高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區2025屆高三下學期綜合練習（一）數學試卷一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，解得或，所以或，所以.故選：C.2.下列函數中，值域為的函數是A. B. C. D.【答案】C【解析】確定函數的值域，應首先關注函數的定義域.根據指數函數的性質可知的值域為，故選C.3.在的展開式中，的系數為10，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】因為的通項為，令，解得，則，解方程得：.故選：D.4.中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.一杯的熱紅茶置于的房間里，茶水的溫度（單位：）與時間（單位：）的函數的圖象如圖所示.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】A【解析】因為，所以，因為圖象是上凹函數，所以，即故A正確；由A知，使，則，即，由，則，，故無法判斷，的大小關系，故B錯誤；由A知，使，可得，結合，可得，由的單調遞減可得，故，故C錯誤；由A知，存在，使，可得，故存在，使，由函數的單調性可知時，，當時，，當時，，當時，，故D錯誤.故選：A.5.在平面直角坐標系中，角以為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數值中一定大于零的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，若，此時，D錯誤.故選：C6.已知是各項均為正整數的無窮等差數列，其中的三項為，則的公差可以為（）A. B. C.4 D.3【答案】C【解析】因為是各項均為正整數的無窮等差數列，所以只能是常數數列或單調遞增數列，若中三項為，則它們在數列中的位置只能是排在前，排在后，由，，由同時是公差的倍數，所以公差可以為.故選：C.7.長度為2的線段的兩個端點分別在軸及軸上運動，則線段的中點到直線距離的最小值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】設，由題意可得：，設的中點坐標為，則，所以，即線段的中點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，圓心到的距離為：，所以線段的中點到直線距離的最小值為，故選：A8.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則必有，由，則，可得，又，根據基本不等式有，若且，則有，即是的充分條件，若，則，此時滿足，但不成立，所以是的非必要條件，綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A9.祈年殿（圖1）是北京市標志性建筑之一?距今已有600多年歷史.殿內部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環形均勻排列.內圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱和兩根金柱形成的幾何體（圖2）中，米，，則平面與平面所成角的正切值約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若平面平面，則平面與平面所成角，即為平面與平面所成角，由題意有，即是等腰三角形，腰長約為8米，，易知，若是的中點，連接，則，且平面，由平面，則，都在平面內，所以平面，則是平面與平面所成角的平面角，其中，，則.故選：B10.已知集合，，如果有且只有兩個元素，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為有且只有兩個元素，所以曲線與有且只有兩個交點.對于曲線變形可得，表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點，對于曲線，（1）當時，如圖所示，表示的是一條直線，與交于，兩點，符合題意；（2）當時，，與至多有一個交點，不符合題意；（3）當時，表示的是兩條射線，，①當時，表示的是和兩條射線，與僅有一個交點，如下圖所示，所以不符合題意；②當時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的左右兩支各有一個交點，如下圖所示，所以符合題意；③當時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點，與左支有兩個交點，如下圖所示，所以符合題意；綜上，實數的取值范圍為.故選：D二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若復數滿足，則__________.【答案】【解析】由題設，則.故答案為：12.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示.若網格紙上小正方形的邊長為1，則__________；__________.【答案】①.②.【解析】平移向量與共起點，易看出的夾角為，；，，，的夾角的余弦值，的夾角為，.故答案為：；.13.已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，且總有，則的一個值可以為__________.【答案】2（答案不唯一）【解析】由拋物線的性質知，又，即.所以的一個值可以為2.故答案為：2（答案不唯一）14.已知函數，若的最小正周期為，則__________；若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】因為函數的最小正周期為，所以，解得，因為，又，所以為函數的最大值或最小值，要使最小，則最大值與最小值應在同一個周期內，由，則，則或，解得，所以的最小值為.故答案為：①；②.15.已知數列滿足，且.給出下列四個結論：①若，當時，；②若，當時，；③若，對任意正數，存在正整數，當時，；④若，對任意負數，存在正整數，當時，.其中正確結論的序號是__________.【答案】①③④【解析】因為且，所以，所以是首相為，公比為的等比數列，所以，即，所以，又，所以是首相為，公比為的等比數列，所以，即，對于①，若，當時，當且為奇數時，；當且為偶數數時，；綜上，即，故①正確；對于②，若，取，則，故②錯誤；對于③，若，則，對任意正數，由得，所以，又，當時上式一定成立，即，故存在正整數，當時，，故③正確；對于④，若，則，對任意負數，由得，所以，又，當時成立，即，故存在正整數，當時，，故④正確；故答案為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中.（1）求的值及的面積；（2）求證：.（1）解：由，可得，而，所以，即，顯然不成立，所以，可得，則，故；（2）證明：由（1）易知，則，由（1）及余弦定理有，所以，又，則.17.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面平面.（1）證明：平面；（2）已知點到平面的距離為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的長.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（1）證明：由四邊形為平行四邊形，則，又，平面，平面，則平面，同理平面，由，都在平面內，則平面平面，平面，則平面；（2）解：平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，選條件①：，都在平面內，則平面，平面，則；選條件②：由，，，則，又，故，所以，則，綜上，，，，以為原點，為的正方向建立空間直角坐標系，所以，令，則，故，，令是平面的一個法向量，則，取，則，由題設，可得，所以.18.據國家相關部門統計，2023年華東地區、東北地區主要省份的水稻、小麥的播種面積和產量數據見下表：水稻小麥播種面積（千公頃）產量（萬噸）播種面積（千公頃）產量（萬噸）華東地區江蘇省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.100江西省3383.92070.711.33.5山東省101.086.14008.92673.8東北地區遼寧省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龍江省3268.52110.019.37.5（1）從表1中的華東地區隨機抽取1個省份，求該省水稻產量比小麥產量少的概率；（2）從表1的9個省份中隨機抽取2個，設為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數.求的分布列與數學期望；（3）2023年華東地區、東北地區和華北地區主要糧食作物的播種面積及其采用新技術的播種面積占該作物總播種面積的比值（簡稱新技術占比率）數據見下表：糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率華東地區水稻9456.70.70小麥9425.10.60東北地區水稻4597.80.55玉米13800.00.65華北地區.小麥3184.50.65玉米9564.70.60記華東地區和東北地區水稻播種總面積新技術占比率、華東地區和華北地區小麥播種總面積的新技術占比率、東北地區和華北地區玉米播種總面積的新技術占比率分別為.依據表2中的數據比較的大小.（結論不要求證明）解：（1）由表格，華東地區6省中只有安徽省、山東省的水稻產量比小麥產量少，所以華東地區隨機抽取1個省份，水稻產量比小麥產量少的概率；（2）由表格，水稻播種面積最大的5個省依次為江西、黑龍江、安徽、江蘇、吉林，其中華東地區有3個，東北地區有2個，若9個省份中隨機抽取2個，水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數可能值為，，，，分布列如下，012所以；（3）由表格知，，，所以.19.已知橢圓過點，離心率為，上的點關于軸的對稱點為.設為原點，，過點與軸平行的直線交于點.（1）求橢圓的方程；（2）若點在以為直徑的圓上，求的值.解：（1）因為橢圓過點，所以，即.因為橢圓的離心率為，所以，，又因為橢圓中，代入可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示，因為關于軸的對稱點為，，所以，因為，所以，所以，所以過點與軸平行的直線為，將直線代入橢圓方程，可得，即，所以，，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為，因為點在圓上，所以，即，又因為點在橢圓上，所以，即，代入可得，化簡后可得，解得或（舍），所以.20.設函數，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求不等式的解集；（3）已知，其中，直線的方程為.若，且，求證：.（1）解：由題設，則，而，所以曲線在處切線方程為，所以，即為，則；（2）解：由（1）得，則，令，則，當，，在上單調遞減，當，，在上單調遞增，所以，故在R上單調遞增，且，所以的解集為；（3）證明：由（2）知在R上單調遞增，要證，即證，由且，即證，由，，則且，所以且上，證明，即恒成立，所以，只需證在上單調遞增，且增長速度逐漸變快，由（2），、在上均單調遞增，所以且上，恒成立，故，得證.21.已知有限數列滿足.對于給定的，若中存在項滿足，則稱有項遞增子列；若中存在項滿足，則稱有項遞減子列.當既有項遞增子列又有項遞減子列時，稱具有性質.（1）判斷下列數列是否具有性質；①；②.（2）若數列中有，證明：數列不具有性質；（3）當數列具有性質時，若中任意連續的項中都包含項遞增子列，求的最大值.（1）解：數列①：具有性質；數列②：不具有性質.理由如下：對數列①，記該數列為，該數列有項遞增子列：，該數列有項遞減子列：，故數列①具有性質；對于數列②，記該數列為，該數列有項遞增子列：，該數列沒有項遞減子列，故數列②不具有性質.（2）證明：假設數列具有性質，則數列中存在項遞增的數列和項遞減數列，因為，所以為，為，所以對任意的，在中至少存在一項，因為中有項，所以存在在中恰出現一次，不妨記為，記，則必有，因為遞增，遞減，所以，數列中排在前面的項至少有，共項，排在后面的項至少有，共項，因為數列中有項，所以是第項，即.這與題設矛盾，所以假設不成立，即數列不具有性質.（3）解：當數列具有性質時，記數列的項遞增子列為為和項遞減子列為，由（2）知，數列中恰有一項既是的項，也是的項，記，所以，，所以數列的前項由組成，因為，所以項數最多的遞增子列只能是或，所以遞增子列的項數最多為，數列的后項由組成，所以項數最多的遞增子列是或，所以遞增子列的項數最多為，所以，，因為，所以當為奇數，時，有最大值，所以，構造數列，該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列；當為偶數，時，有最大值，所以，構造數列，該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列，綜上所述，.北京市東城區2025屆高三下學期綜合練習（一）數學試卷一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，解得或，所以或，所以.故選：C.2.下列函數中，值域為的函數是A. B. C. D.【答案】C【解析】確定函數的值域，應首先關注函數的定義域.根據指數函數的性質可知的值域為，故選C.3.在的展開式中，的系數為10，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】因為的通項為，令，解得，則，解方程得：.故選：D.4.中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.一杯的熱紅茶置于的房間里，茶水的溫度（單位：）與時間（單位：）的函數的圖象如圖所示.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】A【解析】因為，所以，因為圖象是上凹函數，所以，即故A正確；由A知，使，則，即，由，則，，故無法判斷，的大小關系，故B錯誤；由A知，使，可得，結合，可得，由的單調遞減可得，故，故C錯誤；由A知，存在，使，可得，故存在，使，由函數的單調性可知時，，當時，，當時，，當時，，故D錯誤.故選：A.5.在平面直角坐標系中，角以為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數值中一定大于零的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，若，此時，D錯誤.故選：C6.已知是各項均為正整數的無窮等差數列，其中的三項為，則的公差可以為（）A. B. C.4 D.3【答案】C【解析】因為是各項均為正整數的無窮等差數列，所以只能是常數數列或單調遞增數列，若中三項為，則它們在數列中的位置只能是排在前，排在后，由，，由同時是公差的倍數，所以公差可以為.故選：C.7.長度為2的線段的兩個端點分別在軸及軸上運動，則線段的中點到直線距離的最小值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】設，由題意可得：，設的中點坐標為，則，所以，即線段的中點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，圓心到的距離為：，所以線段的中點到直線距離的最小值為，故選：A8.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則必有，由，則，可得，又，根據基本不等式有，若且，則有，即是的充分條件，若，則，此時滿足，但不成立，所以是的非必要條件，綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A9.祈年殿（圖1）是北京市標志性建筑之一?距今已有600多年歷史.殿內部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環形均勻排列.內圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱和兩根金柱形成的幾何體（圖2）中，米，，則平面與平面所成角的正切值約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若平面平面，則平面與平面所成角，即為平面與平面所成角，由題意有，即是等腰三角形，腰長約為8米，，易知，若是的中點，連接，則，且平面，由平面，則，都在平面內，所以平面，則是平面與平面所成角的平面角，其中，，則.故選：B10.已知集合，，如果有且只有兩個元素，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為有且只有兩個元素，所以曲線與有且只有兩個交點.對于曲線變形可得，表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點，對于曲線，（1）當時，如圖所示，表示的是一條直線，與交于，兩點，符合題意；（2）當時，，與至多有一個交點，不符合題意；（3）當時，表示的是兩條射線，，①當時，表示的是和兩條射線，與僅有一個交點，如下圖所示，所以不符合題意；②當時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的左右兩支各有一個交點，如下圖所示，所以符合題意；③當時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點，與左支有兩個交點，如下圖所示，所以符合題意；綜上，實數的取值范圍為.故選：D二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若復數滿足，則__________.【答案】【解析】由題設，則.故答案為：12.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示.若網格紙上小正方形的邊長為1，則__________；__________.【答案】①.②.【解析】平移向量與共起點，易看出的夾角為，；，，，的夾角的余弦值，的夾角為，.故答案為：；.13.已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，且總有，則的一個值可以為__________.【答案】2（答案不唯一）【解析】由拋物線的性質知，又，即.所以的一個值可以為2.故答案為：2（答案不唯一）14.已知函數，若的最小正周期為，則__________；若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】因為函數的最小正周期為，所以，解得，因為，又，所以為函數的最大值或最小值，要使最小，則最大值與最小值應在同一個周期內，由，則，則或，解得，所以的最小值為.故答案為：①；②.15.已知數列滿足，且.給出下列四個結論：①若，當時，；②若，當時，；③若，對任意正數，存在正整數，當時，；④若，對任意負數，存在正整數，當時，.其中正確結論的序號是__________.【答案】①③④【解析】因為且，所以，所以是首相為，公比為的等比數列，所以，即，所以，又，所以是首相為，公比為的等比數列，所以，即，對于①，若，當時，當且為奇數時，；當且為偶數數時，；綜上，即，故①正確；對于②，若，取，則，故②錯誤；對于③，若，則，對任意正數，由得，所以，又，當時上式一定成立，即，故存在正整數，當時，，故③正確；對于④，若，則，對任意負數，由得，所以，又，當時成立，即，故存在正整數，當時，，故④正確；故答案為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中.（1）求的值及的面積；（2）求證：.（1）解：由，可得，而，所以，即，顯然不成立，所以，可得，則，故；（2）證明：由（1）易知，則，由（1）及余弦定理有，所以，又，則.17.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面平面.（1）證明：平面；（2）已知點到平面的距離為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的長.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（1）證明：由四邊形為平行四邊形，則，又，平面，平面，則平面，同理平面，由，都在平面內，則平面平面，平面，則平面；（2）解：平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，選條件①：，都在平面內，則平面，平面，則；選條件②：由，，，則，又，故，所以，則，綜上，，，，以為原點，為的正方向建立空間直角坐標系，所以，令，則，故，，令是平面的一個法向量，則，取，則，由題設，可得，所以.18.據國家相關部門統計，2023年華東地區、東北地區主要省份的水稻、小麥的播種面積和產量數據見下表：水稻小麥播種面積（千公頃）產量（萬噸）播種面積（千公頃）產量（萬噸）華東地區江蘇省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.100江西省3383.92070.711.33.5山東省101.086.14008.92673.8東北地區遼寧省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龍江省3268.52110.019.37.5（1）從表1中的華東地區隨機抽取1個省份，求該省水稻產量比小麥產量少的概率；（2）從表1的9個省份中隨機抽取2個，設為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數.求的分布列與數學期望；（3）2023年華東地區、東北地區和華北地區主要糧食作物的播種面積及其采用新技術的播種面積占該作物總播種面積的比值（簡稱新技術占比率）數據見下表：糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率華東地區水稻9456.70.70小麥9425.10.60東北地區水稻4597.80.55玉米13800.00.65華北地區.小麥3184.50.65玉米9564.70.60記華東地區和東北地區水稻播種總面積新技術占比率、華東地區和華北地區小麥播種總面積的新技術占比率、東北地區和華北地區玉米播種總面積的新技術占比率分別為.依據表2中的數據比較的大小.（結論不要求證明）解：（1）由表格，華東地區6省中只有安徽省、山東省的水稻產量比小麥產量少，所以華東地區隨機抽取1個省份，水稻產量比小麥產量少的概率；（2）由表格，水稻播種面積最大的5個省依次為江西、黑龍江、安徽、江蘇、吉林，其中華東地區有3個，東北地區有2個，若9個省份中隨機抽取2個，水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數可能值為，，，，分布列如下，012所以；（3）由表格知，，，所以.19.已知橢圓過點，離心率為，上的點關于軸的對稱點為.設為原點，，過點與軸平行的直線交于點.（1）求橢圓的方程；（2）若點在以為直徑的圓上，求的值.解：（1）因為橢圓過點，所以，即.因為橢圓的離心率為，所以，，又因為橢圓中，代入可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示，因為關于軸的對稱點為，，所以，因為，所以，所以，所以過點與軸平行的直線為，將直線代入橢圓方程，可得，