6.1

平面向量的概念第六章

平面向量及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量

的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等

概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練1知識(shí)梳理PARTONE1.向量：既有

又有

的量叫做向量.2.數(shù)量：只有

沒有

的量稱為數(shù)量.知識(shí)點(diǎn)一向量的概念大小方向大小方向1.有向線段具有

的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：

、

、

，如圖所示.知識(shí)點(diǎn)二向量的幾何表示方向起點(diǎn)方向長度2.向量的表示(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時(shí)用

).3.模、零向量、單位向量001思考“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？答案錯(cuò)誤.理由是：①向量只有長度和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)，只要長度和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、長度和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管長度和方向相同，也是不同的有向線段.1.平行向量：方向

的

向量叫做平行向量.(1)記法：向量a與b平行，記作

.(2)規(guī)定：零向量與任意向量

.2.相等向量：長度

且方向

的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做

向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量相同或相反非零a∥b平行相等相同共線思考(1)平行向量是否一定方向相同？答案

不一定；(2)不相等的向量是否一定不平行？答案

不一定；(3)與任意向量都平行的向量是什么向量？答案

零向量；(4)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？答案平行(共線)向量.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.如果.(

)提示向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.2.若a，b都是單位向量，則a＝b.(

)提示a與b都是單位向量，則|a|＝|b|＝1，但a與b的方向可能不同.3.力、速度和質(zhì)量都是向量.(

)提示質(zhì)量不是向量.4.零向量的大小為0，沒有方向.(

)提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.××××2題型探究PARTTWO例1

(多選)下列說法錯(cuò)誤的有A.向量

與向量

的長度相等B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C.零向量都是相等的D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等一、向量的概念√解析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個(gè)單位向量也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯(cuò)誤，A正確.√√反思感悟解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題.跟蹤訓(xùn)練1

下列說法中正確的是A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的模可以比較大小√解析不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，故C不正確；向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，故D正確.二、向量的幾何表示及應(yīng)用例2

一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，反思感悟作向量的方法準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2

在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使b＝a；解根據(jù)相等向量的定義，所作向量b與向量a方向相同，且長度相等(作圖略).(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝

，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？解由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為

的圓(作圖略).三、相等向量與共線向量例3

如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).(1)寫出與

共線的向量；解因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，(2)寫出模與

的模相等的向量；(3)寫出與

相等的向量.反思感悟相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)與

的模相等的向量有多少個(gè)？解與

的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個(gè)向量，所以這樣的向量共有23個(gè).(2)是否存在與

長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？(3)與

共線的向量有幾個(gè)？核心素養(yǎng)之邏輯推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI特殊向量的作用典例給出下列命題：①若a∥b，則a與b的方向相同或相反；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③若兩個(gè)模相等的向量互相平行，則這兩個(gè)向量相等；④若a＝b，b＝c，則a＝c，其中正確的是_____.(填序號)④解析由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任意向量平行，故取a＝0，則對于任意的向量b，都有a∥b，知①錯(cuò)誤；取b＝0，則對于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②錯(cuò)誤；兩個(gè)模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③錯(cuò)誤；由兩個(gè)向量相等的概念可知④正確.素養(yǎng)提升(1)本題主要考查相等向量，共線向量與零向量的概念，需要準(zhǔn)確理解概念進(jìn)行推理，這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中邏輯推理的核心素養(yǎng).(2)特殊向量的性質(zhì)往往與一般向量有所不同，在解題中應(yīng)單獨(dú)加以驗(yàn)證，不能混淆.例如：零向量與任意向量平行，解題時(shí)要驗(yàn)證取零向量時(shí)是否成立.3隨堂演練PARTTHREE1.在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的起點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是A.單位圓

B.一段弧C.線段

D.直線12345√2.(多選)下列說法錯(cuò)誤的有A.共線的兩個(gè)單位向量相等B.相等向量的起點(diǎn)相同C.若

，則一定有直線AB∥CDD.若向量

共線，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線上√解析A錯(cuò)，共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反；B錯(cuò)，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同；C錯(cuò)，直線AB與CD可能重合；D錯(cuò)，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不共線.12345√√√A.平行四邊形

B.矩形C.菱形

D.等腰梯形√所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為菱形.123454.如圖所示