第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰三角形存在性問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(含帶答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，在中，，，D、E分別是邊、的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）如圖2，點(diǎn)D為等邊內(nèi)一點(diǎn)，連接、，以為一邊向的右側(cè)作等邊，連接．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）為落實(shí)五育并舉，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校開(kāi)展了“五育勤相融，勞動(dòng)最光榮”勞動(dòng)教育主題活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)立勞動(dòng)教育體驗(yàn)基地，供學(xué)生進(jìn)行耕種勞動(dòng)．如圖3所示的四邊形為該基地的示意圖，現(xiàn)要在基地一角開(kāi)辟一個(gè)三角形的花圃，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，并在花圃（）的一周圍一圈柵欄．已知，，米，米，求所需柵欄的總長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）．2．綜合與探究小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中線段之間、角之間存在著緊密的聯(lián)系，他以等腰三角形為背景展開(kāi)了拓展探究．如圖①，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)D是直線左側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)．作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接，直線與直線交于點(diǎn)F，連接，．【動(dòng)手操作】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，用尺規(guī)在圖①上畫(huà)出圖形；若，，則；【問(wèn)題探究】（2）根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，猜想的大小以及，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）如圖②，在等腰三角形中，，，其余條件不變，當(dāng)時(shí)，若，，直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系以及的值．3．綜合與實(shí)踐【回歸教材】八年級(jí)上冊(cè)教材中探究了“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”，部分內(nèi)容如下：如圖1，在中，如果，那么我們可以將折疊，折邊落在上，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)D處，折線交于點(diǎn)E，則．（理由：______），．這說(shuō)明在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對(duì)的角也不相等，大邊所對(duì)的角越大．從上面的過(guò)程可以看出，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以把研究邊與角之間的不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較大量的一部分與較小量相等的問(wèn)題，這是幾何中研究不等問(wèn)題時(shí)常用的方法．【類比探究】類似地，應(yīng)用上述方法探究：（1）如圖2，在中，，判斷：______（填“>”“=”或“<”），請(qǐng)證明你的判斷．【拓展運(yùn)用】（2）如圖3，在中，D為上的一點(diǎn)，且，比較和的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和都是等邊三角形，連接，．求證：．【類比探究】（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接，，則【拓展提升】（3）如圖3，，，連接，，若．①求的值；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．5．已知正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交正方形的外角的平分線于點(diǎn)．(1)【動(dòng)手操作】如圖①，在上截取，連接，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中_____度．(2)【深入探究】是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖②，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，以為斜邊向右作等腰直角三角形，點(diǎn)在射線上，連接．試判斷四邊形的形狀，并證明．(3)【拓展應(yīng)用】是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，以為斜邊向右作等腰直角三角形，點(diǎn)在射線上，連接．若，，求線段的長(zhǎng)．6．問(wèn)題情境如圖1，在中，，，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得線段CD（旋轉(zhuǎn)角為），連接，直線與的角平分線所在直線交于點(diǎn)P．猜想證明（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，______，______．（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．拓展延伸（3）如圖4，N為的中點(diǎn)．M為上的動(dòng)點(diǎn)，已知，當(dāng)時(shí)，是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．我們定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，已知為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高．若，，試求線段的長(zhǎng)度．【深入探究】（2）如圖2，已知為勾股高三角形，其中為勾股頂點(diǎn)且，是邊上的高．試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，等腰為勾股高三角形，其中，為邊上的高，過(guò)點(diǎn)向邊引平行線與邊交于點(diǎn)．若，試求線段的長(zhǎng)度．8．某學(xué)習(xí)小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1所示，在中，平分，．(1)請(qǐng)觀察猜想之間的數(shù)量關(guān)系；(2)探究遷移：如圖2所示，，是四邊形的對(duì)角線，，求證：；(3)思維拓展：如圖3所示，在中，，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，請(qǐng)直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系．9．?dāng)?shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）如圖1，在和中，，，，連接、，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系為：_____，______；【類比探究】（2）如圖2，在和中，，連接，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)D．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在和中，，連接，當(dāng)，E，三點(diǎn)剛好在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．10．【初步探究】（1）如圖1，中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【變式應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線與射線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，，①求的長(zhǎng)；②求的度數(shù)；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，在中，是鈍角，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．11．綜合實(shí)踐：等腰三角形中，，，點(diǎn)D為線段上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到，連接，．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)_______；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是_______．類比探究：（2）如圖2，若，求的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；拓展延伸：（3）如圖3，若，，，當(dāng)點(diǎn)A到直線的距離為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．12．綜合與實(shí)踐：八年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“等邊三角形”開(kāi)展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．問(wèn)題情境：等邊中，O是的中點(diǎn)，D是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、B重合），連接，作等邊（點(diǎn)E和點(diǎn)C在邊的同側(cè)），連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．【特例分析】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，發(fā)現(xiàn)“”，請(qǐng)證明；【拓展探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段上（不與端點(diǎn)重合），在圖2中補(bǔ)全圖形，并證明；【推廣應(yīng)用】（3）當(dāng)點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．13．綜合與實(shí)踐我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，在中，若，則三角形三邊滿足勾股定理：．【知識(shí)應(yīng)用】（）如圖，在中，于點(diǎn)D，若，則，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展探究】（）如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．求證：．【拓展應(yīng)用】（）如圖，在中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），連接，，點(diǎn)為的外心，連接，求證：．14．在菱形中，，是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊三角形，點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化，連接．推理證明：（）當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，如圖①，求證：；寫出圖①的證明過(guò)程；探究問(wèn)題：（）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，如圖②，圖③，請(qǐng)分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明；拓展思考：（）在（）和（）的條件下，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．圖①

圖②

圖③15．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)E在邊上，連接，以為邊向下作等邊三角形，連接．（1）判斷和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）探究，和的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題拓展】（3）如圖2，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，以為邊向下作等邊三角形（點(diǎn)在線段下方），連接．探究和的數(shù)量關(guān)系．（4）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，以為邊向上作等邊三角形，連接．若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．參考答案1．（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）所需柵欄的總長(zhǎng)度米【分析】（1）先證明，再根據(jù)，得，最后根據(jù)是中位線求解即可；（2）證明，得到；（3）連接，過(guò)作交直線于，連接，取中點(diǎn)，連接，由，得到，則，，再證明，得到，，推出，設(shè)，則，利用是的中位線，得到，，再在中，利用列方程解得，即可得到，，，，最后計(jì)算的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，，∴，∵D、E分別是邊、的中點(diǎn)，∴是中位線，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵等邊和，∴，，，∴，∴，∴，∴；（3）連接，過(guò)作交直線于，連接，取中點(diǎn)，連接，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，中，，，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，，，∴，∴的周長(zhǎng)為，即所需柵欄的總長(zhǎng)度米．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，三角函數(shù)．2．（1）；（2），，見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【分析】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、30度直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)要求作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，再連接對(duì)應(yīng)線段即可作圖，證明是等邊三角形，得到；（2）在點(diǎn)B上截取點(diǎn)G，使得，連接，證明，得到，，再證明，得到，根據(jù)對(duì)稱得到，最后根據(jù)，得到；（3）先證明，進(jìn)而可得，再利用勾股定理和含30度的直角三角形性質(zhì)解三角形即可求解．【詳解】（1）以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交與點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與上一個(gè)圓交點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，直線與直線交于點(diǎn)F，連接，．如圖所示：∵，，，，∴，∵作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：；（2），證明如下：證明：在上截取點(diǎn)G，使得，連接，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，，∴，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴∴，∵，∴；（3）連接交于，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，在上截取點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，∵，，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∵，∴，在中，，設(shè)，在中，，∴，，在中，，即，解得（不合題意，舍去），∴．當(dāng)時(shí)，在上截取點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，∵，，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∵，∴，在中，，設(shè)，在中，，∴，，在中，，即，解得（不合題意，舍去），∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．3．回歸教材：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角．（1）．證明見(jiàn)解析；（2）．理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對(duì)等角．相似三角形的判定和性質(zhì)，“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或通過(guò)軸對(duì)稱構(gòu)造全等三角形，是將未知轉(zhuǎn)化成可用已有知識(shí)求解的常見(jiàn)策略．（1）在內(nèi)作，交于點(diǎn)，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，由三角形兩邊之和大于第三邊即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可得，由等角對(duì)等邊易得，即可得，再證明，可得，由此證明結(jié)論．（3）由已知易得，設(shè)相似比為，可得，，，通過(guò)求差法比較和的大小即可【詳解】解：【回歸教材】理由：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角．（1）．證明：如圖，在內(nèi)作，交AB于點(diǎn)D，，．，．（2）．理由：，，，．設(shè)與相似比為k，，，，．，，，，，，，即，，，即．4．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①，②．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；②利用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角相等的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可．【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：；（3）①∵，，∴設(shè)，則，∴，∴．∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴．②設(shè)，交于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)四邊形為正方形，證明見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）首先根據(jù)題意作出圖形；結(jié)合題意易知，由即可獲得答案；（2）在上截取，在上截取，連接，分別證明，，由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合即可證明結(jié)論；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，證明四邊形是正方形，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴．故答案為：；（2）解：四邊形AEFG為正方形，證明如下：在上截取，如下圖，四邊形是正方形，，，，即，，，又平分，，，，又，，，，，，在上截取，連接，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形，又，矩形是正方形；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由（2）可知，四邊形是正方形，∵，，∴，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，，，延長(zhǎng)至，使得，連接，∴，即，∴，，，∴，即，∴，，又，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形，又，矩形是正方形，．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．6．（1），；（2），理由見(jiàn)解析；（3）的最小值為．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求解即可；（2）連接，求得，證明，得到，，在中，由勾股定理即可求解；（3）先判斷點(diǎn)在以為直徑的上，取的中點(diǎn)，再利用三角形中位線定理求得點(diǎn)在以為直徑的上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下，連接，同（1）理，，，∵是的平分線，∴，，∴，∵，，，∴，∴，，即，在中，由勾股定理得，即；（3）由題意得，∴點(diǎn)在以為直徑的上，取的中點(diǎn)，連接，，∵N為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的上，∵，，，∴，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在直線上，連接，，，交于點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，且，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱，，，∴，，∵，∴，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股高三角形的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)勾股高三角形的定義得到，計(jì)算即可得到答案；（2）由可得：，根據(jù)勾股高三角形的定義得：，即可推出；（3）過(guò)點(diǎn)向引垂線，垂足為，只要證明，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）由勾股定理可得：，，為勾股高三角形，為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高，，，解得：（負(fù)數(shù)舍去）；（2），證明如下：為勾股高三角形，為勾股頂點(diǎn)且，是邊上的高，，，由勾股定理得：，，由于為正數(shù)，；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，勾股高三角形為等腰三角形，且，只能是，由（2）可知：，又，，，，，，，而，，，為等腰三角形，，，又，，．8．(1)，證明見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）在上截取，使得，連接，證明得到，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定證得，則，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到E，使，連接，先根據(jù)已知和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明是等邊三角形得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)出，進(jìn)而證明得到，，證明是等邊三角形得到，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）連接，過(guò)點(diǎn)O作，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，再求得，進(jìn)而得到，然后由得結(jié)論．【詳解】（1）解：猜想，證明如下：在上截取，使得，連接，∵平分，∴，在和中，，，，∴∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖：延長(zhǎng)到E，使，連接，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，又，，∴，∴，，∴是等邊三角形，則，∵，∴；（3）解：．如圖，連接，過(guò)點(diǎn)O作，∵，，∴，，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，∴，又，∴，又，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題型，主要考查了三角形的內(nèi)角和外角性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答的關(guān)鍵學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于考試壓軸題．9．（1）；；（2）；．理由見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)交于點(diǎn)G，由可得，而、，即可根據(jù)“”證明，所以，，則即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用證明可得，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用證明可得，則，因?yàn)椋纯勺鞔穑驹斀狻拷猓海?）如圖1，設(shè)交于點(diǎn)G，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴．故答案為：，30．（2），理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．（3）如圖3所示：∵和都是等腰三角形，∴，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴．10．（1）；（2）①；②；（3）【分析】（1）證明，得成比例線段即可得到；（2）①證明，即可得；②根據(jù)，得，根據(jù)，，得，，證明，進(jìn)而可求得，，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明是直角三角形，證明；（3）作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得，設(shè)，則，，，由勾股定理得，，進(jìn)而可得，，證明，得，將已求相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入比例式得方程求解即可．【詳解】解：（1）；理由：，，，，；（2）①在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，，解得（負(fù)值已舍去），，，是直角三角形，；（3）作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理及其逆定理，熟知相關(guān)性質(zhì)是正確解答此題的關(guān)鍵．11．（1）；；（2）；；（3）或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出底角和的度數(shù)；通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到，由全等性質(zhì)得出的度數(shù)，進(jìn)而求出；再根據(jù)等腰直角三邊關(guān)系及全等得到的線段相等關(guān)系，得出，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）仿照（1）的方法得出，結(jié)合等腰內(nèi)角和求出；通過(guò)作輔助線構(gòu)建直角三角形，利用含角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理求出與的關(guān)系，進(jìn)而得到，，之間的數(shù)量關(guān)系．（3）先由等腰直角的邊長(zhǎng)求出的長(zhǎng)度；根據(jù)和為直角，判斷、、、四點(diǎn)共圓，再利用四點(diǎn)共圓性質(zhì)得出為等腰直角三角形；分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況，在中運(yùn)用勾股定理求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）在中，，，由旋轉(zhuǎn)得，，即，在和中，，，，，．故答案為：

；（2）同理（1）可得，，，，，，在中，，又，（3）在等腰直角三角形中，，∴，，．如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P．，A，D，B，C四點(diǎn)共圓，則，為等腰直角三角形，．在中，，．如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，則，為等腰直角三角形，．在中，，，綜上所述：BD的長(zhǎng)為或【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓及勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是通過(guò)證明三角形全等找到角度和線段關(guān)系，并依據(jù)不同條件靈活運(yùn)用相關(guān)幾何定理求解．12．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）證明，根據(jù)等角對(duì)等邊可得結(jié)論；（2）如圖2，連接，證明和，即可得結(jié)論；（3）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，根據(jù)線段的和與差可解答．【詳解】（1）證明：如圖，∵等邊中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，．∵等邊，∴．∴．∴．∴．∴．（2）證明：如圖，連接．∵和是等邊三角形，∴，，．∴．∴．∴，．∴．∴．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．∴．∴．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，連接，∵是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，，由（2）同理知：，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖2，由①知：，由（2）知：，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，連接，由①知：，由（2）知：，，．13．（）證明見(jiàn)解析；（）證明見(jiàn)解析；（）證明見(jiàn)解析【分析】（）利用勾股定理可得，，進(jìn)而相減即可求證；（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理得，，又由點(diǎn)是的中點(diǎn)得，進(jìn)而相減可得，再根據(jù)平行線等分線段定理可得，進(jìn)而即可求證；（）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由三角形外心可得，即可得，得到，利用補(bǔ)角性質(zhì)可得，即得，即得到，再利用勾股定理解答即可求證．【詳解】（）證明：∵，∴，∴，，∴；（）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴