永州市2024年上期高一期末質量監測試卷數學注意事項：1.本試卷共150分，考試時量120分鐘.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.3.考試結束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數的幾何意義求解.【詳解】復數在復平面內對應的點的坐標為，故復數在復平面內對應的點位于第四象限，故選：D2.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關系為（）A互斥 B.相互對立 C.相互獨立 D.相等【答案】C【解析】【分析】列舉全部可能出現的結果，即可根據對立事件以及互斥事件以及相互獨立事件的定義求解.【詳解】拋擲兩枚質地均勻的硬幣，按順序共出現（正正）（正反）（反正）（反反）這4種情況，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D錯誤，由于事件A與事件B能同時發生，所以不為互斥事件，也不為對立事件，故AB錯誤；因為事件A是否發生與事件B無關，事件B是否發生也與事件A無關，故事件A和事件B相互獨立，故C正確.故選：C.3.在杭州亞運會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者參與服務，據統計某高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人參與志愿者服務.現用分層抽樣的方法從該高校志愿者中抽取部分學生了解服務心得，其中博士生抽取了10人，則本科生抽取的人數為（）A.250 B.220 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】根據分層抽樣的每層中抽取樣本比例相同，列式計算即可.【詳解】設本科生抽取的人數為人，由分層抽樣每層中抽取樣本比例相同，可得，解得.故選：.4.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.【詳解】若，則由正弦定理得，可設，由余弦定理得.故選：A.5.已知，，與的夾角為，則在上的投影向量是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據投影向量公式計算即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.6.若數據的平均數為3，方差為4，則下列說法錯誤的是（）A.數據的平均數為13B.數據的方差為12C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平均數、方差的定義，逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，依題意，，所以數據的方差為：，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，解得，D正確.故選：B7.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.已知平面內點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉后得到點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，計算出，再根據向量的坐標運算法則計算出點P的坐標.【詳解】因為,所以，將向量順時針方向旋轉，即逆時針旋轉，得到化簡得，所以P點坐標為；故選：C.8.已知正方體的棱長為2，P為底面ABCD內一動點，直線與平面ABCD所成角為，為正方形的中心，點為線段上一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】需要先找到點位置，再將立體問題平面化，根據三點共線距離最短求解.詳解】因為直線與平面ABCD所成角為，又因為面所以為直線與平面所形成的角，即，又，所以，所以點的軌跡為以為圓心，半徑的圓落在四邊形內的部分，即四分之一圓弧.分析可知，點為和圓弧的交點時，最小.此時可將面沿著翻折到面所在平面.根據長度關系，翻折后的圖形如圖所示，其中分別為正方體上下底面的中心，當三點共線時，最小.因為，所以最小值為故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則下列說法正確的是（）A. B.存在實數，使得為實數C.若為純虛數，則 D.【答案】AC【解析】【分析】根據復數的模長計算判斷A選項，應用實數和純虛數定義判斷B,C選項，根據模長及乘方運算判斷D選項.【詳解】因為所以，A正確；因為,無實數解，B選項錯誤；因為純虛數，則，即，C選項正確；當時，，則，D選項錯誤.故選：AC.10.如圖，連接正方體各個面的中心得到一個每個面都是正三角形的八面體，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.異面直線與所成角的大小為B.二面角的平面角的余弦值為C.平面平面D.此八面體的外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】通過可判斷A項正確，作出二面角的平面角根據余弦定理求解，可知B項錯誤，使用面面垂直的判定定理即可得到C正確；證明為外接球球心，即可判斷D.【詳解】由題可知四點共面，又，所以四邊形為菱形，所以，故異面直線與所成角即為異面直線與所成角,又每個面都是正三角形，故異面直線與所成角的大小為，故A項正確；對于B項，連接，為BE中點,又每個面都是正三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，由余弦定理得，所以二面角的平面角的余弦值為，故B項錯誤；由于三點共線，在直線上，故四點共面.又由于兩兩垂直，且在平面內交于點，故平面.而在平面內，故平面平面，C正確；由于該八面體的每個面都是邊長為的正三角形，故,所以點為幾何體外接球的球心，且外接球的半徑為，從而外接球的表面積為，D正確.故答案為：ACD.11.已知點在所在的平面內，則下列命題正確的是（）A.若為的垂心，且，則B.若，則的面積與的面積之比為C.若，則動點的軌跡經過的外心D.若E，F，G分別為，，的中點，且，，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A將轉化為，然后求數量積；B將拆成，然后根據線性運算得到，然后求面積比即可；C由題意得，然后根據得到，即可得到動點的軌跡經過的外心；D根據得到點的軌跡，將轉化為，然后求數量積，根據點的軌跡求最值.【詳解】A選項，，故A正確；B選項，設中點為，中點為，，即，所以點為中位線靠近點的三等分點，所以，故B錯；C選項，設中點為，則，結合題設所以，所以，又的中點為，所以在的中垂線上，所以動點的軌跡經過的外心，故C正確；D選項，設中點為，因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，結合上圖，,當為直徑時最大，最大為，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：數量積的計算方法（1）定義法；（2）坐標法；（3）轉化法；（4）幾何意義法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知事件與事件發生的概率分別為，，且，則______.【答案】0.7##【解析】【分析】根據概率的加法公式代入求解即可.【詳解】因為事件與事件發生的概率分別為，，且，所以.故答案為：0.7.13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積之比為，軸截面面積為6，母線長為上底面半徑的倍，則該圓臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據已知條件，利用軸截面面積求得圓臺得底面半徑和高，然后根據圓臺體積公式計算即可.【詳解】如圖所示，設圓臺的上下底面中心分別為,為其軸截面.由題意得，設，則，在軸截面中過點作⊥于點，則，故，由勾股定理，軸截面的面積為，解得，故圓臺上底面半徑，下底面半徑，高，故該圓臺的體積為.故答案為：14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由明確邊上的高等于邊的一半，做出邊上的高，設，用表示出，再結合換元法和基本不等式，求的最大值.【詳解】如圖：過作于.因為，所以.設，則設，則若，則；若，則；當時，（當且僅當即時取“”）.所以故答案為：【點睛】方法點睛：求取值范圍得問題，常用的方法有：（1）結合二次函數的單調性，求二次函數在給定區間上的最值；（2）利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函數的有界性求最值；（4）判斷函數的單調性，求最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某市高一年級36000名學生參加了一次數學競賽，為了解本次競賽情況，隨機抽取了500名學生的成績，并根據這500名學生成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值，并估計該市高一年級的及格（60分以上）人數；（2）估計該市高一年級學生成績的分位數.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據頻率之和等于即可求出，求出及格的頻率，再乘以即可；（2）根據頻率分布直方圖中百分位數的求法求解即可.【小問1詳解】由題意，，解得，高一年級的及格的頻率為，則估計該市高一年級的及格（60分以上）人數為人；小問2詳解】因為，，所以高一年級學生成績的分位數在區間上，設為，則，解得，所以估計該市高一年級學生成績的分位數為.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分別求出，得坐標，再根據向量垂直得坐標表示即可得解；（2）根據向量的模的坐標公式結合二次函數的性質即可得解.【小問1詳解】由，，得，因為，所以，即，解得；【小問2詳解】，則，當時，取得最小值.17.甲、乙兩人進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結束）.（1）用拋擲骰子的方式決定比賽方案，拋擲兩枚質地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點數，若兩枚骰子向上的點數之差的絕對值不大于1，則選擇方案一，否則選擇方案二.試判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由；（2）若選擇方案一，求甲獲勝的概率.【答案】（1）方案二被選擇的可能性更大，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）列舉出向上的點數所有情況和點數之差的絕對值不大于1的情況，求出概率，得到結論；（2）分三種情況，求出相應概率相加即可.【小問1詳解】拋擲兩枚質地均勻的骰子，設向上的點數為，則共有36種情況，如下：，，，其中兩枚骰子向上的點數之差的絕對值不大于1的情況有：，共16種情況，故選擇方案一的概率為，則選擇方案二的概率為，因為，所以方案二被選擇的可能性更大；【小問2詳解】若甲在前兩局獲勝，概率為，若第一局，第三局獲勝，概率為，若第二局，第三局獲勝，概率為，三種情況互斥，故選擇方案一，甲獲勝的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，且，，，點E，F分別為棱，的中點.（1）若平面平面，①求證：；②求三棱錐的體積；（2）若，請作出四棱錐過點，，三點的截面，并求出截面的周長.【答案】（1）①證明見解析.②（2）【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性質定理證明結合面面垂直的定義求證即可.②利用兩條相互平行的直線其中一條垂直于一個平面，另外一個也垂直于這個平面計算這個三棱錐的高.（2）利用兩條平行線確定一個平面，將截面找到，利用解三角形的知識求解各個邊的邊長，從而求出截面圖形的周長.【小問1詳解】①因為平面平面平面平面又因為底面為直角梯形，其中所以又因為面所以面又因為面所以②由①知面取的中點設為連結則則面則點到面的距離為又因為在直角梯形中，，解得所以在等腰三角形中三棱錐的體積【小問2詳解】取線段的中點，連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為線段，所以，所以，則四邊形為四棱錐過點及棱中點的截面，則，，，在中，，，所以，則，所以截面周長為.19.當的三個內角均小于時，使得的點為的“費馬點”；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為的“費馬點”.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，P是的“費馬點”.（1）若，，.①求；②設的周長為，求的值；（2）若，，求實數的最小值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用正弦定理將題目中的條件.轉換成僅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的關系，再結合等面積法建立的另外一個等式關系，進而求解出所要求的等量關系.（2）先利用角的三角函數的關系，判斷出三角形是直角三角形，接