第六章橢圓知識(shí)梳理1、確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．2、橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)直線過左焦點(diǎn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的周長為4a，即（直線過右焦點(diǎn)亦同）.（3）涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|·|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解．3、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡為f(x，y)＝0.(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(3)相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法．4、利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．5、點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.6、求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．7、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．8、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；(2)點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).9、求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．10、解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．考點(diǎn)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022秋·吉林·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可設(shè)橢圓的方程為，由題中條件得出,再將點(diǎn)代入橢圓方程，同時(shí)根據(jù)可求解出參數(shù)，進(jìn)而得出答案.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意知又橢圓過點(diǎn)，所以，且計(jì)算得所以橢圓的方程為，選項(xiàng)B正確.故選：B.2．（2022秋·新疆·高二新疆實(shí)驗(yàn)校考期中）已知直線經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的定義，利用直線的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，可得答案.【詳解】由，令，解得；令，，由，則該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)為，故，，則，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C:,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上,代入橢圓方程求出即可.【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上.將,代入橢圓方程得:,解得,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.4．（2022秋·陜西西安·高二西安市第三中學(xué)校考期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，M是橢圓上一點(diǎn)，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)，，再利用焦點(diǎn)三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋裕裕裕裕驗(yàn)椋裕詸E圓的方程是．故選：C5．（2022秋·天津·高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，是橢圓的焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，再將代入橢圓方程求出，則有，再結(jié)合可求出，從而可得橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋裕茫裕裕裕獾没颍ㄉ崛ィ裕詸E圓方程為，故選：C考點(diǎn)二點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系6．（2022秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.7．（2022秋·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)校考期中）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】首先求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，依題意定點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，即可求出參數(shù)的取值范圍，再由橢圓方程得到，即可得解.【詳解】解：直線，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，，即，又，否則是圓而非橢圓，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：8．（2022秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓（，）上，則的最小值為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)代入橢圓方程，再將化為積為定值的形式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，即，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以（，），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C考點(diǎn)三橢圓的定義及其應(yīng)用根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍9．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可判斷.【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B10．（2022秋·湖南長沙·高二校聯(lián)考期中）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（

）A．且 B．且C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即得.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得且.故選：B.11．（2022秋·湖北荊州·高二荊州中學(xué)校考期末）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上,可得,解出范圍即可.【詳解】解:由題知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則有:,解得:或.故選:D12．（2022秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】先將方程化橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由焦點(diǎn)在軸上得到，從而得解.【詳解】方程可化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，故，.故選：D.橢圓的焦點(diǎn)三角形問題13．（2022秋·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，若，則（

）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義求得正確答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知：，所以.故選：D14．（2022秋·陜西西安·高二西安市曲江第一中學(xué)校考期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的周長為（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，進(jìn)而得的周長為，即可得答案.【詳解】解：由題知，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，所以，，所以，的周長為故選：B15．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）橢圓?的離心率為?，其左、右焦點(diǎn)分別為?，上頂點(diǎn)為?，直線與橢圓另一交點(diǎn)為?，則內(nèi)切圓的半徑為（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【分析】先根據(jù)離心率求出橢圓方程，再求出直線的方程，聯(lián)立方程求出的坐標(biāo)，從而可得的面積，再根據(jù)等面積法即可求得內(nèi)切圓半徑.【詳解】因?yàn)闄E圓?的離心率，所以有，解得或（舍），橢圓方程為：.如圖所示：則有，，，易得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，而，所以，又根據(jù)橢圓定義可知：，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，所以有，解得.故選：B16．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓上、下焦點(diǎn)，有一個(gè)內(nèi)角為，則的面積為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】分、、三種情況討論，利用余弦定理、橢圓的定義以及三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在橢圓中，，，則，設(shè)，，則，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，且的最大值大于，所以，可以取，當(dāng)時(shí)，，可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，因?yàn)椋獾茫藭r(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得.綜上所述，或.故選：D.17．（2022秋·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考期中）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8【答案】B【分析】由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解【詳解】法一：設(shè)，，則，，∴．又，∴，解得．法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得故選：B18．（2022秋·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考期中）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，的值等于（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式可知，當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，再利用數(shù)量積公式即可求得.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)，,則的面積為，則當(dāng)面積最大時(shí)，即最大，此時(shí)為上頂點(diǎn)時(shí)，即時(shí)最大.此時(shí).又，則、.則，.故選：B考點(diǎn)四求橢圓的離心率求橢圓的離心率19．（2022秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】，把代入橢圓方程解得，可得﹐在中，由建立等式進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，由，，把代入橢圓方程可得，解得，取在中，，由，∴，由橢圓定義可得，得，∴，則有，

則的離心率.故選：A.20．（2022秋·湖北荊州·高二校聯(lián)考期末）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得即，化簡即可求出答案.【詳解】解：∵∴，即∴∴，∴.故選：A.21．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中學(xué)校考期末）已知橢圓的下焦點(diǎn)，M點(diǎn)在橢圓C上，線段MF與圓相切于點(diǎn)N，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記上焦點(diǎn)為，圓心為，由線段成比例得出，且，于是有，然后由橢圓定義和垂直得出關(guān)于齊次等式，化簡后可求得離心率．【詳解】如圖，記上焦點(diǎn)為，圓心為，則，連接，，，，又，則，所以，，，則，由橢圓定義，又，所以，所以，，即，，，所以．故選：B22．（2022秋·四川樂山·高二校考期中）已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與該橢圓在y軸左側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及圓的直徑的性質(zhì)，再利用等邊三角形的性質(zhì)及橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由題意可知，作出圖形如圖所示因?yàn)槭菆A的直徑，所以，即，又因?yàn)槭堑冗吶切危?在中，，所以根據(jù)橢圓的定義，得，解得，所以橢圓的離心率為.故選:B.求橢圓的離心率的取值范圍23．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合幾何關(guān)系求出，并利用點(diǎn)到直線的距離關(guān)系求得，進(jìn)而可求離心率的取值范圍.【詳解】如圖，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接,由對(duì)稱性可得為中點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，所以，取，因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l的距離不小于，所以，解得，所以，又因?yàn)椋詸E圓E的離心率的取值范圍是.故選：C.24．（2022秋·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）已知點(diǎn)滿足，且點(diǎn)Q恒在在以、為左、右焦點(diǎn)的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理可得出，求出，則函數(shù)在上有零點(diǎn)，可得出關(guān)于、的不等式組，結(jié)合可計(jì)算得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，，由橢圓定義可得，，在中，由勾股定理可得，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，又因?yàn)椋裕睿瑒t在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實(shí)根，則，所以，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，，，因此，.故選：C.25．（2022秋·浙江金華·高二期末）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C1與雙曲線C2有公共焦點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1與C2的離心率分別為e1，e2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由條件可得m＝10，n＝2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得，運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，則有m＝10，n＝2c，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，即有，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，即有，由離心率公式可得，因?yàn)椋裕瑒t，，故，，則，即，故的取值范圍是.故選：B．（三）由橢圓的離心率求參數(shù)（范圍）26．（2022秋·甘肅白銀·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D27．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論，，，用表示出離心率，解相應(yīng)不等式可得的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得；當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得，綜上知C正確．故選：C．28．（2022春·廣東廣州·高二廣州科學(xué)城中學(xué)校考期中）橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的離心率，即可求出，進(jìn)而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為．故選：C.考點(diǎn)五與橢圓有關(guān)的軌跡問題29．（2022·高二單元測(cè)試）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A30．（2022秋·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期中）已知圓，圓，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】畫圖，分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.【詳解】如圖，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心M的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，解得：，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.故選：D31．（2022秋·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期中）已知的周長為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】錯(cuò)解：∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯(cuò)因：忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.32．（2022秋·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知為圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，找到點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合橢圓的定義，直接寫出方程即可.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：易知，則，即，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)且長軸長為6的橢圓，設(shè)其方程為，則，則，故，則橢圓方程為：.故選：C.考點(diǎn)六直線與橢圓的位置關(guān)系33．（2022秋·山東濱州·高二校考期中）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【分析】聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)所得到的方程的解的個(gè)數(shù)來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系.【詳解】聯(lián)立，消去，整理得到，該方程判別式，于是此方程無解，即直線和橢圓沒有交點(diǎn)，故直線和橢圓相離.故選：C34．（2022秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B35．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等.過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（A點(diǎn)位于x軸下方），且，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由題意確定，即而根據(jù)點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等列式求得a,即得橢圓方程，設(shè)直線l的方程，并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合化簡，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓：的焦距為，由題意知，由點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得，又，聯(lián)立，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可知直線l的斜率一定存在，，由于，（A點(diǎn)位于x軸下方），可知直線l的斜率，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得將，．則，由，得，即，聯(lián)立，解得，代入中，即，解得，（舍去），故選：C.36．（2022秋·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期中）已知過點(diǎn)D（2，0）的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，M是弦AB的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然直線斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，直線方程代入橢圓方程整理后由韋達(dá)定理得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后用橫坐標(biāo)表示出并化為的代數(shù)式，從而求得最大值．【詳解】顯然直線斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，由得，，，，∴，，，，又，時(shí)取得最大值1，所以的最小值是．故選：A．考點(diǎn)七弦長及中點(diǎn)弦問題弦長問題37．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·高二校考期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦長公式求解即可.【詳解】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.38．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期中）已知四邊形是橢圓的內(nèi)接四邊形（即四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上），且四邊形為矩形，則四邊形的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合重要不等式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，又點(diǎn)在橢圓上，故可得：，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故四邊形的面積的最大值為.故選：.39．（2022秋·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的周長為，則直線的方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由內(nèi)切圓的周長可以求出內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合橢圓定義，可以求出的面積，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可以將的面積以表示，以面積建立方程，即可解出，求出直線的方程.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則周長，∴，由橢圓的定義知，，∴，∵由已知，，，易知直線的斜率不為，∴設(shè)直線的方程為：，，消去，化簡，得，，，設(shè)，，則，，，解得，∴，∴直線的方程為：，即或.故選：D.40．（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考期末）過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果．【詳解】過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：．故選：A．（二）中點(diǎn)弦問題41．（2022秋·江蘇宿遷·高二校考期中）橢圓與直線相交的弦被M點(diǎn)平分，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理即可求出中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】聯(lián)立方程，得，，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為；故選：D.42．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）若橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，代入橢圓方程相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得結(jié)論．【詳解】由于，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)，由已知，，，兩式相減得，∴．故選：B43．（2022秋·江蘇徐州·高二校考期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于A、B陃點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程相減，利用，，求出直線的斜率，得出等量關(guān)系，再由關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線斜率，代入橢圓方程得，兩式相減得即，也即，所以，又，所以，所求的橢圓方程為.故選：A.44．（2022秋·西藏拉薩·高二拉薩中學(xué)校考期末）已知過橢圓左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為，過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由過橢圓左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為，可得；由過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，可得.綜上可得，后可得答案.【詳解】由題可得，其中，且.又由橢圓對(duì)稱性可知，在正上方且位于橢圓上的點(diǎn)到F距離為，即此點(diǎn)坐標(biāo)為.將其代入橢圓方程有：，又，可知；設(shè)，因過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則.兩式相減得：又，得.又，則，又，且，則.故橢圓方程為：，.設(shè)，其中.則..因，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即M為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào).則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為.故選：D考點(diǎn)八求橢圓的參數(shù)或范圍問題45．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校校考期中）設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)m的一個(gè)取值可以為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)得到，再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性即可得到的范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)橢圓方程得，，，則，，，顯然，方程最多有兩個(gè)解，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，要想有四個(gè)點(diǎn)，需要方程有兩個(gè)解，且在范圍里，所以.故選：A.46．（2022秋·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用余弦定理建立關(guān)系，結(jié)合橢圓范圍求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，，，，中，由余弦定理得：，整理得，則，化簡得：，即，于是得，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A47．（2022秋·北京通州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解．(1)解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)椋裕矗寓伲驗(yàn)榫€段MN的垂直平分線過點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為．48．（2022秋·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作直線交于，其中的周長為的離心率為.(1)求的方程；(2)已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.（2）第一步設(shè)點(diǎn)設(shè)直線，第二步聯(lián)立方程韋達(dá)定理，第三步條件轉(zhuǎn)化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.（2）方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.令，②則，可得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.所以因?yàn)椋越獾芒谟散佗诮獾?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)九求橢圓的最值問題49．（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學(xué)校考期中）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)取最大值，再根據(jù)橢圓方程求出、，最后根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算可得.【詳解】解：易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以、，此時(shí)，，所以，所以為等腰直角三角形，所以．故選：D50．（2022秋·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．1 C．3 D．9【答案】D【解析】本題首先可根據(jù)橢圓方程得出，然后將轉(zhuǎn)化為，即可求出最大值.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，即，所以，因?yàn)椋裕字?dāng)時(shí)，最大，最大值為，故選：D.51．（2022秋·安徽黃山·高二屯溪一中統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線，則橢圓上的點(diǎn)到直線的最近距離為______.【答案】【分析】設(shè)，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角函數(shù)求出函數(shù)的最值即得解.【詳解】解：設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，距離取得最小值.故答案為：.52．（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則的面積的最大值為__________．【答案】20【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用斜率公式求出P點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)軌跡確定面積的最大值.【詳解】設(shè)，由題意可知，，整理得；得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為長軸頂點(diǎn)的橢圓除去，兩點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)面積取得最大值，因?yàn)椋裕还蚀鸢笧椋?0.53．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期中）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍求其最值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴，∴，因?yàn)椋瑢?duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)取得最大值．故選：A.54．【多選】（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的內(nèi)切圓半徑C．的最小值為D．若為的中點(diǎn)，則直線的方程為【答案】AC【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；利用分析可得，求出面積的最大值，可判斷B選項(xiàng)；利用橢圓的定義、數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，由橢圓的定義可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，由題意可得，由已知可得，兩個(gè)等式作差可得，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，D錯(cuò).故選：AC55．【多選】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．的面積最大值為C．點(diǎn)到直線距離的最大值為D．的最大值為7【答案】BCD【分析】利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)可判斷ABD，利用三角函數(shù)可判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，為最大，此時(shí)，即為銳角，所以不存在點(diǎn)P使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對(duì)于C，由橢圓，令，則在橢圓上，則到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：BCD.考點(diǎn)十橢圓的定點(diǎn)、定值問題56．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知橢圓C：過點(diǎn)，橢圓C離心率為，其左右焦點(diǎn)分別為，，上下頂點(diǎn)為，.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)Q是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若M，N為橢圓C上相異兩點(diǎn)（均不同于點(diǎn)），，的斜率分別是，，若.求證：直線MN必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，定點(diǎn).【分析】（1）利用離心率求出a，b的關(guān)系，再利用橢圓過的點(diǎn)求出方程作答.（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式列式，求出點(diǎn)Q到直線的距離最大值即可求解作答.（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合斜率關(guān)系求解即可作答.【詳解】（1）橢圓C離心率為，則，解得，橢圓C：過點(diǎn)，則，于是得，所以橢圓C的方程為.（2）由（1）知，，直線方程：，即，設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，，其中銳角由確定，而，則當(dāng)時(shí)，，又，所以面積的最大值為.（3）由（1）知，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，由消去y并整理得：，，即，設(shè)，則，，整理得，則，而，化簡整理得，解得，滿足，即直線過定點(diǎn)，所以直線必過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.57．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知橢圓C：過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為F，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)設(shè)過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，過F作直線PA的垂線交l于點(diǎn)Q，證明：直線PQ過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)；證明過程見詳解【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件可知，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，結(jié)合條件變形即得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，其中，則，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，所以，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，則，所以直線的垂線的斜率為，由題可知，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，所以直線的方程為，即，因?yàn)椋裕裕裕灾本€過定點(diǎn)．58．（2022秋·廣東惠州·高三校考期末）己知橢圓，過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若不過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，試探究：l是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【分析】（1）將代入橢圓方程求；（2）由可得，設(shè)直線l方程為，將韋達(dá)定理代入求得，從而知l恒過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)椋瑑蛇吰椒剑喺淼茫字本€l的斜率存在，設(shè)其方程為，其中．由，得，，設(shè)，則，所以，所以，即，因?yàn)椋裕裕茫獾茫瑵M足，所以直線l的方程為：，即直線過定點(diǎn)59．（2022秋·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．【答案】(1)(2)為定值，求解過程見詳解【分析】（1）將代入標(biāo)準(zhǔn)方程得關(guān)系，由離心率得關(guān)系，結(jié)合即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由斜率之積等于求出與關(guān)系，由弦長公式求出，由點(diǎn)到直線距離公式求出的高，結(jié)合三角形面積公式化簡即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過，故，又，，聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立得，，，，即，，原點(diǎn)到直線的距離，所以，所以的面積為定值.60．（2022秋·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考期末）已知橢圓（）的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過作垂直于軸的直線交該橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓右頂點(diǎn)為，為橢圓上除左右頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，求證：為定值，并求出這個(gè)定值；(3)若的外接圓在處的切線與橢圓交另一點(diǎn)于，且的面積為，求橢圓的方程．【答案】(1)(2)證明見解析；定值(3)【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入斜率公式，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，代入斜率公式，利用點(diǎn)在橢圓上化簡斜率的乘積；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，可以用表示橢圓方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)求切線的斜率，然后切線與橢圓方程聯(lián)立后求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，，設(shè)，由題意可知：在第一象限，且，∴，∴，∴，∴；（2）設(shè)，則，所以∴為定值（3）由（1），，所以橢圓方程為：，，，設(shè)的外接圓的圓心坐標(biāo)為，由，得，求得，∴，切線斜率為：，切線直線方程為，即代入橢圓方程中，得，，，，∴，到直線的距離，的面積為，所以有，∴，橢圓方程為：．61．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn).證明：以線段為直徑作圓被軸截得的弦長為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【分析】（1）根據(jù)、離心率和橢圓之間關(guān)系可直接求得結(jié)果；（2）設(shè)，可得直線方程，進(jìn)而確定兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可證得，可知以為直徑的圓過點(diǎn)，由此可確定線段為直徑作圓被軸截得的弦長.【詳解】（1）由題意知：，解得：，又離心率，，，橢圓的方程為：.（2）由（1）得：，，設(shè)，則，即；直線，直線，點(diǎn)縱坐標(biāo)，點(diǎn)縱坐標(biāo)，即，，又橢圓右焦點(diǎn)為，，，，即，以為直徑的圓過點(diǎn)，又圓心橫坐標(biāo)為，以為直徑的圓被軸截得的弦長為.即以線段為直徑作圓被軸截得的弦長為定值.考點(diǎn)十一橢圓中的向量問題62．（2022秋·天津和平·高二耀華中學(xué)校考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題知，，進(jìn)而得，再根據(jù)求解即可得答案；（2）設(shè)，進(jìn)而根據(jù)向量關(guān)系得，進(jìn)而得，再解方程即可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，∵右焦點(diǎn)為，∴，又∵離心率，∴，解得，∴的方程為．（2）解：設(shè)．，∴，即．∴，即，解得，設(shè)直線的斜率為，則，∴直線的方程為，即或．∴直線的方程為或．63．（2022秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知點(diǎn)、，平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)、是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），試證明：直線與某個(gè)定圓恒相切，并寫出定圓的方程.【答案】(1)(2)證明見解析，定圓方程為【分析】（1）分析可知的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓，求出曲線的方程，設(shè)點(diǎn)，則且，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，計(jì)算出、，利用等面積法可求得原點(diǎn)到直線的距離；②當(dāng)點(diǎn)、分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)時(shí)，直接計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離.綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋裕c(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓，設(shè)該橢圓的方程為，則，可得，因此，曲線的方程為.設(shè)點(diǎn)，則且，圓的圓心為，半徑為，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故的取值范圍為（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，同理可得，所以，原點(diǎn)到直線的距離為；②當(dāng)點(diǎn)、分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.綜上所述，原點(diǎn)到直線的距離為定值，因此，直線與定圓恒相切.64．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)校考期中）已知，是橢圓M：的左右焦點(diǎn)．(1)若C是橢圓上一點(diǎn)，求的最小值；(2)直線與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓M上存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為平行四邊形，求m的值．【答案】(1)的最小值為0(2)【分析】(1)先由橢圓求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P，然后寫出的坐標(biāo)表達(dá)式，根據(jù)橢圓的范圍即可求出最小值(2)先設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線和橢圓方程，寫出判別式求出m的取值范圍，再利用韋達(dá)定理，得出中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入橢圓方程即可求解【詳解】（1）由橢圓方程，可得，，設(shè)，則，，所以，將原橢圓方程變形并代入，得，又由橢圓的幾何性質(zhì)可得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為0.（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，判別式，解得，由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，，又四邊形OAPB為平行四邊形，A，B兩點(diǎn)中點(diǎn)和O，P兩點(diǎn)中點(diǎn)重合，即A，B兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為，推出P點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，，解得，65．（2022秋·福建三明·高二校聯(lián)考期中）已知，是橢圓：的焦點(diǎn)，，是左、右頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積等于(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中，證明【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義得，進(jìn)而設(shè)，再根據(jù)直線，的斜率之積等于得，進(jìn)而得答案；（2）先討論直線的斜率為0時(shí)滿足，再討論當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合判別式或，再設(shè)，，設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系得，，，進(jìn)而得是等腰三角形，再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系即可得證明.【詳解】（1）解：因?yàn)椋荷系狞c(diǎn)滿足，所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，即，所以，，設(shè)，則，①所以直線的斜率，直線的斜率由已知得，即，②由①②得所以橢圓的方程為：（2）解：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與重合，與重合，，成立.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為聯(lián)立方程組，消整理得，所以，解得或設(shè)，，則，由，得，所以設(shè)，由，得所，所以，所以點(diǎn)在直線上，且所以是等腰三角形，且，所以，綜上，考點(diǎn)十二橢圓的實(shí)際應(yīng)用問題66．（2022春·上海楊浦·高二校考期中）某海域有兩個(gè)島嶼，B島在A島正東40海里處，經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線像一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)恰好是兩島．曾有漁船在距A島正西20海里發(fā)現(xiàn)過魚群．某日，研究人員在兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為．你能否確定魚群此時(shí)分別與兩島的距離？【答案】魚群分別距，兩島的距離為50海里和30海里【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求出魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是，利用橢圓的定義能夠求出魚群分別距，兩島的距離．【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)橢圓方程為：且因?yàn)榻裹c(diǎn)的正西方向橢圓上的點(diǎn)為左頂點(diǎn)，所以又，則，，故所以魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是由于，兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為，因此設(shè)此時(shí)距，兩島的距離分別為，由橢圓的定義可知即魚群分別距，兩島的距離為50海里和30海里．67．（2022秋·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考期中）某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示）.（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是多少米？（結(jié)果取整數(shù)）（2）如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長半軸和短半軸長