數學第15章概率15．3互斥事件和獨立事件01自主學習02講練互動03當堂達標04鞏固提升學習指導核心素養1.理解互斥事件的概念，能綜合運用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率．2.理解對立事件的概念，能利用對立事件解決問題．3.能記住相互獨立事件概率的乘法公式；能綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題．1.數學抽象：互斥事件、對立事件的概念．2.數學運算、數學建模：互斥事件的概率加法公式和獨立事件的乘法公式的應用．互斥Ω對立自主學習(1)互斥事件與對立事件的區別與聯系①區別：兩個事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：(ⅰ)若事件A發生，則事件B就不發生；(ⅱ)若事件B發生，則事件A不發生；(ⅲ)事件A，B都不發生．而兩個事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的對立事件只有一個，而事件A的互斥事件可以有多個．②聯系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立．P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)1－P(A)P(A)P(B)事件A與B相互獨立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？提示：對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發生的概率不受其他事件是否發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An兩兩相互獨立．1．判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)(1)互斥事件一定對立．(

)(2)對立事件一定互斥．(

)(3)事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B).(

)(4)必然事件與任何一個事件相互獨立．(

)(5)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．(

)××√√√2．下列事件A，B是相互獨立事件的是(

)A．一枚硬幣拋擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．拋擲一顆骰子，A表示“出現點數為奇數”，B表示“出現點數為偶數”D．A表示“一個燈泡能用1000小時”，B表示“一個燈泡能用2000小時”√3．抽查10件產品，設“至少抽到2件次品”為事件A，則A的對立事件是(

)A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品解析：因為“至少抽到2件次品”就是說抽查10件產品中次品的數目至少有2個，所以A的對立事件是抽查10件產品中次品的數目最多有1個．故選D．√4．某產品分為優質品、合格品、次品三個等級，生產中出現合格品的概率為0.25，出現次品的概率為0.03，在該產品中任抽一件，則抽到優質品的概率為________．解析：由題意，在該產品中任抽一件，“抽到優質品”與“抽到合格品或次品”是對立事件，所以在該產品中任抽一件，則抽到優質品的概率為P＝1－0.25－0.03＝0.72.答案：0.72探究點1互斥事件與對立事件的判定某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是,再判別它們是不是對立事件．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．講練互動【解】

判別兩個事件是否互斥，就要考查它們是否能同時發生；判別兩個互斥事件是否對立，就要考查它們是否必有一個發生．(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發生，所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時它們都不發生，所以它們不是對立事件．(2)因為恰有2名男生時，“至少有1名男生”與“全是男生”同時發生，所以它們不是互斥事件．(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥；由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件．(4)由于選出的是1名男生1名女生時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事件．(1)包含關系、相等關系的判定①事件的包含關系與集合的包含關系相似；②兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．(2)判斷事件是否互斥的兩個步驟第一步，確定每個事件包含的結果；第二步，確定是否有一個結果發生會意味著兩個事件都發生，若是，則兩個事件不互斥，否則就是互斥的．(3)判斷事件是否對立的兩個步驟第一步，判斷是互斥事件；第二步，確定兩個事件必然有一個發生，否則只是互斥，但不對立．

判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取1張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．解：(1)是互斥事件，不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，所以二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發生，且其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，也不是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為10，所以二者不是互斥事件，當然也不可能是對立事件．探究點2互斥事件與對立事件的應用一名射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中：(1)射中10環或9環的概率；(2)至少射中7環的概率．【解】

設“射中10環”“射中9環”“射中8環”“射中7環”“射中7環以下”的事件分別為A，B，C，D，E，可知它們彼此之間互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10環或9環)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10環或9環的概率為0.52.(2)事件“至少射中7環”與事件E“射中7環以下”是對立事件，則P(至少射中7環)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7環的概率為0.87.[變問法]在本例條件下，求射中環數小于8環的概率．解：事件“射中環數小于8環”包含事件D“射中7環”與事件E“射中7環以下”兩個事件，則P(射中環數小于8環)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.互斥事件、對立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(2)對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．(3)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題．某醫院要派醫生下鄉義診，派出醫生的人數及其概率如下表所示：

(1)求派出醫生至多2人的概率；(2)求派出醫生至少2人的概率．人數01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04解：設“不派出醫生”為事件A，“派出1名醫生”為事件B，“派出2名醫生”為事件C，“派出3名醫生”為事件D，“派出4名醫生”為事件E，“派出5名及5名以上醫生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出醫生至多2人”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一：“派出醫生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出醫生至少2人”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.探究點3相互獨立事件的判斷一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的．令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩．判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法(1)根據問題的實質，直觀上看一事件的發生是否影響另一事件發生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件；(2)定義法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷.

分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結果相同”，則下列事件具有相互獨立性的有________．(填序號)①A，B；②A，C；③B，C.解析：根據事件相互獨立的定義判斷，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型計算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以驗證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根據事件相互獨立的定義，事件A與B相互獨立，事件B與C相互獨立，事件A與C相互獨立．答案：①②③探究點4相互獨立事件同時發生的概率王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設這三列火車之間是否正點到達互不影響．求：(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率．1．[變問法]在本例條件下，求恰有一列火車正點到達的概率．2．[變條件、變問法]若一列火車正點到達記10分，用ξ表示三列火車的總得分，求P(ξ≤20).解：事件“ξ≤20”表示“至多兩列火車正點到達”，其對立事件為“三列火車都正點到達”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.1．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(

)A．0.42

B．0.28C．0.3

D．0.7解析：因為摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事