章末復習第十章

概

率NEIRONGSUOYIN內容索引知識網絡考點突破隨堂演練1知識網絡PARTONE2考點突破PARTTWO一、互斥事件、對立事件與相互獨立事件1.互斥事件是不可能同時發生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者必須有一個發生.因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況.2.掌握互斥事件和對立事件的概率公式及應用，提升邏輯推理和數學運算素養.例1

(1)袋內有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C間的關系是A.A與B，A與C均相互獨立B.A與B相互獨立，A與C互斥C.A與B，A與C均互斥D.A與B互斥，A與C相互獨立√解析有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響.(2)從1,2,3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.上述事件中，是對立事件的是A.①

B.②④

C.③

D.①③√解析③中“至少有一個是奇數”，即“兩個奇數或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數，根據取到數的奇偶性可認為共有三個事件：“兩個都是奇數”、“一奇一偶”、“兩個都是偶數”，故“至少有一個是奇數”與“兩個都是偶數”是對立事件，易知其余都不是對立事件.反思感悟事件間的關系的判斷方法(1)判斷事件間的關系時，可把所有的試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而斷定所給事件間的關系.(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法.判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發生與否都是對于同一次試驗而言的，不能在多次試驗中判斷.(3)判斷兩事件是否相互獨立，有兩種方法：①直接法；②看P(AB)與P(A)·P(B)是否相等，若相等，則A，B相互獨立，否則不相互獨立.跟蹤訓練1

(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是

，那么概率是

的事件是A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡D.至少有一張移動卡√解析“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯通卡”，“兩張全是聯通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，其概率為(2)下列事件A，B是相互獨立事件的是A.一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”B.袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到

白球”，B表示“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子，A表示“擲出點數為奇數”，B表示“擲出點數為偶數”D.有一個燈泡，A表示“燈泡能用1000小時”，B表示“燈泡能用2000小時”√解析B選項由于是不放回摸球，故事件A與B不相互獨立，C選項中A與B為對立事件，D選項中事件B受事件A影響，故選A.二、古典概型1.古典概型是一種最基本的概率模型，是學習其他概率模型的基礎，解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性.在應用公式P(A)＝

時，關鍵在于正確理解試驗的發生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點總數n和事件A的樣本點個數m.2.掌握古典概型的概率公式及其應用，提升數學抽象、數據分析的數學素養.例2

袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，從袋中任取兩球，求下列事件的概率.(1)A：取出的兩球都是白球；解設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個球中任取2個球，樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相同.“從袋中的6個球中任取2球，所取的2球全是白球”為事件A，則A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6個樣本點.所以P(A)＝(2)B：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球.解“從袋中的6個球中任取2球，其中一個是白球，另一個是紅球”為事件B，則B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8個樣本點，所以P(B)＝

.反思感悟在古典概型中，計算概率的關鍵是準確找到樣本點的數目，這就需要我們能夠熟練運用圖表和樹狀圖，把樣本點一一列出.而有許多試驗，它們的可能結果非常多，以至于我們不可能將所有結果全部列出，這時我們不妨找找其規律，算出樣本點的數目.跟蹤訓練2

某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：(單位：人)

參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；解由調查數據可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率.解從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15個樣本點.根據題意這些樣本點出現的可能性相等.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的樣本點有A1B2，A1B3，共2個.三、相互獨立事件概率的計算1.相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經出現一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解.2.掌握相互獨立事件的概率公式的應用，提升數學抽象和邏輯推理的數學素養.例3

某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為

且各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；解記“該選手正確回答第i輪問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，(2)求該選手至多進入第二輪考核的概率.反思感悟解此類題的步驟如下(1)標記事件.(2)判斷事件的獨立性.(3)分清所涉及的事件及事件狀態(互斥還是對立).(4)套用公式.跟蹤訓練3

設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.(1)分別求甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率；解記甲、乙、丙三臺機器在某一小時內需要照顧分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨立.由題意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率分別為0.2,0.25,0.5.(2)計算這一小時內至少有一臺機器需要照顧的概率.解∵A，B，C兩兩相互獨立，3隨堂演練PARTTHREE123451.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥而不對立的事件是A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”√解析A中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球，一個紅球”這一事件，不是互斥關系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關系.12345√12345123453.古代“五行”學說認為：“物質分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，從五種不同屬性的物質中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質不相克的概率為√解析從五種不同屬性的物質中隨機抽取兩種，出現的情況有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)(水，土)，(火，土)，共10種等可能情況，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5種，則不相克的也有5種，所以抽取的兩種物質不相克的概率為

.12345√123455.在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數字1,2,3,4,5，甲先從箱子中摸出一個小球，記下球上數字后，再將該小球放回箱子中搖勻，然后乙從該箱子中摸出一個小球.(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標的數字大誰就獲勝(若數字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；解用(x，y)(x表示甲摸到的數字，y表示乙摸到的數字)表示甲、乙各摸一球構成的樣本點，則樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個.設甲獲勝的事件為A，則事件A包含的樣本點有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4