第四章因式分解4.2

提公因式法

公因式提公因式法.多項式的變形原則用提公因式法分解因式（重點、難點）學習目標新課導入互為逆運算一、因式分解的概念把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式

.二、整式乘法與分解因式之間的關系.新課講解多項式ab＋bc各項都含有相同的因式嗎？多項式3x2＋x呢？多項式mb2＋nb－b呢？嘗試將這幾個多項式分別寫成幾個因式的乘積，并與同伴交流.新課講解公因式的定義：

一個多項式各項都含有的相同因式

,叫做這個多項式各項的公因式.新課講解怎樣確定多項式各項的公因式？系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公

約數(shù)；字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母；指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即字

母最低次冪；新課講解例指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y－3ya＋6y；(2)xy3－

x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.新課講解(1)3，6的最大公約數(shù)是3，所以公因式的系數(shù)是3；有相同字母y，并且y的最低次數(shù)是1，所以公因式是3y.

(2)多項式各項的系數(shù)是分數(shù)，分母的最小公倍數(shù)是27，分子的最大公約數(shù)是4，所以公因式的系數(shù)解：新課講解是

；兩項都有x，y，且x的最低次數(shù)是1，y的最低次數(shù)是2，所以公因式是(3)觀察發(fā)現(xiàn)三項都含有x－y，且x－y的最低次數(shù)是2，所以公因式是(x－y)2.(4)此多項式的第一項是“－”號，應將“－”提取變?yōu)椋?27a2b3－36a3b2－9a2b)．多項式27a2b3－36a3b2－9a2b各項系數(shù)的最大公約數(shù)是9；各項都有a，b，且a的最低次數(shù)是2，b的最低次數(shù)是1，所以這個多項式各項的公因式是－9a2b.新課講解練一練1

多項式8x2y2－14x2y＋4xy3各項的公因式是(

)A．8xy

B．2xyC．4xy

D．2y2式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(

)A．5ab(b－a)B．5a2b2(b－a)C．5a2b(b－a)D．以上均不正確BC新課講解

(1)多項式2x2＋6x3中各項的公因式是什么？(2)你能嘗試將多項式2x2＋6x3因式分解嗎？與同

伴交流.新課講解確定一個多項式的公因式時，要從____________和__________________分別進行考慮.數(shù)字系數(shù)字母及其指數(shù)公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù).公因式中的字母取各項相同的字母，而且各項相同字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的.數(shù)字系數(shù)字母及其指數(shù)新課講解例(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1＝ab(8a2b－12b2c＋l)；解：把下列各式因式分解：(1)3x＋x3； (2)7x3－21x2;(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.新課講解(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝

－4x(6x2－3x＋7).當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“－”號，使括號內(nèi)第一項的系數(shù)成為正數(shù).在提出“－”號時，多項式的各項都要變號.新課講解提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系?新課講解請在下列各式等號右邊的括號前填入“＋”或“－”，使等式成立：(1)2－a＝_____(a－2)； (2)y－x＝_____(x－y)；(3)b＋a＝_____(a＋b)； (4)(b－a)2＝____(a－b)2；(5)－m－n＝____(m＋n);(6)－s2＋t2＝___(s2－t2).?新課講解添括號法則：(1)添上括號和“＋”號，括到括號里的各項都不

變.(2)添上括號和“－”號，括到括號里的各項都改

變符號.新課講解例(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(tǒng)(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(tǒng)(x＋1)(xy＋y＋1).解：把下列各式因式分解：(1)a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.新課講解例(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)

＝(x－y)(a－b)；解：把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.(2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2(m－n－2).課堂小結1、確定公因式的方法：(1)定系數(shù)(2)定字母(3)定指數(shù)2、提公因式法分解因式步驟(分兩步)：第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.3、提公因式法分解因式應注意的問題：（1）公因式要提盡；（2）小心漏掉1;（3）提出負號時,要注意變號.課堂小結1、公因式：各項都有的公共因式2、確定公因式：定系數(shù)→定字母→定指數(shù)3、步驟：觀察多項式→確定公因式→提取公因式

→確定另外一個因式(找公因式→提公因式)當堂小練1.把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正確的結果是(

)A．(x－y)(－a－b＋c)B．(y－x)(a－b－c)C．－(x－y)(a＋b－c)D．－(y－x)(a＋b－c)B當堂小練2.如果多項式－

abc＋

ab2－a2bc的一個因式是－

ab，那么另一個因式是(

)A．c－b＋5acB．c＋b－5acC．c－b＋

acD．c＋b－

acA拓展與延伸因式分解：－14x3－21x2＋28x.－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．解：1.(1)填空：①多項式6x2+2x的公因式是

；

②多項式6x2y-4x3的公因式是

；

(2)(人教8上P115改編)多項式12ab3c+8a3b的公因式是(

)A.4ab2

B.4abcC.2ab2 D.4ab(3)多項式6xy+3xy2-9x2y的公因式是(

)A.-3x

B.3x

C.3y

D.3xy2x2x2DD課后練習2.(1)填上適當?shù)氖阶樱挂韵碌仁匠闪?①ax+ay=a·(

)；

②3x3y4+12x2y=3x2y·(

)；

③25a3b2-5a3b3=5a3b2·(

)；

④-24x3-12x2+8x=-4x(

)；

(2)(全國視野)(2024浙江)因式分解：a2-7a=

；

(3)(全國視野)(2024山東)因式分解：x2y+2xy=

.

x+yxy3+45-b

6x2+3x-2a（a-7）xy（x+2）3.多項式14a3bc3+7a2b2c2在因式分解時應提取的公因式是(

)A.7a3bc3 B.28a2b2c2 C.7ab2c2 D.7a2bc2D4.【例2】把下列各式因式分解：(1)8m2n+2mn；

(2)8a3b2-12ab3+2ab；解：原式=2mn·4m+2mn·1=2mn（4m+1）.解：原式=2ab·4a2b-2ab·6b2+2ab·1=2ab（4a2b-6b2+1）.(3)-24x3-12x2+28x.解：原式=-（24x3+12x2-28x）=-（4x·6x2+4x·3x-4x·7）=-4x（6x2+3x-7）.5.【例3】利用因式分解進行計算：12x3+3xy2，其中x=1，y=2.解：原式=3x·4x2+3x·y2=3x（4x2+y2），將x=1，y=2代入上式，得原式=3×1×（4×12+22）=24.6.(北師8下P97)(2023深圳)已知ab=7，a+b=6，求多項式a2b+ab2的值.解：∵ab=7，a+b=6，∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×6=42.7.(1)多項式πr2h+πr3的公因式是

；(2)(2024成都期中)多項式3a2y-3ay+6y的公因式是

.

πr23y8.把下列各式因式分解：(1)a2x2-ax；

(2)12a2b-18ab2-24a3b3；

解：原式=ax·ax-ax·1=ax（ax-1）.解：原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2b2=6ab（2a-3b-4a2b2）.(3)-15m3n2+24m2n3-18m2n.解：原式=-（15m3n2-24m2n3+18m2n）=-（3m