，直線DA,DC,DP兩兩垂直，以D為坐標原點，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則D0,0,0所以AP=(?1,0,1),所以MN=14AP，又證法二：由題意可得MN=14BD又M?AP，所以MN//

【變式23】（2425高二下·江蘇·課后作業）已知棱長為1的正方體OABC-?O1A1B1C【解題思路】由圖中的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，證明DE=GF，可得【解答過程】因為正方體的棱長為1，D,E,F,G分別為棱O1所以有D12,0,1，E1,1所以DE=12,12,0【題型3利用空間向量證明線面平行】【例3】（2425高二上·上海·階段練習）若直線l的方向向量為r，平面α的法向量為n，能使l//α的是（

）A．r=1,?C．r=0,?【解題思路】根據給定條件，逐項計算r?【解答過程】對于A，r?對于B，r?n=1×0?2×3+3×2=0對于C，r?對于D，r?故選：B.【變式31】（2425高二上·四川遂寧·期中）《九章算術》是我國古代數學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F分別為PD，PB的中點，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，設AD=a(a>0)，根據法向量的求法可求得平面EFC的法向量n，由HG⊥【解答過程】以A為坐標原點，AB,AD,AP正方向為x，設AD=a(a>0)，則A(0,0,0),P(0,0,a),C(a,a,0),E(0,a2,所以EF=(a2,?a2,0)設平面EFC的法向量n=(x,y,z)則EF?n=a2x?a2y=0由CG=GP可得G是PC的中點，由AH=λHP可得所以GH=因為GH//平面EFC，所以GH?n=?故選：C.【變式32】（2425高二上·全國·課后作業）如圖所示，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD【解題思路】以BD的中點O為原點建立空間直角坐標系，表示各點坐標，利用AQ=3QC表示點Q坐標，根據直線PQ的方向向量與平面BCD的法向量垂直可得結果.【解答過程】如圖，取BD的中點O，以O為坐標原點，OD，OP所在射線分別為y軸、z軸的正半軸，建立如圖空間直角坐標系Oxyz．由題意知，A(0,2,2)，B(0,?2設點C的坐標為(x0,因為AQ=3所以AQ=所以Q34因為M為AD的中點，所以M(0,2因為P為BM的中點，所以P0,0,1所以PQ=因為平面BCD的一個法向量為a=(0,0,1)所以PQ?因為PQ?平面BCD，所以PQ//平面BCD．【變式33】（2425高二上·山東菏澤·階段練習）如圖，在長方體ABCD?A1B(1)求平面ACD(2)線段B1C中點為點P，求證A1【解題思路】（1）以點D為原點建立空間直角坐標系，根據法向量與平面垂直即可求出法向量；（2）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直即可得證.【解答過程】（1）如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，則A3,0,0故AC=設平面ACD1的法向量為則有n?AC=?3x+4y=0n?所以n=所以平面ACD1的法向量為（2）A13,0,2,故A1因為n?所以n⊥又A1P?平面所以A1P//【題型4利用空間向量證明面面平行】【例4】（2425高二上·全國·課后作業）如圖所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點．求證：(1)MN//平面PAD；(2)平面QMN//平面PAD．【解題思路】（1）由已知可證得AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明；（2）證明QN平行于平面，結合面面平行判定定理證明結論.【解答過程】（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥AD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設B(b,0,0)，D(0,d,0)，P(0,0,d).則C(b,d,0)，因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以Mb2,d2所以MN=因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0)所以MN?m=0又因為MN?平面PAD，所以MN//平面PAD.（2）因為QN=(0,?d,0)所以QN?m=0又QN?平面PAD，所以QN//平面PAD.又因為MN∩QN=N，MN,QN?平面MNQ，所以平面MNQ//平面PAD.【變式41】（2025高二·全國·專題練習）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG//平面PBC．【解題思路】建立空間直角坐標系，利用法向量即可求解.【解答過程】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A0,0,0所以PB=(2,0,?2)，FE=(0,?1,0)，FG=(1,1,?1)設n1=(x則n1⊥FE，n1⊥令z1=1，則x1=1，設n2=(x由n2⊥PB，n2⊥令z2=1，則x2=1，所以n1//n2，所以平面【變式42】（2425高二上·全國·課后作業）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA【解題思路】先根據直棱柱及DM⊥CD建立空間直角坐標系由向量關系得出線線平行，再應用面面平行判定定理得證．【解答過程】因為AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中點，所以BF=BC=CF，所以△BCF為正三角形．因為ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=CD=2，所以∠BAD=∠ABC=60°．取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．以D為原點，DM所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系

則D0,0,0，D10,0,2，A3,?1,0，F所以DD1=0,0,2，DA=所以DD1//CC1又因為CC1?平面FCC1，DD1因為DA//CF，CF?平面FCC1，DA?平面FCC1，所以又DD1∩DA=D，DD1,DA?平面【變式43】（2425高二·全國·課后作業）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，(1)MN//平面C(2)平面MNP//平面C【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，根據正方體性質可知DA為平面CC1D（2）證明DA也是平面MNP的一個法向量即可.【解答過程】（1）證明：以D為坐標原點，DA，DC，DD1的方向分別為x，y，設正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方體的性質，知AD⊥平面CC所以DA=(2,0,0)為平面C由于MN=(0,1,?1)則MN?所以MN⊥又MN?平面CC所以MN//平面C（2）證明：因為DA=(2,0,0)為平面C由于MP=(0,2,0)，MN則MP·即DA=(2,0,0)也是平面MNP所以平面MNP//平面C知識點3用空間向量研究直線、平面的垂直關系1．空間中直線、平面的垂直(2)線面垂直的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【題型5利用空間向量證明線線垂直】【例5】（2425高二上·全國·課后作業）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CA．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．異面不垂直【解題思路】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解判斷即可.【解答過程】以D為原點，DA，DC，DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系設正方體ABCD?A則A12,0,2，M0,1,0，D∴A1M∴A1M又DN?平面DCC1D1，A1M?平面DCC∴直線A1M與故選：C．【變式51】（2425高二下·湖南長沙·開學考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN⊥l的是（

）【解題思路】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷即得.【解答過程】在正方體中，建立空間直角坐標系，令棱長為2，體對角線l的端點為B,D對于A，B(2,2,0),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,1,0)，直線l

MN=(1,?1,?2)，顯然MN?a=4≠0，直線對于B，由選項A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,1,2),N(2,0,1)

則MN?=(2,?1,?1),顯然MN?a=4≠0對于C，由選項A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,2,1),N(1,0,0)

則MN=(1,?2,?1),顯然MN?a對于D，由選項A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(2,0,1),N(1,2,0)

則MN=(?1,2,?1),顯然MN?a=4≠0，直線故選：C.【變式52】（2425高二上·北京·階段練習）如圖所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD邊長為1的正方形，MA=2，P是MC上一點，且CP=(1)建立適當的坐標系并求點P坐標；(2)求證：MB⊥DP.【解題思路】（1）以A為原點，建立空間直角坐標系，由條件列式可求得P點坐標；（2）利用空間向量的數量積的坐標運算證明MB?【解答過程】（1）因為MA⊥平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD，所以，AM⊥AB,AM⊥AD，在正方形ABCD中，AB⊥AD，所以,AB,AD,AM兩兩垂直，如圖，以A為原點，AB,AD,AM方向為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A?xyz，因為底面ABCD邊長為1的正方形，MA=2，則C(1,1,0),M(0,0,2),B(1,0,0),D(0,1,0)，CM=(?1,?1,2)設P(x,y,z)，由CP=15解得x=45,y=（2）因為MB=(1,0,?2),所以，MB?DP=所以，MB⊥DP.【變式53】（2425高二上·北京·期中）直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2(1)求BN的坐標及BN的長；(2)求證：A1【解題思路】（1）根據坐標系標點，即可得向量坐標和模長；（2）由（1）求A1【解答過程】（1）由題意可知：A1,0,0則BN=1,?1,1，可得所以BN的長為3.（2）由（1）可得：A1因為A1B?【題型6利用空間向量證明線面垂直】【例6】（2425高二上·江蘇無錫·期中）已知u=3,a+b,a?ba,b∈R是直線l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，若l⊥α，則A．152 B．?32 C．6【解題思路】分析可知，u//n，根據空間向量共線的坐標表示可得出關于a、b的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出【解答過程】因為u=3,a+b,a?ba,b∈R是直線l的方向向量，n=1,2,3則u//n，則31=a+b2=因此，a+2b=15故選：D.【變式61】（2425高二下·江蘇徐州·階段練習）已知直線l是正方體體對角線所在直線，P,Q,R為其對應棱的中點，則下列正方體的圖形中滿足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法來判斷出正確答案.【解答過程】設正方體的邊長為2，對于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q2,2,1，R1,2,0，直線lPQ=0,1,1，因為m?PQ=0所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（1）正確；對于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q0,1,2，R1,2,0，直線l則PQ=?2,0,2，因為m?PQ=?4≠0所以l與平面PQR不垂直，故圖（2）錯誤；對于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q1,0,2，R0,2,1，PR直線l的方向向量為m=1,1,1，因為m?所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（3）正確；對于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，R1,2,0，Q0,0,1直線l的方向向量為m=1,1,1，因為所以l與PQ不垂直，所以l與平面PQR不垂直，故圖（4）正確.綜上，正確的有圖（1）（3）.故選：B.【變式62】（2425高二上·全國·課后作業）如圖，在直四棱柱ADD1A1?BCC1B1中，底面ADD1【解題思路】以A為原點，建立空間直角坐標系，求出FG和平面A1BE的一個法向量的坐標，可得FG與平面A1BE的法向量共線，則得直線【解答過程】由題意知，以A為原點，AB,AD,AA1所在直線分別為

則A10,0,1，BE=設平面A1BE的一個法向量為則BE?n=0令x=1，則n=所以FG=12n，故直線【變式63】（2425高二下·全國·課堂例題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F．求證：PB⊥平面EFD．【解題思路】DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，法一：由PB?DE=0，得PB⊥DE，又由PB⊥EF，由線面垂直的判定證明PB⊥平面EFD；法二：設Fx,y,z，由EF⊥PB得EF?PB=0，結合PF//PB，求得F【解答過程】因為PD⊥平面ABCD，DA,DC?平面ABCD，所以PD⊥DA,PD⊥DC，又因為底面ABCD是正方形，所以DA⊥DC，所以DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D?xyz，如圖，

設DC=PD=1，則P0,0,1，A1,0,0，D0,0,0，B所以PB=1,1,?1，DE=法一：因為PB?DE=1,1,?1?又因為PB⊥EF，EF∩DE=E，EF,DE?平面EFD，所以PB⊥平面EFD．法二：設Fx,y,z，則PF=x,y,z?1因為EF⊥PB，所以即x+y?z=0．①又因為PF//PB，可設PF=λPB0≤λ≤1，所以x=λ由①②可知，x=13，y=13，設n=x1則有n?EF=0n?DE=0，即1所以PB//n，所以PB⊥平面【題型7利用空間向量證明面面垂直】【例7】（2425高二上·山東菏澤·階段練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD=2(1)求平面DEA的法向量；(2)求證：平面DEA⊥平面ECA．【解題思路】（1）以C為原點建立空間直角坐標系，根據法向量與平面垂直求出法向量即可；（2）證明兩平面的法向量垂直即可.【解答過程】（1）因為EC⊥平面ABC，CB?平面ABC，所以EC⊥CB，以C為原點，CB,CE所在的直線分別為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0),A(3所以EA=(設平面DEA的一個法向量是n=(a,b,c)則n→?EA=3所以平面DEA的一個法向量為(3（2）設平面ECA的一個法向量是m=(x,y,z)則m?EA=3x+y?2z=0因為m?n→所以平面DEA⊥平面ECA.【變式71】（2025高三·全國·專題練習）已知四棱錐P?ABCD底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，側面PBC⊥底面(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【解題思路】（1）先證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標系，計算BD?（2）取PA的中點M，連接DM，利用向量法先證明DM⊥平面PAB，從而可得面面垂直.【解答過程】（1）取BC的中點O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，平面PBC∩底面ABCD=BC，PO?平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.不妨設CD=1，則AB=BC=2,PO=3∴A1,?2,0∴BD=?2,?1,0，∵BD?∴PA⊥BD，∴（2）取PA的中點M，連接DM，則M1∵DM=32,0,3∴DM⊥PB，即∵DM?∴DM⊥PA，即又∵PA∩PB=P,PA,∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.【變式72】（2425高二上·安徽阜陽·階段練習）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為2，E為棱(1)求棱CC(2)證明：平面BCD1⊥【解題思路】（1）根據正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，可得EC⊥平面（2）建立空間直角坐標系，分別求解平面BCD1與平面【解答過程】（1）因為正四棱柱ABCD?A1B1C且四邊形BCFB1為直角梯形，設所以VE?BCF解得?=22，即C（2）以點D為原點，直線DA,DC,DD1分別為由題意可得C0,2,0所以CB=設平面BCD1的法向量為則n?CB=2x1設平面B1EF的法向量為則m?EF=y2因為n?所以平面BCD1⊥【變式73】（2425高二上·全國·課后作業）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側面ABB1(1)求EF?(2)用向量法證明：平面BEA⊥平面A1【解題思路】（1）由題意可得，A1B1⊥BB1,A（2）通過證明平面BEA與平面A1B1【解答過程】（1）在直三棱柱ABC?A1B又BE⊥A1B所以A1B1⊥平面建立如圖所示的空間直角坐標系B1則B0,0,2所以EF=所以EF?（2）由（1）知A2,0,2AE=設平面BEA的法向量為n=x1,y則BE?n=0AE?n=0A1B令z2=1，則m=所以平面BEA⊥平面A1【題型8平行、垂直綜合的向量證明】【例8】（2425高二上·河南·階段練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．BD1⊥平面B1EF C．A1C1∥平面B1EF【解題思路】以DA,DC,【解答過程】

以DA,DC,則B1所以EF=?1,1,0,設平面B1EF的一個法向量為m=取x=2，則m=(2,2,?1)因為?22=?22≠2?1，所以BD1因為22=22≠0?1，所以DB因為A1C1?m=0，且線在面外，所以因為DA1?m=2≠0故選：C.【變式81】（2025·上海浦東新·三模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，A．MN與CC1垂直 B．MN與平面C．MN與DC平行 D．MN與平面BDA【解題思路】以點D為原點建立空間直角坐標系，設AB=2，利用向量法逐一判斷即可.【解答過程】如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，設AB=2，則AM1,2,1對于A，MN=則MN?CC對于B，AC=?2,2,0，則MN?又AC∩CC1=C,AC,C所以MN⊥平面ACC對于C，DC=若MN與DC平行，則存在唯一實數λ使得DC=λ所以0=?λ2=?λ所以MN與DC不平行，故C錯誤；對于D，DB=設平面BDA1的法向量則有n?DB=2x+2y=0因為MN?n=?1+1+0=0，且MN?所以MN//平面BD故選：C.【變式82】（2025高三·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量法證明：平面A1BD//平面(2)用向量法證明：MN⊥平面A1【解題思路】（1）以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，表示各點坐標，求兩個平面的法向量，利用法向量平行可證平面平行.（2）求直線MN的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得線面垂直.【解答過程】（1）如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則A12,0,2，B2,2,0，B12,2,2，C故DA1=2,0,2，DB=設平面A1BD的法向量為則DA1?n1=0DB設平面B1CD則B1C?n2=0B所以n1=n2，即n1（2）由M，N是線段AB，B1C中點得，M2,1,0所以MN=由MN=?n→所以MN⊥平面A1【變式83】（2425高二上·四川綿陽·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．求證：(1)BE∥平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PBC．【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，先通過線面垂直的判定定理說明向量AB為平面PAD的一個法向量，再利用BE?（2）分別求出平面PCD和平面PBC的法向量，利用法向量垂直可證得面面垂直.【解答過程】（1）依題意，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.則B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0由E為棱PC的中點，得E1,1,1因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB=1,0,0為平面PAD的一個法向量，而所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE//平面PAD．（2）設平面PCD的一個法向量為n=x,y,z則n?PD不妨令y=1，可得n=0,1,1為平面設平面PBC的法向量m=x,y,z，又向量PB=則m?PB=0不妨令x=2，可得m=2,?1,1為平面因為n?m=所以平面PBC⊥平面PCD．【題型9空間中位置關系的探索性問題】【例9】（2025高三下·全國·專題練習）如圖，等邊三角形ABC與直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB．(1)若F為CD的中點，求證：EF⊥平面BCD；(2)在線段AC上是否存在點N，使CD//平面BEN?若存在，求ANNC【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法判斷位置關系；（2）設AN=λNC，求出點N的坐標，求出平面【解答過程】（1）設ED的中點為H，AB的中點為O，連接OH，OC，由題意知OH//AE．因為平面ABDE⊥平面ABC，AE?平面ABDE，AE⊥AB，平面ABDE∩平面ABC=AB，所以AE⊥平面ABC，所以HO⊥平面ABC，則HO⊥AB，HO⊥OC，又△ABC為等邊三角形，所以OC⊥AB．故以O為坐標原點，射線OC，OB，OH分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz．設AE=1,AB=2a，則A(0,?a,0),B(0,a,0),C(3∴EF=3∴EF?BC所以EF⊥BC,EF⊥BD.又因為BC∩BD=B,BC,BD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD．（2）設存在點N，使CD//平面BEN，設AN=λNC，Nm,n,pN3所以BN=由（1）知，BE=(0,?2a,1)，CD設平面BEN的法向量為n=(x,y,z)由n?得x=λ+23λyz=2ay由CD//平面BEN，得n⊥所以n?CD=所以當ANNC=12時，【變式91】（2425高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=12AA1(1)設平面A1BQ∩平面ABC=l，若P為A1(2)設BP=λBA1，問線段A1B上是否存在點P，使得【解題思路】（1）設AB的中點為E，連接PE,PQ,CE，易證四邊形PECQ為平行四邊形，可得PQ//EC，進而得到PQ//（2）建立空間直角坐標系，結合空間向量及AP⊥平面A1【解答過程】（1）證明：設AB的中點為E，連接PE,PQ,CE，因為P為A1B的中點，Q為所以PE//A1A，在直三棱柱ABC?A1B1C所以A1A//所以四邊形PECQ為平行四邊形，則PQ//EC，又PQ?平面ABC，EC?平面所以PQ//平面ABC又平面A1BQ∩平面ABC=l，PQ?平面所以PQ//（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，故可以C為原點