試題試題2024北京二中高三（上）開學考數學一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知全集，集合和的關系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A.3個 B.2個 C.1個 D.無窮多個2.若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.設，則（）A. B. C. D.4.已知函數的定義域為.當時，；當時，；當時，.則A. B. C. D.5.定義在上的任意函數都可以表示成一個奇函數和一個偶函數之和，如果，，那么（）A.，B.，C.，D.，6.設為實數，則是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有A.144個 B.120個 C.96個 D.72個8.按照“碳達峰”?“碳中和”的實現路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關系的經驗公式：，其中n為Peukert常數，為了測算某蓄電池的Peukert常數n，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.則該蓄電池的Peukert常數n大約為（）（參考數據：，）A. B. C. D.29.已知定義在上的函數滿足：函數的圖象關于直線對稱，且當時，成立（是函數的導函數），若，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.10.已知函數，且在上單調遞減，且函數恰好有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.已知甲盒中有3個白球，2個黑球；乙盒中有1個白球，2個黑球．若從這8個球中隨機選取一球，該球是白球的概率是______；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是______．12.若，則_______；_______.13.已知直線與圓相交，能說明“直線截圓所得弦長不小于”是假命題的一個的值為______．14.已知點、分別是雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為_______.15.已知函數，給出下列四個結論：①函數是奇函數；②，且，關于x的方程恰有兩個不相等的實數根；③已知是曲線上任意一點，，則；④設Mx1,y1為曲線上一點，Nx2,y2其中所有正確結論的序號是_________.三、解答題（共6小題，共85分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.在△中，，.（1）求證：△為等腰三角形；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△存在且唯一，求的值.條件①：；條件②：△的面積為；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.17.改革開放40年來，體育產業蓬勃發展反映了“健康中國”理念的普及．下圖是我國2006年至2016年體育產業年增加值及年增速圖．其中條形圖為體育產業年增加值（單位：億元），折線圖為體育產業年增長率（％）．（Ⅰ）從2007年至2016年隨機選擇1年，求該年體育產業年增加值比前一年的體育產業年增加值多億元以上的概率；（Ⅱ）從2007年至2016年隨機選擇3年，設是選出的三年中體育產業年增長率超過20%的年數，求的分布列與數學期望；（Ⅲ）由圖判斷，從哪年開始連續三年的體育產業年增長率方差最大？從哪年開始連續三年的體育產業年增加值方差最大？（結論不要求證明）18.已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面平面分別是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小；（3）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為？若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由．19.已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）設直線與橢圓交于兩點，過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否過定點，并證明你的結論．20.已知函數．（1）求函數在處的切線方程；（2）若函數和函數的圖象沒有公共點，求實數的取值范圍．21.已知集合是正整數的一個排列，函數對于，定義：，，稱為的滿意指數．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．（Ⅰ）當時，寫出排列的生成列及排列的母列；（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；（Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個滿意指數為負數的項調至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：一定可以經過有限次變換將排列變換為各項滿意指數均為非負數的排列．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）12345678910BCCDCCBBAA二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.①.12②.12.①.②.13.（答案不唯一）14.15.②③④三、解答題（共6小題，共85分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.解：（1）在△ABC中，設a=5m，b=m，其中m>0.根據余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，得整理，得c2?2mc?15m2=0，因為c>0，解得c=5m，所以a=c.所以△ABC為等腰三角形.………………7分（2）若選擇條件②：在△ABC中，由得解得m=1，即b=10.………………13分若選擇條件③：在△ABC中，由AB邊上的高為3，得bsinA=3.所以解得m=1,即b=.………………13分17.解:（1）設A表示事件“從2007年至2016年隨機選出1年，該年體育產業年增加值比前一年的體育產業年增加值多500億元以上”．由題意可知，2009年，2011年，2015年，2016年滿足要求，故；............................4分（2）由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，3，且；；；所以X的分布列為：X0123P故X的期望 ............................10分（3）從2008年或2009年開始連續三年的體育產業年增長率方差最大．從2014年開始連續三年的體育產業年增加值方差最大．............................13分18.解：（1）證明:因為E、F分別是PC、PD的中點所以EF∥CD又因為底面ABCD是正方形所以AB∥CD所以AB∥EF又因為AB平面EFGEF平面EFG所以AB∥平面EFG………………4分（2）取AD中點O，連結OP,OG因為△PAD是正三角形，O是AD的中點，所以PO⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥面ABCD所以PO⊥OG,PO⊥OA,在正方形ABCD中，G、O分別是BC、AD的中點，所以OA⊥OG所以OA，OG，OP兩兩垂直如圖，以O點為原點分別以OA、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(?2,4,0),D(?2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2)，E(?1,2,),F(?1,0,)，=(0,?2,0),=(1,2,?)，設平面EFG的法向量為=(x,y,z),令z=1，則m=(,0，1)，又平面ABCD的法向量n=(0,0,1)，設平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為θ，所以所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為………………10分（3）假設線段PA上存在點M，使得直線GM與平面EFG所成角為設，所以.所以整理得，無實解，導致矛盾所以，不存在這樣的點M.………………14分19.解：（Ⅰ）由題意，a=4，a2=b2+c2解得b=2,c=2所以橢圓C方程為，離心率………………5分（Ⅱ）直線MQ過定點T(0,?4)證明如下：設M(x1,y1)，N(x2,y2),則Q(x2,?6)由(3+4k2)x2?16kx?32=0△=(?16k)2+4×32(3+4k2)>0（方法1）所以，所以M，Q，T三點共線，即直線MQ過定點T(0,?4)………………15分（方法2）令x=0,得（略）或者令x=0得（略）20.（1）因為所以，因為在點處的切線斜率為所以切線方程為即………………5分（2）因為函數f(x)和函數g(x)的圖象沒有公共點，所以f(x)=g(x)，即 無實根，所以當x≠0時，h(x)=cosx+ax2?1=0無實根，因為h(?x)=h(x)，即h(x)是偶函數，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,+∞)上無實根.h’(x)=2ax?sinx，記m(x)=h’(x)=2ax?sinx則m’(x)=2a?cosx，x∈(0,+∞).當a<0時，ax2<0，又?1≤cosx≤1，則cosx?1≤0，所以h(x)=cosx+ax2?1<0，滿足h(x)=0在(0,+∞)上無實根.當a=0時，h(x)=cosx?1=0在(0,+∞)上有實根，不合題意，舍去.當時，m’(x)=2a?cosx≥0，所以h’(x)=2ax?sinx在(0,+∞)單調遞增，則h’(x)>h’(0)=0，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,+∞)上單調遞增，所以h(x)>h(0)=0，滿足h(x)=0在(0,+∞)上無實根.④當時，因為m’(x)=2a?cosx在，且m(0)=2a-10，，則存在唯一的，使m’(x0)=2a?cosx0=0，列表得所以當x∈(0,x0)時，h’(x)<h’(0)=0，則h(x)在(0,x0)單調遞減，則h(x)<h(0)=0，又因為h(2π)=4aπ2>0，且h(x)在(0,+∞)上連續，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,2π)上有實根，不合題意.綜上可知，實數a的取值范圍是………………15分21.（1）解：當n=6時，排列3,5,1,4,6,2的生成列為0,1,?2,1,4,?3；排列0,?1,2,?3,4,3的母列為3,2,4,1,6,5．………………4分（2）證明：設a1,a2,,an的生成列是b1,b2,,bn；a1’,a2’,,an’的生成列是b1’,b2’,,bn’．從右往左數，設排列a1,a2,,an與a1’,a2’,,an’第一個不同的項為ak與ak’，即：an=an’，an?1=an’?1，，ak+1=ak’+1，ak≠ak’．顯然bn=bn’，bn?1=bn’?1，，bk+1=bk’+1，下面證明：bk≠bk’．由滿意指數的定義知，ai的滿意指數為排列a1,a2,,an中前i?1項中比ai小的項的個數減去比ai大的項的個數．由于排列a1,a2,···,an的前k項各不相同，設這k項中有l項比ak小，則有k?l?1項比ak大，從而bk=l?(k?l?1)=2l?k+1．同理，設排列a1’,a2’,···,an’中有l’項比ak’小，則有k?l’?1項比ak’大，從而bk’=2l’?k+1．因為a1,a2,···,ak與a1’,a2’,···,ak’是k個不同數的兩個不同排列，且akak’，所以l≠l’，從而bk≠bk’．所以排列a1,a2,···,an和a1’,a2’,···,an’的生成列也不同．………………10分（3）證明：設排列a1,a2,,an的生成列為b1,b2,,bn，且ak為a1,a2,,an中從左至右第一個滿意指數為負數的項，所以b1≥0,b2≥0,,bk?1≥,bk≤?1．進行一次變換后，排列a1,a2,,an變換為ak,a1,a2,ak?1,ak+1,,an，設該排列的生成列為b