專題01絕對值中的八類最值模型最值問題一直都是初中數學的最難點之一，但也是高分的必須突破點，而絕對值中的最值模型是初中學生第一次接觸最值類問題，該類最值模型主要依據絕對值的幾何意義或代數意義，考查分類討論和數形結合的數學思想。需要牢記絕對值中的最值情況規律，解題時能達到事半功倍的效果。本專題就絕對值中的八類最值模型進行梳理及對應試題分析，方便大家掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現模型 2提煉模型 2模型拓展 4模型運用 4模型4.系數不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型 12模型6.絕對值最值模型的實際應用 14模型7.絕對值相關運算與最值問題 19模型8.絕對值最值中的新定義問題 21 24絕對值最值問題的歷史發展脈絡源于幾何直觀與代數研究的結合，其核心理論隨數學分析的發展逐步完善。絕對值的概念源于物理學中的距離概念，表示一個數到原點的距離。在數學中，絕對值用于表示一個數到數軸原點的距離，因此絕對值總是非負的。這一性質使得絕對值在數學分析中有著廣泛的應用，特別是在處理不等式和最值問題時顯得尤為重要。在解決含絕對值的代數式最值問題時，可以利用絕對值的幾何意義或零點分段法，整體來說絕對值的幾何意義較為簡單適用。我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．②絕對值的幾何意義：表示數軸上的有理數a所對應的點到原點的距離；另解：也可用絕對值的代數意義（即分類討論思想）完成絕對值的最值問題。規律可總結為：“奇中點，偶中段”。5.系數不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型①絕對值系數不為“1”：如：｜x1｜+2｜x2｜+3｜x3｜+4｜x4｜+5｜x5｜解題步驟：第1步：將x平鋪展開；第2步：找到每個式子的零點，分別為：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15個零點；第3步：根據“奇中點，偶中段”，在第八個數時，即x=4時，有最小值，帶入x=4，最小值為15。②x系數不為“1”：如：求｜2x4｜+｜5x+5｜的最小值。解題步驟：第1步：x的系數不為1，所以首先?第一步?想辦法把x的系數化為1，采用提取公因數的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x4｜+｜5x+5｜=｜2（x2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x2｜+5｜x+1｜。第2步：進入①中的三個步驟即可。這時，x的系數已經變成了1，我們就可以展開?，然后?利用“奇中點?，偶中段”來求了?。解?得?當x=1時?取得?最小值，最小值?為?6。另解：上述兩類問題也可以采用絕對值的代數意義（根據零點分區討論）求解。A．1 B． C．5 D．A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9例3（2024·廣西·七年級專題練習）我們知道，的幾何意義是數軸上表示數a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數軸上分別表示數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|ab|，請根據絕對值的幾何意義并結合數軸解答下列問題：（1）數軸上的數x與1所對應的點的距離為____，數x與1所對應的點的距離為____；例4（2425七年級上·江西·階段練習）課本再現繼續探究：結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：模型4.系數不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型A． B． C． D．例2（2024七年級·江蘇·培優）先閱讀下面的材料，然后解答問題：模型6.絕對值最值模型的實際應用(1)利用此結論，回答以下問題：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和的兩點之間的距離是．理解：（）數軸上表示數和的兩點之間的距離是_______；（用含的式子表示）【初步應用】（1）數軸上表示4的點與表示有理數的點之間的距離為_____________；模型7.絕對值相關運算與最值問題例1（2425七年級上·廣東汕頭·期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：模型8.絕對值最值中的新定義問題(1)和3關于1的“相對關系值”為________；(2)若和2關于1的“相對關系值”為，求的值；①存在對兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結果不含與e相關的項；②若每種操作只閃退一項，則對三種不同“閃減操作”的結果進行去絕對值，共有8種不同的結果；③若可以閃退的三項，，滿足：其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值34．（2425七年級上·河南鄭州·階段練習）若、有理數，下列判斷：A．1 B．2 C．3 D．46．（2425·浙江·七年級專題練習）代數式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．10．（2425·陜西西安·七年級校考期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數軸上表示和的兩點之間的距離是__________；表示和兩點之間的距離是__________；根據以上材料，解答下列問題：(1)求數列﹣2，7，1的價值；(2)由“﹣2，7，1”這三個數按照不同的順序排列共有多少種不同的數列，寫出這些數列，并求出它們的價值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個數按照不同的順序排列，可得到若干個數列．若這些數列的價值的最小值為1，請直接寫出a的值．(1)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若點P與表示有理數－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(1)數軸上表示4和1的兩點之間的距離為______；16．（2425七年級上·四川成都·階段練習）小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：請你根據他們的解題解決下面的問題：

(1)數軸上表示與的兩點之間的距離可以表示為．(1)請直接寫出a，b的值：，；(3)如果在數軸連續的整數點上依次有n個機器人，且相鄰兩個機器人之間的距離都是1個單位，同時數軸上有一個快遞包裹分發點智能機器人，它能根據機器人的數量自動決策出快遞包裹分發點的位置，使得每個機器人去取快遞包裹的距離之和最小，請直接用含n的代數式表示這個最小值．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是______；20．（2425七年級上·