第20講利用導數研究不等式的恒成立問題學案--2025高考一輪單元綜合復習與測試卷用）-學案下載一、選擇題要求：從每題的四個選項中，選擇一個正確的答案。1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$a$，使得對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\geqa$，則實數$a$的取值范圍是（）A.$[-1,1]$B.$[-1,2]$C.$[-2,2]$D.$[-2,1]$2.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$a$，使得對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\leqa$，則實數$a$的取值范圍是（）A.$[-1,1]$B.$[-1,2]$C.$[-2,2]$D.$[-2,1]$二、填空題要求：在橫線上填寫正確答案。3.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[1,2]$上的最大值是______，最小值是______。4.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[1,2]$上的單調遞增區間是______，單調遞減區間是______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求證：對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\geq1$。（2）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求證：對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\leq2$。6.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求證：存在實數$a$，使得對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\geqa$。（2）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求證：存在實數$a$，使得對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\leqa$。四、解答題要求：解答下列各題。7.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數$f(x)$在區間$[1,2]$上的導數$f'(x)$，并分析$f'(x)$的符號，確定$f(x)$在區間$[1,2]$上的單調性。五、解答題要求：解答下列各題。8.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數$f(x)$的極值點，并判斷這些極值點是極大值點還是極小值點。六、解答題要求：解答下列各題。9.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$a$，使得對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\geqa$，求實數$a$的最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析思路：首先求出函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[1,2]$上的導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，然后找出導數的零點，即解方程$3x^2-6x+4=0$，得到$x=\frac{2}{3}$和$x=2$。由于$x\in[1,2]$，因此只需考慮$x=2$的情況。在$x=2$時，$f(x)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2=2$，這是區間$[1,2]$上的最大值。因此，$a$的取值范圍應該是從函數的最小值到最大值，即$[-1,1]$。2.答案：B解析思路：與第一題類似，我們求出$f(x)$在區間$[1,2]$上的最小值。由于$x=2$是$f(x)$的極小值點，因此$f(x)$在區間$[1,2]$上的最小值為$f(2)=2$。因此，$a$的取值范圍應該是從函數的最小值到最大值，即$[-1,2]$。二、填空題3.答案：最大值2，最小值1解析思路：通過計算$f(x)$在區間端點的值，可以得到$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1=2$和$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2=2$，因此最大值為2。再次檢查導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，發現它在$x=1$時為正，在$x=2$時為負，因此函數在$x=1$處達到最小值$f(1)=1$。4.答案：單調遞增區間$[1,2]$，單調遞減區間無解析思路：通過觀察導數$f'(x)=3x^2-6x+4$的符號變化，可以確定函數的單調性。在$x=1$和$x=2$之間，導數始終為正，因此函數在區間$[1,2]$上是單調遞增的。三、解答題5.（1）答案：證明：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，在區間$[1,2]$上，$f'(x)$始終大于0，因此$f(x)$在區間$[1,2]$上單調遞增。又因為$f(1)=2$，所以對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\geq1$。解析思路：通過求導分析函數的單調性，并比較端點值，可以證明不等式成立。6.（2）答案：證明：同上，$f(x)$在區間$[1,2]$上單調遞增，且$f(1)=2$，因此對于所有$x\in[1,2]$，都有$f(x)\leq2$。解析思路：使用同樣的方法，證明不等式成立。四、解答題7.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，在區間$[1,2]$上，$f'(x)$始終大于0，因此$f(x)$在區間$[1,2]$上單調遞增。解析思路：求導并分析導數的符號，確定函數的單調性。五、解答題8.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，解方程$3x^2-6x+4=0$得到$x=\frac{2}{3}$和$x=2$，$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$處取得極大值，在$x=2$處取得極小值。