蘇教版高一下冊數學必修第二冊-13.2.4第2課時兩平面垂直－同步練習[A基礎達標]1．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有()A．0個 B．1個C．無數個 D．1個或無數個2．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β4.如圖，在正四面體ABCD中，E，F分別是線段AC的三等分點，P是線段AB的中點，G是直線BD上的動點，則()A．存在點G，使PG⊥EF成立B．存在點G，使FG⊥EP成立C．不存在點G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在點G，使平面EFG⊥平面ABD成立5．(多選)如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C是圓周上異于點A，B的任一點，則下列結論中正確的是()A．PC⊥BCB．AC⊥平面PBCC．平面PAB⊥平面PBCD．平面PAC⊥平面PBC6．在四面體ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C為直二面角，E是CD的中點，則∠AED的度數為________．7.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖)，則圖中互相垂直的平面有________對．8.如圖，直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為______．9.如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.10.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是BD的中點.(1)求證：平面BDD1B1⊥平面C1OC；(2)求二面角C1-BD-C的正切值．[B能力提升]11．(多選)如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下列結論正確的是()A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE12．(多選)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，則在翻折過程中，可能成立的結論為()A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面BDF⊥平面BCFD．平面CDF⊥平面BCF13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，在這個四棱錐的所有表面及平面PAC，平面PBD中，一定互相垂直的平面有________對．14．將銳角A為60°，邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角，則折疊后A與C之間的距離為________．[C拓展探究]15．《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右．它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系．《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC．(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空：______⊥________，則三棱錐P-ABC為“鱉臑”；(2)如圖，已知AD⊥PB，垂足為D，AE⊥PC，垂足為E，∠ABC＝90°.①證明：平面ADE⊥平面PAC；②設平面ADE與平面ABC的交線為l，若PA＝2eq\r(3)，AC＝2，求二面角E-l-C的大小．參考答案[A基礎達標]1．解析：選D．當兩點連線與平面α垂直時，可作無數個垂面，否則，只有1個．2．解析：選C．若點P在二面角內，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.3．解析：選D．由a∥α，知α內必有直線l與a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.4.解析：選B．對于A，因為四面體ABCD為正四面體，則BD⊥EF，若PG⊥EF，則EF⊥平面ABD，顯然不可能，所以PG不與EF垂直，A錯誤；對于B，連接BF，則BF∥PE，因為G是直線BD上的動點，所以存在點G，使FG⊥BF成立，所以存在點G，使FG⊥EP成立，B正確；對于C，取AC的中點N，設點B在平面ACD內的投影為點O，則BO⊥平面ACD，過點N作NG∥BO交BD于點G，則NG⊥平面ACD，則此時平面EFG⊥平面ACD，C錯誤；對于D，易得當點G為BD的中點時，平面EFG⊥平面ABD，D錯誤，綜上所述，故選B．5．解析：選AD．因為PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，所以PA⊥BC.又直徑所對的圓周角為直角，所以BC⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，從而PC⊥BC，所以A正確；因為BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.所以D正確．易驗證B，C均不成立，故選AD．6．解析：如圖，設AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中點F，連接AF，CF，則AF⊥BD，CF⊥BD，所以∠AFC是二面角A-BD-C的平面角，由題意知∠AFC＝90°，即AF⊥FC，由題意可得AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△AFC中，易得AC＝a.所以△ACD為正三角形．又因為E是CD的中點，所以AE⊥CD，即∠AED＝90°.答案：90°7.解析：因為DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．答案：58.解析：如圖，連接BC，因為二面角α-l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC?β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)9.證明：(1)如圖所示，連接DG，設CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF.因為G是AC的中點，所以DF∥GC且DF＝GC.所以四邊形CFDG是平行四邊形．所以DM＝MC.因為BH＝HC，所以MH∥BD.又BD?平面FGH，MH?平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB.因為AB⊥BC，所以GH⊥BC.又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC.所以四邊形EFCH是平行四邊形．所以CF∥HE.因為CF⊥BC.所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.10.解：(1)證明：因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是BD的中點，又BC1＝DC1,BC＝DC，所以C1O⊥BD，CO⊥BD.因為C1O∩CO＝O，C1O?平面C1OC，CO?平面C1OC，所以BD⊥平面C1OC,又因為BD?平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面C1OC.(2)由(1)知平面C1BD∩平面CBD＝BD，C1O⊥BD，C1O?半平面C1BD；CO⊥BD，CO?半平面CBD；所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角．則在正方體ABCD-A1B1C1D1中C1C＝1，OC＝eq\f(\r(2),2).所以在Rt△C1OC中，tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\r(2).故二面角C1-BD-C的正切值為eq\r(2).[B能力提升]11．解析：選ABD．由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB.因為圓柱的軸截面是四邊形ABCD，所以AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.所以BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，所以BE⊥平面ADE，所以BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正確．因為AD∥BC，所以∠ADE(或其補角)為DE與CB所成的角，顯然∠ADE≠90°，所以DE⊥平面CEB不正確，即C錯誤．故選ABD．12．解析：選BC．對于A，因為BC∥AD，AD與DF相交且不垂直，所以BC與DF不垂直，故A錯誤；對于B，設點D在平面BCF上的射影為點P，若BP⊥CF，則BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使BP⊥CF，故B正確；對于C，當點P落在BF上時，DP⊥平面BCF，DP?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正確；對于D，因為點D的射影不可能在FC上，所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D錯誤．故選BC．13．解析：由PD⊥平面ABCD，則平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD；由AD⊥CD，AD⊥PD，PD∩CD＝D，則AD⊥平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC；同理可證AB⊥平面PDA，BC⊥平面PDC，AC⊥平面PDB，從而有平面PAB⊥平面PDA，平面PBC⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，綜上，互相垂直的平面有7對．所以本題答案為7.答案：714．解析：設折疊后點A到A1的位置，取BD的中點E，連接A1E，CE.則BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角．故∠A1EC＝60°.因為A1E＝CE，所以△A1EC是等邊三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a[C拓展探究]15．解：(1)因為“鱉臑”是由四個直角三角形組成的四面體，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC為直角三角形；若BC⊥AB，由AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，可得BC⊥平面PAB；所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC為直角三角形；滿足四個面都是直角三角形；同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能滿足四個面都是直角三角形；故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.(2)①證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以AD⊥平面PBC，又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，又AE⊥PC，AE∩AD＝A，AD，AE?平面ADE，所以PC⊥平面ADE，又PC?平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.②由題意知，在平面PBC中，直線DE與直線BC相交．如圖所示，設DE∩BC＝F，連接AF，則AF即為l.因為PC⊥平面AED，l?平面AED，所以PC⊥l，因為PA⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，又PA∩PC＝P，