高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市2025屆普通高等學校招生全國統一考試高考模擬調研卷（七）數學試題（康德卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若A是B的充分不必要條件，B是C的充要條件，C是D的必要不充分條件，則A是D的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若A是B的充分不必要條件，B是C的充要條件，C是D的必要不充分條件，則，則A是D的既不充分也不必要條件.故選：D.2.已知一組數據，，…，的方差為3，則數據，，…，的方差為（）A.3 B.7 C.12 D.13【答案】C【解析】因為一組數據，，…，方差為，則數據，，…，的方差為.故選：C.3.若，的最小值為，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】令，則，令，則，當時，，則在上單調遞減，顯然無最小值，不符；當時，令，則，若，時，，則在上單調遞增，故，不符；若，時，在上，即在上單調遞減，在上，即在上單調遞增，所以，則，可得，又，可得；綜上，.故選：A4.已知拋物線和圓在第一象限內的交點為P，則以P為切點的C的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】聯立拋物線和圓，可得，（舍），則，在第一象限內的交點為，由拋物線，則，所以在處切線斜率為，所以切線方程為，即得.故選：A.5.已知函數的圖象關于對稱，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由題意，函數，又由函數的圖象關于對稱，所以，即，解得，即，所以的最大值為.故選：D.6.若高為1的正三棱柱的頂點都在半徑為1的球面上，則該正三棱柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知球的半徑，因為正三棱柱的高為，則球心到三棱柱底面的距離，根據球的截面圓的性質，可得，即，解得，棱柱底面與球的截面圓的半徑，三棱柱的底面三角形為截面圓內接正三角形，可得三角形的邊長為，所以三角形的面積為，該棱柱的體積為.故選：B.7.設，表示n的正因數的個數，如，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有個正因數，有個正因數，所以.故選：B8.已知，都是平面向量，，若，，，則取得最大值時，（）A.1 B.3 C.5 D.6【答案】A【解析】，設，.已知，，可得：，，所以，，則.已知，則：.即，化簡可得，所以，即，當且僅當或時等號成立，，此時取得最大值.當或時，.根據向量模長公式可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.若是定義域為R的單調遞增函數，下列說法正確的是（）A.若，則，B.，，且，有C.，，且，有D.，【答案】AB【解析】對于A，因為是定義域為R的單調遞增函數且，所以當時，恒成立，當時，恒成立，所以，恒成立，故A正確；對于B，，，且，都有，所以，故B正確；對于C，設，則，都有，故C錯誤；對于D，例如在定義域為R的單調遞增函數，但所以，，故D錯誤.故選：AB10.關于非零復數，及其共軛復數，，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，所以，.，，則，選項A正確.，，所以，選項B正確.，顯然，選項C錯誤，則則,所以，選項D正確故選：ABD.11.已知雙曲線，，為C的左、右焦點，點，，過作實軸的垂線l與C從下到上依次交于A，B兩點，線段與C的虛軸長相等．則（）A.雙曲線C的離心率B.以為直徑的圓與C的漸近線相切C.若點P是C上任意一點，則直線，的斜率之積的范圍是D.若點P是C上任意一點，l分別與，交于點E，F，則【答案】ABD【解析】由題設，則代入雙曲線，有，可得，所以，可得，故，A對；以為直徑的圓的圓心為，半徑為，且漸近線為，所以到的距離，即，B對；令且，，則，，，所以，又，，則，顯然取不到1，C錯；令，則，，又，，則，，，所以，所以，D對.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，若，則________．【答案】【解析】由正態曲線的對稱性可知，，故.故答案為：13.已知圓錐的高為，底面直徑的長為，那么從點A出發沿該圓錐的表面到點B的最短路徑長為________．【答案】【解析】由題設，圓錐底面周長為，母線長為，故側面展開圖圓心角為，將圓錐沿過點的母線展開，得到如下圖示半徑為6的半圓，且為圓弧的中點，從到有兩種方式，一種方式從圓錐體側面，一種方式從圓錐的底面，若沿側面，如上圖，從點A出發到點B的最短路徑長；若沿底面，此時最短路徑長為直徑長度；綜上，從點A出發沿該圓錐的表面到點B的最短路徑長.故答案為：14.設定義域為R的函數滿足：，都有且（a為常數），則函數________．【答案】【解析】由①，在①中，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，且A為鈍角．（1）求；（2）若D是邊的中點，求的長．解：（1）由正弦定理：，可得：，由因為A為鈍角，易得，所以（2）由正弦定理，可得：由，可得，所以，所以的長.16.已知函數，．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若無極值點，證明：．解：（1）由題設，則，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，由，，故上最大值、最小值分別為；（2）對函數求導得，又無極值點，所以不存在變號零點，而，則不存在變號零點，當時，顯然R上存在變號零點，不符；當時，只需，即，此時，令，則，故在R上單調遞減，又，故時，時，則恒成立，所以，得證.17.如圖，在中，，O為邊的中點，點D，E分別在，上，將繞直線旋轉α到的位置，點E對應點M，交于點F，點P在線段上，連接，，．已知，，．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值的取值范圍．（1）證明：由，則、分別為、，由，則，故，又平面，平面，故平面；（2）解：由，O為邊的中點，則，如圖，在平面內作，則可建立如圖所示空間直角坐標系，設為單位長度，則有，，，，由交于點，則，，則，則，，則，，，設平面的法向量為，則有，令，則，，即可取，設與平面所成角為，則，由，則，則，則，故.18.某人有兩只盒子，盒子A裝有1個白球和2個黑球，盒子B裝有2個白球和1個黑球．他通過擲一個均勻的六面骰子來選擇盒子：若骰子點數大于4，則選擇盒子A；否則選擇盒子B．然后他從選中的盒子中隨機取出兩個球．（1）若一次性取出，設隨機變量X表示取出的白球數量．求X的分布列及數學期望；（2）若在原取球規則基礎上，從選擇的盒子中第一次取球，將取出的球顏色記錄下來并放回原盒子，然后擲一枚均勻硬幣，若正面朝上，則對該盒子中的球進行如下操作：將白球和黑球數量互換；若反面朝上，則球的情況不變；之后再對這個盒子進行第二次取球，設兩次取球取出白球總數為Y，求Y的數學期望．解：（1）由題設，選盒子的概率為，選盒子的概率為，取出的兩個球白球的個數可能值為，且，，，分布列如下，012；（2）由題意，兩次各取1個球，第一次選盒子的概率為，取白球的個數為，則，，第二次，取白球的個數為，若反面朝上的概率為，則，，若正面朝上的概率為，則，，此時，，；第一次選盒子的概率為，取白球的個數為，則，，第二次，取白球的個數為，若反面朝上的概率為，則，，若正面朝上的概率為，則，，此時，，；綜上，兩種情況合并，，所以.19.已知橢圓的左，右焦點為，，P為C上一動點，內切圓面積的最大值為，且到直線的距離為3c，過的直線l交C于A，B兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）若，探究：是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，請說明理由；（3）若，直線l與直線相交于點Q，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數列．解：（1）由題設，若內切圓面積最大，即其半徑最大，此時為橢圓的上(下)頂點，所以，可得，又，則，且，所以，故，得，所以，即方程為；（2）令，聯立橢圓方程有，整理得，顯然，則，，故，則由，則，代入橢圓有，可得，所以，此時，，當時，，，則，綜上，為定值；（3）由題設且，則，即，顯然直線的斜率存在，設，聯立，所以，整理得，所以，，令，則，由，，則，且，，所以，即，，成等差數列．重慶市2025屆普通高等學校招生全國統一考試高考模擬調研卷（七）數學試題（康德卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若A是B的充分不必要條件，B是C的充要條件，C是D的必要不充分條件，則A是D的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若A是B的充分不必要條件，B是C的充要條件，C是D的必要不充分條件，則，則A是D的既不充分也不必要條件.故選：D.2.已知一組數據，，…，的方差為3，則數據，，…，的方差為（）A.3 B.7 C.12 D.13【答案】C【解析】因為一組數據，，…，方差為，則數據，，…，的方差為.故選：C.3.若，的最小值為，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】令，則，令，則，當時，，則在上單調遞減，顯然無最小值，不符；當時，令，則，若，時，，則在上單調遞增，故，不符；若，時，在上，即在上單調遞減，在上，即在上單調遞增，所以，則，可得，又，可得；綜上，.故選：A4.已知拋物線和圓在第一象限內的交點為P，則以P為切點的C的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】聯立拋物線和圓，可得，（舍），則，在第一象限內的交點為，由拋物線，則，所以在處切線斜率為，所以切線方程為，即得.故選：A.5.已知函數的圖象關于對稱，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由題意，函數，又由函數的圖象關于對稱，所以，即，解得，即，所以的最大值為.故選：D.6.若高為1的正三棱柱的頂點都在半徑為1的球面上，則該正三棱柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知球的半徑，因為正三棱柱的高為，則球心到三棱柱底面的距離，根據球的截面圓的性質，可得，即，解得，棱柱底面與球的截面圓的半徑，三棱柱的底面三角形為截面圓內接正三角形，可得三角形的邊長為，所以三角形的面積為，該棱柱的體積為.故選：B.7.設，表示n的正因數的個數，如，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有個正因數，有個正因數，所以.故選：B8.已知，都是平面向量，，若，，，則取得最大值時，（）A.1 B.3 C.5 D.6【答案】A【解析】，設，.已知，，可得：，，所以，，則.已知，則：.即，化簡可得，所以，即，當且僅當或時等號成立，，此時取得最大值.當或時，.根據向量模長公式可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.若是定義域為R的單調遞增函數，下列說法正確的是（）A.若，則，B.，，且，有C.，，且，有D.，【答案】AB【解析】對于A，因為是定義域為R的單調遞增函數且，所以當時，恒成立，當時，恒成立，所以，恒成立，故A正確；對于B，，，且，都有，所以，故B正確；對于C，設，則，都有，故C錯誤；對于D，例如在定義域為R的單調遞增函數，但所以，，故D錯誤.故選：AB10.關于非零復數，及其共軛復數，，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，所以，.，，則，選項A正確.，，所以，選項B正確.，顯然，選項C錯誤，則則,所以，選項D正確故選：ABD.11.已知雙曲線，，為C的左、右焦點，點，，過作實軸的垂線l與C從下到上依次交于A，B兩點，線段與C的虛軸長相等．則（）A.雙曲線C的離心率B.以為直徑的圓與C的漸近線相切C.若點P是C上任意一點，則直線，的斜率之積的范圍是D.若點P是C上任意一點，l分別與，交于點E，F，則【答案】ABD【解析】由題設，則代入雙曲線，有，可得，所以，可得，故，A對；以為直徑的圓的圓心為，半徑為，且漸近線為，所以到的距離，即，B對；令且，，則，，，所以，又，，則，顯然取不到1，C錯；令，則，，又，，則，，，所以，所以，D對.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，若，則________．【答案】【解析】由正態曲線的對稱性可知，，故.故答案為：13.已知圓錐的高為，底面直徑的長為，那么從點A出發沿該圓錐的表面到點B的最短路徑長為________．【答案】【解析】由題設，圓錐底面周長為，母線長為，故側面展開圖圓心角為，將圓錐沿過點的母線展開，得到如下圖示半徑為6的半圓，且為圓弧的中點，從到有兩種方式，一種方式從圓錐體側面，一種方式從圓錐的底面，若沿側面，如上圖，從點A出發到點B的最短路徑長；若沿底面，此時最短路徑長為直徑長度；綜上，從點A出發沿該圓錐的表面到點B的最短路徑長.故答案為：14.設定義域為R的函數滿足：，都有且（a為常數），則函數________．【答案】【解析】由①，在①中，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，且A為鈍角．（1）求；（2）若D是邊的中點，求的長．解：（1）由正弦定理：，可得：，由因為A為鈍角，易得，所以（2）由正弦定理，可得：由，可得，所以，所以的長.16.已知函數，．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若無極值點，證明：．解：（1）由題設，則，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，由，，故上最大值、最小值分別為；（2）對函數求導得，又無極值點，所以不存在變號零點，而，則不存在變號零點，當時，顯然R上存在變號零點，不符；當時，只需，即，此時，令，則，故在R上單調遞減，又，故時，時，則恒成立，所以，得證.17.如圖，在中，，O為邊的中點，點D，E分別在，上，將繞直線旋轉α到的位置，點E對應點M，交于點F，點P在線段上，連接，，．已知，，．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值的取值范圍．（1）證明：由，則、分別為、，由，則，故，又平面，平面，故平面；（2）解：由，O為邊的中點，則，如圖，在平面內作，則可建立如圖所示空間直角坐標系，設為單位長度，則有，，，，由交于點，則，，則，則，，則，，，設平面的法向量為，則有，令，則，，即可取，設與平面所成角為，則，由，則，則，則，故.18.某人有兩只盒子，盒子A裝有1個白球和2個黑球，盒子B裝有2個白球和1個黑球．他通過擲一個均勻的六面骰子來選擇盒子：若骰子點數大于4，則選擇盒子A；否則選擇盒子B．然后他從選中的盒子中隨機取出兩個球．（1）若一次性取出，設隨機