86.從包絡到二次曲線系一．基本原理1.直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.2.微分幾何中已經給出曲線系包絡線的一般解法：因為曲線上任一點均滿足，又由曲線與曲線相切時的切線方程相同，可知關于的函數對的導數等于0，即包絡曲線上的任一點均滿足下列方程組：消去參數，即可求得包絡曲線的方程．3.二次曲線系核心定理：給定五個點，其中任何三個點都不共線，則過這五個點有且僅有一條圓錐曲線.進一步可得：由組成的曲線：.圓錐曲線上的四點共圓問題：設圓錐曲線方程為，則存在四點共圓的情況必為，由于沒有的項，必有.證明：由組成的曲線即所以經過它與的四個交點的二次曲線一定能表示成以下形式不同時為0)：①必要性.若四個交點共圓，則存在使方程①表示圓，所以式①左邊的展開式中含項的系數.而(否則③表示曲線，不表示圓)，所以.充分性.當時，式①左邊的展開式中不含的項，選時，再令式①左邊的展開式中含項的系數相等，即，得.此時曲線①即②的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡.而題中的四個交點都在曲線②上，所以曲線②表示圓.這就證得了四個交點共圓.二．典例分析例1（湖北省部分地市州25屆高三元月聯考）．直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括直線）．直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族，則下列說法正確的是（

）A．若，則該直線族的包絡曲線為圓B．若，則該直線族的包絡曲線為橢圓C．當時，點可能在直線族上D．當時，曲線是直線族的包絡曲線解析：對于A，設圓：上的點為，直線的斜率為，過點作圓的切線，由，得，所以切線的方程為，即，故A正確；對于B，設橢圓上的點為，過點作圓的切線，當切線斜率存在時，設，，聯立得：，所以，.作商：，得，所以切線的方程為，即；當切線斜率不存在時，或，則切線方程和亦滿足，故B正確；對于C，將代入得，構造，，當時，；當，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，因而當時，取到最小值，所以在無零點，無解，故C錯誤；對于D，若不在直線族上，則將代入直線得無解，則，所以,因而可得當在曲線上時，則一定在直線族上，聯立和得，所以，故直線和相切，又不包括直線，所以是直線族的包絡曲線，故D正確.故選：ABD.例2．一曲線族的包絡線（Envelope）是這樣的曲線：該曲線不包含于曲線族中，但過該曲線上的每一點，都有曲線族中的一條曲線與它在這一點處相切，若圓：是直線族的包絡線，則，滿足的關系式為_________；若曲線是直線族的包絡線，則的長為__________.解析：由題意，若圓：是直線族的包絡線，可得，可得；又由曲線是直線族的包絡線，可得為定值，則，可得，此時，所以曲線的方程為，所以曲線的周長為.故答案為：；.例3．造紙術是中國四大發明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據史料記載盛唐時期折紙藝術開始流行，19世紀折紙與數學研究相結合，發展成為折紙幾何學.在一次數學探究課上，學生們研究了圓錐曲線的包絡線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點，記矩形一邊所在直線為，將點折疊到上（即），不斷重復這個操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡線.在拋物線的所有包絡線中，恰好過點的包絡線所在的直線方程為_________.

解析：依題意，拋物線的每條包絡線與該拋物線相切，顯然過點的包絡線所在的直線斜率存在，設方程為，由消去并整理得：，則，解得，所以所求直線方程為.故答案為：例4．若集合A表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合中的每一條直線都是某圓上一點處的切線，且該圓上每一點處的切線都是中的一條直線，則稱該圓為集合的包絡圓.(1)若圓是集合的包絡圓.（i）求a，b滿足的關系式;（ii）若，求的取值范圍;(2)若集合的包絡圓為C，P是上任意一點，判斷軸上是否存在定點M，N，使得，若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由.解析：（1）（i）因為圓是集合的包絡圓，所以圓心到直線的距離為2，即，化簡得，即a，b滿足的關系式為.（ii）由及，可得圓與直線有公共點，所以，解得，故的取值范圍是．（2）設，由題意可知點到直線的距離為與無關的定值，即為與無關的定值，所以，．故，此時，．所以的方程為，設，則，即，假設軸上存在定點，，使得，設，，則，所以解得或所以，或，．例5．直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)圓是直線族的包絡曲線，求滿足的關系式；(2)若點不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡曲線的方程；(3)在（2）的條件下，過直線上的動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線的距離的最大值.解析：（1）由題可得，直線族為圓M的切線，故滿足，所以滿足．（2）將點代入，可得關于的方程，因為點不在直線族上，故方程無實數解，所以，那么，故，因為區域的邊界為拋物線，下證：是的包絡曲線．聯立直線與，可得，所以，故直線族：為拋物線的切線.因此直線族的包絡曲線的方程為.（3）由（2）得曲線的方程為，設Px0,y0在直線上，則，即.設Ax1,y1,Bx2,y2，易知直線的斜率存在，設直線因為直線與相切，所以，即.因為，所以，，解得.所以直線的方程為，化簡得，同理可得直線的方程為.因為點Px0,y0在切線上，所以，所以直線的方程為，即.將代入，得，化簡得.則原點到直線的距離.設，則,所以，所以.當時，，則重合，不符合題意，所以，所以.令，則.對于二次函數，其對稱軸為，則時，的最小值為，所以有最大值，則的最大值為.例6.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：（曲線系）點處的切線方程為，設直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點的二次曲線方程為.又因為雙曲線過這些交點，比較的系數得.又由，所以.例7.（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.解析：（2）設，則，將寫成雙直線二次曲線:，因為是雙直線二次曲線與橢圓的交點,聯立方程:考慮到是已知的，且縱坐標均為，則聯立后的方程必有因式于是將①式按整理得:由①:，代入得:，由于交點滿足聯立后的方程，且縱坐標不為，于是滿足方程，即直線的方程為:，按整理得，令得定點.例8．（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．解析：（2）A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的