專題07有理數的乘方（3知識點+7大題型+3大拓展訓練+過關測）內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練+3大拓展訓練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1：有理數乘方的意義求相同因數的積的運算叫做乘方，相同因數叫做底數，相同因數的個數叫做指數，乘方的運算結果叫做冪.乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，冪是乘方運算的結果；一個數可以看作是它本身的一次方，指數1可省略不寫；底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來；當負數或分數作為底數時，底數必須用括號括起來；一個數的二次方又稱為這個數的平方，一個數的三次方又稱為這個數的立方.【即時訓練】【答案】A故選：A．2．（2324七年級上·浙江湖州·階段練習）表示（

）A．3個相乘 B．3個5相乘的相反數C．5個相乘 D．5個3相乘的相反數【答案】B【詳解】解：表示3個5相乘的相反數；故選B．3．（2324七年級上·浙江金華·階段練習）表示的意義是(

)A．2和5相乘的相反數 B．5個2相乘的相反數C．2個5相乘 D．2個5相乘的相反數【答案】B【分析】此題考查了乘方的意義，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．乘方的定義為：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方運算的結果叫做冪．據此解答即可．【詳解】解：表示的意義是5個2相乘的相反數．故選B．知識點2：有理數乘方的運算有理數乘方運算的符號法則正數的任何次冪都是正數；負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0；任何一個數的偶數次冪都是非負數.有理數的乘方運算計算一個有理數的乘方時，應先將乘方運算轉化為乘法運算，先確定冪的符號，再計算冪的絕對值.拓展：（1）1的任何次冪都是1；（2）－1的偶數次冪是1，－1的奇數次冪是－1；（3）平方等于它本身的數有0和1，立方等于它本身的數有0，1，－1.【即時訓練】【答案】【分析】本題主要考查有理數的乘方，直接根據負數的奇次冪是負數求解即可．故答案為：．【答案】2或/或2【詳解】解：∵a、b互為相反數，∵c、d互為倒數，∵數軸上表示m的點與表示的點距離5個單位長度，故答案為：2或．6．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．【分析】（）直接利用乘方的運算即可；（）先算乘方運算，然后計算乘法即可；（）先算乘方運算，然后計算乘法即可；（）先算乘方運算，然后計算乘法即可；（）先算乘法運算，然后計算乘方即可；（）利用乘方逆運算即可；（）直接利用乘方的運算即可；（）直接利用乘方的運算即可；（）先算乘方運算，然后計算加法即可；本題考查了乘方的運算，有理數的乘法，有理數的加法，解題的關鍵是熟記負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，的任何正整數次冪都是，熟練掌握運算法則．．知識點3：科學記數法如何確定科學記數法中的a和n確定n的兩種方法：①若這個數是大于10的數，則n等于原數的整數位數減1；②按小數點移動的位數來確定n的值，小數點向左移動了幾位，n就等于幾.用科學記數法表示的數只是改變數的形式，而沒有改變數的性質和大小；用科學記數法表示一個帶有單位的數時，其表示的結果也應帶有單位，并且前后要一致；用科學記數法表示負數的方法和正數一樣，就是要在前面多一個“－”號；對用科學記數法表示的數進行還原時，只需將小數點向右移動n位（不足的數位用0補齊），并把乘號和去掉.【即時訓練】【答案】B故選：B．8．（2025·浙江杭州·二模）2025年杭州市參加中考人數約為41000人，將41000用科學記數法表示為．【詳解】解：根據題意得《辭海》的頁數有：【題型1有理數冪的概念理解】A．10 B．8 C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數冪的概念，根據有理數冪的概念解答即可，熟練掌握有理數冪的概念是解此題的關鍵．故選：A．【答案】D【分析】本題考查了有理數的乘法．根據有理數的乘法的運算法則進行計算．故選：D．【答案】D故選D．4．楊老師在黑板上寫下“”，讀作：，計算的結果是．【答案】3的平方的相反數【分析】本題考查了有理數冪的概念理解,有理數的乘方運算，正確理解有理數的乘方運算法則是解題的關鍵．根據有理數冪的意義，即可正確解答，根據有理數的乘方運算法則即可計算結果．【詳解】解：“”，讀作：3的平方的相反數；故答案為：3的平方的相反數；故答案為：．5．若4個相乘，寫成乘方的形式是，計算結果為．【分析】此題可根據有理數的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據有理數的乘方定義和運算法則直接解答即可．【題型2有理數的乘方運算】（2）在中，底數是，指數是，意義是．【答案】3525的平方的相反數【分析】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．在中，a是底數，n是指數．利用乘方的意義即可得到結果．（2）在中，底數是，指數是2，意義是5的平方的相反數；故答案為：，3；，2，5的平方的相反數．【答案】【分析】本題考查了代數式求值，解答本題的關鍵是明確非負數的性質，求出相應的x、y的值．根據相反數的意義和非負數的性質建立方程，可以得到x、y的值，從而可以求得．故答案為：．9．計算：(1)；(5)；【答案】(1)216(4)(5)1000(6)【分析】本題考查了乘方的運算，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵；（1）根據正數的任何次冪都是正數，計算即可；（2）根據負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，計算即可；（3）根據負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，計算即可；（4）根據負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，計算即可；（5）根據正數的任何次冪都是正數，計算即可；（6）根據負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，計算即可；【答案】【分析】本題主要考查有理數的乘方運算，熟練掌握乘法的運算法則是解題的關鍵，按有理數的乘方運算法則運算即可．．【題型3有理數乘方逆運算】A．8或 B． C．4 D．4或【答案】D【分析】此題考查有理數的乘方．直接利用有理數的乘方運算法則計算得出答案．∴a是：4或?4．故選：D．A．或1 B．7或1 C．7或 D．或【答案】D故選：D．A．1或 B．9或 C．或 D．9或【答案】B∴x與y異號，故選：B．14．平方等于121的數是．【答案】【分析】根據有理數的乘方進行求解即可．故平方等于121的數是；故答案為：．【點睛】本題考查有理數的乘方運算．熟記常見數字的平方是解題的關鍵．【題型4乘方運算的符號規律】【答案】C故選：C【答案】B故選BA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數即可解答．是負數，故①正確；綜上所述，①②③正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數乘方的符號規律，掌握有理數乘方的符號規律：一個負數的奇次冪是負數，一個負數的偶次冪是正數．【分析】本題考查乘方的非負性．熟練乘方的非負性是解題的關鍵．根據乘方的非負性，確定最大值即可．【答案】0【分析】本題考查了有理數的加法運算，有理數的乘方，根據有理數的乘方找到規律，計算即可．，故答案為：0．【題型5乘方的應用】21．一根1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】此題考查了有理數的乘方，理解題意列出式子是解本題的關鍵．根據題意列出算式計算即可得到結果．【詳解】解：根據第1次截取后，剩，故選B．【答案】A【分析】本題考查了有理數的乘方，分別求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積是解題的關鍵．先求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積，總結出一般變化規律，即可解答．……故選：A．23．我國古代（易經）一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是天【答案】520【分析】本題主要考查了乘方的運算，仿照“十進制”的算法，可知總天數為右面第一個數字加上第二個數字乘以7，依次第三個數字乘以，第四個數字乘以，再相加得出答案.故答案為：520.24．細菌是靠分裂進行生殖的，也就是1個細菌分裂成2個細菌，分裂完的細菌長大以后又能進行分裂．例如，圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片，顯示這種細菌每20分鐘就能分裂一次．1個這種細菌經過5個小時可以分裂成個細菌．【答案】【分析】本題考查乘方的應用．先根據題意求出分裂的次數，再根據有理數的乘方進行計算即可．1個這種細菌經過5個小時可以分裂成的細胞為：個，故答案為：．其他進制也有類似的算法……(1)根據以上信息，將二進制數“”轉化為十進制數是________；(2)在我國遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，如圖所示是遠古時期一位母親記錄孩子出生后的天數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿五進一，根據圖示表示的五進制數為132，求孩子已經出生的天數．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數的乘方運算，正確理解題中二進制轉換十進制的計算方法是解題的關鍵．（1）根據二進制轉換十進制的方法列式計算即可；（2）滿五進一，類似于五進制數，仿照二進制轉換十進制的計算方法進行計算即可．故答案為：；孩子已經出生了42天．【題型6科學記數法表示大于1的數】【答案】D故A、B選項不符合題意；故C選項不符合題意；故D選項符合題意；故選：D27．1月6日，從河南省推動2025年第一季度經濟“開門紅”政策措施新聞發布會上了解到，剛剛過去的2024年，河南全省接待游客量首次突破10億人次，旅游綜合收入首次突破1萬億元．數據“1萬億”用科學記數法表示為（

）【答案】D故選：D28．2025年4月24日神舟二十號載人飛船成功發射．據報道，神舟二十號在發射準備階段需要使用大量的特種電纜，其中由安徽某電纜企業生產的一種耐高溫特種電纜就用了米．將用科學記數法表示為．30．運河三千里，醉美是淮安．4月13日上午7時30分，2025淮安西游樂園馬拉松暨大運河馬拉松系列賽（淮安站）鳴槍開跑，來自世界各地的23000名馬拉松職業跑者、愛好者齊聚淮安，在“春日最美賽道”上超越自我、爭創佳績．數據“23000”用科學記數法表示為．【題型7將用科學記數法變回原數】A．B．C．D．0.000001【答案】B故選：B．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C故選C．34．將下列用科學記數法表示的數還原．35．下列用科學記數法表示的數，原來各是什么數？【答案】(1)(2)5180(3)【分析】此題考查了科學記數法表示的數還原成原數，當把一個用科學記數法表示的數還原為原數時，只需將小數點向右移動n位（不足的數位用0補齊），并把乘號和去掉即可．（1）利用科學記數法的法則解答即可；（2）利用科學記數法的法則解答即可；（3）利用科學記數法的法則解答即可．【拓展訓練一乘方運算的應用】(1)根據以上信息，將二進制數“1011”轉化為十進制數．(2)中國古代《易經》一書中記載，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿五進一，用來記錄采集到的野果數量．請計算采集到的野果數量．【答案】(1)11(2)采集到的野果數量為個【分析】本題考查了有理數的乘方的應用，解的關鍵是：【詳解】（1）解：1011轉化為十進制數是：；（2）解∶由于滿五進一，類似于五進制數，轉化為十進制數為：答：采集到的野果數量為個．37．某校的課后延時服務開設了“趣味數學”的課程．某次課以“翻牌游戲中的數學道理”為主題開展活動，如圖，老師在桌面上擺放了張反面（沒有花色的一面）向上的撲克牌，每次翻動其中的若干張牌（包括已翻過的牌），使它們從一面向上變為另一面向上．探究如何翻動撲克牌，使得所有撲克牌都正面向上．小穎和小楠分在同一組，她們決定按照以下思路展開研究．請根據她們的研究思路，回答相應問題．活動一：動手操作①每次只翻動1張撲克牌，至少翻動幾次可以使得所有撲克牌都正面向上？②每次同時翻動2張撲克牌，無論翻動多少次，都無法使得所有撲克牌都正面向上；③每次同時翻動3張撲克牌，翻動3次就可以使得所有撲克牌都正面向上，請你寫出她們的翻牌方式．（翻動的牌用序號表示）活動二：解釋原理活動三：拓展延伸【答案】活動一：第一次翻動①②③，第二次翻動③④⑤，第三次翻動③⑥⑦活動二：理由見解析【分析】本題考查有理數乘法及乘方運算的實際應用；（2）向下翻一次相當于乘以，利用有理數的乘法說明即可；（3）根據前面的數據找到規律，再探究a，b，n需滿足的條件即可．【詳解】解：活動一：第一次翻動①②③，此時①②③正面朝上；第二次翻動③④⑤，此時①②④⑤正面朝上；第三次翻動③⑥⑦，此時全部張都正面朝上；即每次同時翻動2張撲克牌，無論翻動多少次，都無法使得7張撲克牌都正面向上．(1)圖2是小輝同學的準考證號的二維碼的簡易編碼．①直接寫出第一行，第二行分別代表二進制的數字；②直接寫出小輝同學的準考證號；③若將第一行至第五行代表的5個二進制的數字相加，直接寫出用二進制數與四進制數分別表示這5個數字的和．(2)二維碼不僅能儲存數字信息，還能通過代碼將數字信息轉換成字母語言信息．將大寫英文26個字母作為明碼，它對應數字暗碼如下表：明碼ABCDEFGHIJKLM暗碼12345678910111213明碼NOPQRSTUVWXYZ暗碼14151617181920212223242526①直接寫出圖2中從左到右五列對應的明碼分別是什么？②請在圖3中畫出一個明碼為“LUCKY”的的二維碼．(2)①EYOU．或E（空格）YOU．②見解析【分析】本題考查了進制，解題關鍵是理解數位的進制，準確進行計算求解；（1）①根據題中的規則求解；②根據題中的規則化二進制為十進制；③根據進制進行二進制、四進制與十進制進行換算求解；（2）①根據代碼進行換算；②先把代碼換算成二進制，再畫二維碼．【詳解】（1）解：根據黑色代表1，白色代表0③將第一行至第五行代表的5個二進制的數字相加得：二維碼如下圖所示：(1)如圖3是本次考試張亮同學準考證號的二維碼簡易編碼，其中第四行代表二進制的數字是10101，轉化成10進制后可得他的考場號是．(2)本次考試中，趙軍的準考證號是2917021311，如圖4是趙軍為自己繪制的二維碼簡易編碼，但少涂黑了幾個小正方形，請你在圖4中幫他補充完整．(3)隨著學校辦學規模不斷擴大，班級及學生數量不斷增加，該校準考證的編碼識別系統能否一直適用？請通過計算說明理由．【答案】(1)21(2)見解析(3)不能，理由見解析【分析】（1）根據二維碼編碼規則即可確定第四行代表二進制的數字，再將其轉化為10進制數字即可；（2）根據題意可知趙軍的準考證號是2917021311，由二進制和十進制數字轉化規則確定各行編碼二進制數字，即可獲得答案；（3）計算該編號識別系統中班級、考場號、座位號的最大值即可解答．【詳解】（1）解：根據題意得，第四行代表二進制的數字是10101，∴轉化成10進制后可得他的考場號是21，故答案為：21；（2）解：準考證號2917021311，分別將29，17，02，13，11轉化為二進制，如圖所示：∴班級、考場號、座位號的最大值都是31，∴隨著學校規模的不斷擴大，班級數在不斷增加，該編號識別系統不能一直適用．【點睛】本題主要考查了二進制與十進制數字轉化、有理數運算等知識，熟練掌握二進制與十進制轉化規則是解題關鍵．一、小明的做法：如圖，畫一個邊長為1的正方形，并將它的面積不斷做二等分．第1次分割：把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；…二、小亮的做法：(2)請仿照小亮的做法驗證（1）的結論；(2)見解析【分析】本題考查了有理數乘方的應用，理解乘方的意義是解題關鍵．（1）仿照小明的做法畫出圖形求解即可；（2）仿照小亮的做法驗證即可；（3）仿照小亮的做法求解即可；【拓展訓練二乘方的規律運算】請你仿照此法計算：【分析】本題考查有理數的乘方，解題的關鍵是明確題意，運用題目中的解題方法，運用類比的數學思想解答問題．42．數形結合是解決數學問題的一種重要思想方法．我們經常用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．如圖所示，將一個邊長為1的正方形紙片分制成6個部分，部分①的面積是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依此類推．(1)陰影部分的面積是________．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了乘方的應用，根據所給圖形發現并總結出一般規律是解題的關鍵．（1）根據題意，陰影部分的面積占正方形總面積的，于是得解；【詳解】（1）解：根據題意可得，陰影部分面積占總面積的比例為：故答案為：；（2）解：根據題意可得：（3）解：根據題意可得：(1)先把二進制數轉化為十進制數，再由十進制數轉化為八進制數．例如，二進制數1011010110轉換為八進制數的步驟如下：【答案】(1)89，【分析】本題考查了含乘方的有理數混合運算，熟悉各進制之間的相互轉化，理解題目意思是解題的關鍵；（1）根據二進制轉化為十進制的方法先化為十進制，再按照十進制化為八進制的方法化為八進制即可；（2）仿照例題求解即可．故答案為：，；轉換：，44．觀察下列等式，按上述規律，回答下列問題：(1)請寫出第六個等式：______；(2)請寫出第個等式：______；【分析】（）觀察已知等式即可求解；（）由等式規律寫出即可；（）利用規律計算即可；本題考查了有理數乘方的變形運算，根據已知等式找出有理數乘方運算的規律是解題的關鍵．45．閱讀材料：請你仿照此法計算：【分析】本題主要考查有理數的乘方，解決本題的關鍵是明確題意，運用題目中的解題方法,運用類比的數學思想解答問題．【拓展訓練三乘方運算的新定義問題】A．任意非零數的圈3次方都等于它的倒數．B．圈n次方等于它本身的數是1或（n為任意正整數）．C．互為相反數的兩個數的圈n次方不一定互為相反數．D．互為倒數的兩個數的圈n次方互為倒數．【答案】B【分析】本題是新定義運算，出現在乘方一節，能夠類比乘方的運算，理解并運用除方的運算規則，準確的計算和推理是本題的關鍵．根據新運算‘除方’的定義，即為個相除，進行計算．運算時注意指數運算、相反數的性質、倒數的概念的應用即可．故選項符合題意．C.設這兩個互為相反數的數為與．D.設互為倒數的兩個數為與．故選：B．【答案】56故答案為：56．【點睛】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，會用新定義解答問題．【答案】【分析】根據新定義的運算法則，進行計算即可．故答案為：．【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算法則，是解題的關鍵．(2)定義一種運算，就要研究它的運算律：②這個計算結果說明了這個運算滿足律．【答案】(1)【分析】本題考查新定義運算，讀懂題意，理解新定義運算法則，代值求解是解決問題的關鍵．這個計算結果說明了這個運算滿足乘法交換律，故答案為：②乘法交換．50．定義☆運算，觀察下列運算：(1)兩數進行☆運算時，同號______，異號______，并把它們的絕對值______．特別地，0和任何數進行☆運算，或任何數和0進行☆運算，結果都等于這個數的______．【答案】(1)得正，得負，相加，絕對值(3)【分析】本題考查了新定義運算以及化簡絕對值，乘方運算，有理數的加法運算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據新定義的內容，即可作答．（2）結合新定義的運算法則，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相加．特別地，0和任何數進行☆運算，或任何數和0進行☆運算，結果都等于這個數的絕對值；故答案為：得正，得負，相加，絕對值；【答案】A故選：A．2．“結繩計數”是遠古時代人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量，類似我們現在熟悉的“進位制”，如圖所示是一位古人記錄的當天采摘果實的個數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一，根據圖示可知，這位古人當天采摘果實的個數是（

）A．186 B．185 C．184 D．183【答案】D【分析】本題考查有理數的運算，讀懂題意，理解古代記數規則，再轉化為現代的十進制數是解決問題的關鍵．故選：D．A．底數相同，運算結果相同 B．底數相同，運算結果不同C．底數不同，運算結果相同 D．底數不同，運算結果不同【答案】C【分析】本題主要考查了冪的認識和運算，準確分析判斷是解題的關鍵．根據冪的性質判斷即可．故選：C．A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】C【分析】本題考查負數的判斷，根據相反數的概念、絕對值的性質、負數的奇數次冪等相關知識點正確判斷是解題關鍵．根據負數的相反數為正、絕對值的意義、冪的運算等相關原則，進行計算分析即可．，既不是正數，也不是負數；所以負數個數為4個，故選：C．A． B．1 C．0 D．2【答案】A故選：A．A．123454321 B．1234564321C．1234567654321 D．123456787654321【答案】C【分析】根據已知條件可以得到這樣的規律：對于由1組成的數字，當平方后最中間的數字是幾，這個數