2025屆高三數學“8+3+3”小題期末專項練（12）數列綜合研究通項及求和一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知數列的前n項和為，若，則（）A．16 B．32 C．54 D．1622．已知等差數列的前和為Sn，，，則（）A. B. C. D.3．已知數列滿足，設為數列的前項和，則（）A. B. C. D.4．已知數列各項為正數，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．5．已知數列的前項和為，且，設，若數列是遞增數列，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在數列中，，若對于任意的恒成立，則實數k的最小值為（）A.1 B. C. D.7．函數的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數，也是兩條優美的雙曲線.在數列中，，，記數列的前項積為，數列的前項和為，則（）A. B.C. D.8．設數列滿足，，，若表示大于的最小整數，如，，記，則數列的前2022項之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知為數列的前項和，，則（）A.是等差數列 B.是等比數列C.是等比數列 D.的最大值是110．已知數列的前n項和為，滿足，且，則下列結論中正確的是（）A.為等比數列 B.為等比數列C. D.11．已知正項數列滿足，記的前項和為Sn，前項積為，則（）A. B.不可能為常數列C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數列滿足，則的通項公式為______________.13.已知數列的前項和為，則數列的前項和__________.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過且與互質的正整數的個數（公約數只有1的兩個整數稱為互質整數），例如：，．記，數列的前項和為，若恒成立，則實數的取值范圍為______．2025屆高三數學“8+3+3”小題期末專項練（12）數列綜合研究通項及求和一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知數列的前n項和為，若，則（）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【解析】當時，，所以，即，當時，，所以數列是首項為2，公比為3的等比數列，則.故選：C.2．已知等差數列的前和為Sn，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由等差數列，可得前項和為，又因為，所以，所以，即得，所以，則.故選：A.3．已知數列滿足，設為數列的前項和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，又，所以是首項為1公差為1的等差數列，可得，所以，，，兩式相減得，所以.故選：B.4．已知數列各項為正數，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，因為，所以，，即，所以數列是等差數列，又，，所以，所以數列的公差為，首項為，所以，所以，所以，則，所以.故選：C.5．已知數列的前項和為，且，設，若數列是遞增數列，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用的關系式可得數列是以為首項，為公比的等比數列，再由是遞增數列可得恒成立，即可得.【詳解】當時，，解得；當時，由，得，兩式相減得，所以，即數列是以為首項，為公比的等比數列，可得，所以；因為數列是遞增數列，所以對于任意的恒成立，即，即恒成立，因為時，取得最小值3，故，即的取值范圍是.故選：C.6．在數列中，，若對于任意的恒成立，則實數k的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又，故數列為首項為，公比為的等比數列，所以，則不等式可化為，令，當時，；當時，；又，則當時，，當時，，所以，則，即實數的最小值為.故選：D.7．函數的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數，也是兩條優美的雙曲線.在數列中，，，記數列的前項積為，數列的前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，，則，可得，又因為為遞增數列，且，所以當，可得.故選：A.8．設數列滿足，，，若表示大于的最小整數，如，，記，則數列的前2022項之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047【答案】B【解析】因為，所以，又，所以數列是以3為首項，2為公差的等差數列，所以所以，當時也符合上式，故，則數列的通項公式，則數列的前2022項之和為．故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知為數列的前項和，，則（）A.是等差數列 B.是等比數列C.是等比數列 D.的最大值是1【答案】BCD【解析】對于選項AB：由，時，有，所以，當時，，兩式相減得，且，可得，可知數列是以為首項，公比為的等比數列，則，故A錯誤，B正確；對于選項C：因為，可得，，所以等比數列，故C正確；對于選項D：因為，所以，由基本不等式可得，而，，當，即時取等號，故的最大值是，故D正確；故選：BCD．10．已知數列的前n項和為，滿足，且，則下列結論中正確的是（）A.為等比數列 B.為等比數列C. D.【答案】BCD【解析】由題設，且，故是首項、公比為3的等比數列，所以，則，故不是等比數列，A錯，B、C對；由，則，所以，所以，D對.故選：BCD11．已知正項數列滿足，記的前項和為Sn，前項積為，則（）A. B.不可能為常數列C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A：因為是正項數列，則，解得，所以，故A正確；對于選項B：若，滿足，故B錯誤；對于選項C：因為，故C正確.對于選項D：因為，則，則，當且僅當，即時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，又因為，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，故，等號可以同時成立，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數列滿足，則的通項公式為______________.【答案】【解析】數列中，，當時，，兩式相減得，解得，而，即滿足上式，所以的通項公式為.故答案為：13.已知數列的前項和為，則數列的前項和__________.【答案】【解析】由，當時，，即；當時，，即，所以數列為等比數列，首項為2，公比為2，則，，所以，則.故答案為：.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過且與互質的正整數的個數（公約數只有1的兩個整數稱為互質整數），例如：，．記，數列的前項和為，若恒成立，則實數的取值