第25頁(yè)（共25頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷常考題之探究函數(shù)性質(zhì)一．選擇題（共7小題）1．（2025?邵陽(yáng)模擬）已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，則a+2A．e B．2 C．1 D．e22．（2025?遼寧模擬）已知a=e110-1，b=ln19A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．（2025春?遼寧期中）若函數(shù)f(x)=3x+1x-3(x＞0)的圖象與函數(shù)g（x）＝txeA．1e B．e2 C．1e或2e D．4．（2025春?越秀區(qū)期中）f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），xf′（x）＞2f（x），則下列不等式成立的是（）A．20242f（2025）＞20252f（2024） B．20242f（2025）＜20252f（2024） C．2024f（2025）＞2025f（2024） D．2024f（2025）＜2025f（2024）5．（2025春?張掖期中）曲線y=x-1xA．2 B．1 C．12 D．6．（2025春?東麗區(qū)校級(jí)期中）a=ln2，b=eA．b＜c＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a7．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知偶函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f（﹣3）=13，且當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+2f（x）＞0，則不等式f（2x﹣1）A．(-1，12C．(-1，12)∪(12，二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f'(A．f（2）＞f（1） B．f（3）＞f（2） C．f（1）+f（3）＜2f（2） D．f（1）+f（3）＞2f（2）（多選）9．（2025春?寶安區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝xex﹣a，則（）A．f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增 B．f（x）有最大值-1C．當(dāng)a＝0時(shí)，y＝f（x）的圖象過(guò)（1，0）的切線有且僅有2條 D．關(guān)于x的方程f（x）＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是(（多選）10．（2025春?無(wú)錫校級(jí)期中）已知直線y＝kx與曲線y＝lnx相交于不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），曲線y＝lnx在點(diǎn)M處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P（x0，y0），則（）A．0＜B．x1xC．y1+y2﹣y0為定值 D．x三．填空題（共3小題）11．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則f'(x)f(x)12．（2025春?鹽城校級(jí)期中）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f（x）﹣2＜f′（x）且f（1）＝3，則不等式f（x）﹣2＞ex﹣1的解集為．13．（2025春?重慶期中）已知函數(shù)y＝x+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線與拋物線y＝ax2+（a+2）x+1相切，則a＝．四．解答題（共2小題）14．（2025春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f(（1）a＝0時(shí)，證明：f(（2）若函數(shù)f（x）的圖象始終在直線y＝1上方，求a的取值范圍．15．（2025春?遼寧期中）已知函數(shù)f(（1）若a＝4，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷常考題之探究函數(shù)性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案ADDAABD二．多選題（共3小題）題號(hào)8910答案ACACACD一．選擇題（共7小題）1．（2025?邵陽(yáng)模擬）已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，則a+2A．e B．2 C．1 D．e2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立的問(wèn)題；運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先將不等式變形可得（x﹣a）（ex﹣b）≥0，然后通過(guò)分析可得ea＝b，代入a+2【解答】解：由題意a，b∈R，若關(guān)于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，可將不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0變形，可得（x﹣a）（ex﹣b）≥0，要使不等式（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，需滿足：當(dāng)x＞a時(shí)，x﹣a＞0，因此需ex﹣b≥0，當(dāng)x＜a時(shí)，x﹣a＜0，因此需ex﹣b≤0，若同時(shí)滿足上述兩個(gè)要求，則ea＝b，下面驗(yàn)證ea＝b時(shí)，（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，當(dāng)x＞a時(shí)，ex＞ea，所以ex﹣b＞0，所以（x﹣a）（ex﹣b）＞0，當(dāng)x＜a時(shí)，ex＜ea，所以ex﹣b＜0，所以（x﹣a）（ex﹣b）＞0，當(dāng)x＝a時(shí)，（x﹣a）（ex﹣b）＝0，所以ea＝b時(shí)，不等式（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，所以a+2b=a+2令h′（a）＝0，得a＝﹣1，當(dāng)a＜﹣1時(shí)，h′（a）＞0，h（a）單調(diào)遞增，當(dāng)a＞﹣1時(shí)，h′（a）＜0，h（a）單調(diào)遞減，所以當(dāng)a＝﹣1時(shí)，h（a）取得最大值，最大值為h(所以a+2b的最大值為故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．2．（2025?遼寧模擬）已知a=e110-1，b=ln19A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】構(gòu)造f（x）＝ex﹣x﹣1，先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性，得出f（x）單調(diào)性，再令x=110，比較a，c．再構(gòu)造g(x)=ln(x+1)-2xx+2【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，則f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＜0，則x＜0，令f′（x）＞0，則x＞0，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，故f（x）≥f（0）＝0，即ex≥x+1，即e﹣x≥﹣x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立，令g（x）=ln則g′（x）=1所以g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即ln(所以ln1917=ln(當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由e﹣x＞1﹣x＞0，得ex＜1則e110-1＜故b＞c＞a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．3．（2025春?遼寧期中）若函數(shù)f(x)=3x+1x-3(x＞0)的圖象與函數(shù)g（x）＝txeA．1e B．e2 C．1e或2e D．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】先由題意可得直線l的斜率k＝2，再根據(jù)l與f（x）相切求切線l的方程，再設(shè)切線l與g（x）＝txex切于點(diǎn)P（x0，y0），接著根據(jù)切點(diǎn)的特點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，最后再解方程組即可得解．【解答】解：由題意可得直線l的斜率k＝2，令f'(x)=3-∴x＝1，又f（1）＝1，∴切線l的方程為y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，設(shè)切線l與g（x）＝txex切于點(diǎn)P（x0，y0），又g′（x）＝tex（x+1），∴y0∴tx∴x0∴2x∴x0＝1或x0=-12，又∴t=1e或t＝4故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求切線，方程思想，屬中檔題．4．（2025春?越秀區(qū)期中）f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），xf′（x）＞2f（x），則下列不等式成立的是（）A．20242f（2025）＞20252f（2024） B．20242f（2025）＜20252f（2024） C．2024f（2025）＞2025f（2024） D．2024f（2025）＜2025f（2024）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(【解答】解：f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），xf′（x）＞2f（x），令g(則g'∵xf′（x）＞2f（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（2024）＜g（2025），即f(2024)∴20242f（2025）＞20252f（2024）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2025春?張掖期中）曲線y=x-1xA．2 B．1 C．12 D．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用商的導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線斜率即可．【解答】解：因?yàn)閥=x-所以當(dāng)x＝0時(shí)，切線斜率為k=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．6．（2025春?東麗區(qū)校級(jí)期中）a=ln2，b=eA．b＜c＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】B【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而判斷大小．【解答】解：設(shè)f(x)=lnx令f'（x）＝0，即1-lnxx2=0，因?yàn)閤2＞0恒成立，所以1﹣lnx＝0，解得當(dāng)0＜x＜e時(shí)，1﹣lnx＞0，即f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，1﹣lnx＜0，即f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．對(duì)于a=ln22和由f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，可得f（2）＜f（e），即ln22＜lne對(duì)于c=ln55和由f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，可得f（5）＜f（e），即ln55＜lne再比較a=ln22與c=ln55，可將因?yàn)閥＝lnx函數(shù)單調(diào)遞增，ln32＞ln25，所以ln3210＞ln25綜上，c＜a＜b．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)大小比較，屬于中檔題．7．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知偶函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f（﹣3）=13，且當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+2f（x）＞0，則不等式f（2x﹣1）A．(-1，12C．(-1，12)∪(12，【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】本題可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2f（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)求解不等式．【解答】解：設(shè)g（x）＝x2f（x），因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，即f（﹣x）＝f（x），則g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x），所以g（x）也是偶函數(shù)．又g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．已知f(-3)=13，則g(-3)=(-3)又不等式f(2x-1)＞3(2x-1)2可化為（2x﹣1）2f（2x﹣1）＞3，即g又因?yàn)間（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以只需|2x﹣1|＞3．解得x＞2或x＜﹣1．同時(shí)要注意2x﹣1≠0，即x≠綜上，不等式f(2x-1)＞3(2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f'(A．f（2）＞f（1） B．f（3）＞f（2） C．f（1）+f（3）＜2f（2） D．f（1）+f（3）＞2f（2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)f'(【解答】解：由f'(x)2-x所以當(dāng)x＜2時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，對(duì)于A，B，所以f（2）＞f（1），f（2）＞f（3），故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，所以2f（2）＞f（1）+f（3），即f（1）+f（3）＜2f（2），故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，并利用單調(diào)性解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．（多選）9．（2025春?寶安區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝xex﹣a，則（）A．f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增 B．f（x）有最大值-1C．當(dāng)a＝0時(shí)，y＝f（x）的圖象過(guò)（1，0）的切線有且僅有2條 D．關(guān)于x的方程f（x）＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是(【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，tet），利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，再將點(diǎn)（1，0）的坐標(biāo)代入切線方程，判斷關(guān)于t的方程解的個(gè)數(shù)，可判斷C選項(xiàng)；令g（x）＝xex，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：函數(shù)f（x）＝xex﹣a，對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)x∈[0，2]，f′（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）有最小值f(-1)=對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝xex，設(shè)切點(diǎn)為（t，tet），f′（x）＝（x+1）ex，則切線斜率為（t+1）et，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（t，tet）的切線方程為y﹣tet＝（t+1）et（x﹣t），將點(diǎn)（1，0）的坐標(biāo)代入切線方程為﹣tet＝（1﹣t）（t+1）et，整理可得t2﹣t﹣1＝0，Δ＝1+4＝5＞0，即方程t2﹣t﹣1＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝f（x）的圖象過(guò)（1，0）的切線有且僅有2條，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，方程f（x）＝0，即xex﹣a＝0?xex＝a，令g（x）＝xex，而g′（x）＝ex+xex＝ex（x+1），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，g′（x）＞0．所以在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上g（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣1，+∞）上g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)g（x）＜0，且g（0）＝0，要使方程f（x）＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，a的范圍是(-1e故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，方程根的存在條件的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?無(wú)錫校級(jí)期中）已知直線y＝kx與曲線y＝lnx相交于不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），曲線y＝lnx在點(diǎn)M處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P（x0，y0），則（）A．0＜B．x1xC．y1+y2﹣y0為定值 D．x【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx(x＞0)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B，寫(xiě)出M，N點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡(jiǎn)得x0=x1x2lnx2-lnx【解答】解：對(duì)于A，令f（x）=lnxx，則x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f(x)≤f(e)=1e，且因?yàn)橹本€y＝kx與曲線相交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，所以f(x)=lnxx(x＞0)與y＝對(duì)于B，y'=1x，不妨設(shè)1＜x1＜e＜x2，可得kx1＝lnx1，kx2y＝lnx在點(diǎn)M，N處的切線程分別為y-y0-ln即x0因?yàn)閗=lnx2-lnx1x2-x1對(duì)于C，因?yàn)閗=lnx1x1=lnx2x因?yàn)镻（x0，y0）為兩切線的交點(diǎn)，所以y0即y=x=x所以y=x所以y1+y2﹣y0＝1，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閗x1＝y(tǒng)1，kx2＝y(tǒng)2，所以x2又因?yàn)閗x1＝y(tǒng)1，kx2＝y(tǒng)2，所以lnk+lnx1＝lnk+y1＝lny1，lnk+lnx2＝lnk+y2＝lny2，得lny1﹣y1＝lny2﹣y2，即y2因?yàn)閥2-y1所以x2x1=y其中不等式①a-blna-lnb＞ab(由a-blnalnab＜ab構(gòu)造函數(shù)g(x)=2所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）≤g（1）＝﹣1+1＝0，所以不等式2lnx＜x故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性在不等式恒成立證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則f'(x)f(x)＞0的解集為（1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1，4）∪（6，+∞）．【分析】根據(jù)圖像判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得f'(【解答】解：根據(jù)已知圖象可知，當(dāng)x＞4時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜0；當(dāng)x＜4時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，同時(shí)當(dāng)1＜x＜6時(shí)，函數(shù)f（x）＞0；當(dāng)x＜1或x＞6時(shí)，函數(shù)f（x）＜0，因此f'(x)f(x)＞0故答案為：（1，4）∪（6，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2025春?鹽城校級(jí)期中）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f（x）﹣2＜f′（x）且f（1）＝3，則不等式f（x）﹣2＞ex﹣1的解集為（1，+∞）．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1，+∞）．【分析】構(gòu)造函數(shù)g(【解答】解：定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f（x）﹣2＜f′（x），令g(x)=f所以函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，因?yàn)閒（1）＝3，所以g（1）＝1，則不等式f（x）﹣2＞ex﹣1等價(jià)于f(即g（x）＞g（1），所以x＞1，所以不等式f（x）﹣2＞ex﹣1的解集為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．13．（2025春?重慶期中）已知函數(shù)y＝x+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線與拋物線y＝ax2+（a+2）x+1相切，則a＝8．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】8．【分析】先求出函數(shù)y＝x+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，再與拋物線聯(lián)立，可得Δ＝0，進(jìn)而得解．【解答】解：對(duì)函數(shù)y＝x+lnx求導(dǎo)可得，y'則函數(shù)y＝x+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為2，則切線方程為y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，又直線2x﹣y﹣1＝0與拋物線y＝ax2+（a+2）x+1相切，則聯(lián)立y=2x-1y=ax2+(a顯然a≠0，則Δ＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2025春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f(（1）a＝0時(shí)，證明：f(（2）若函數(shù)f（x）的圖象始終在直線y＝1上方，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）(1【分析】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，可得f(x)=-ex-x+12，把不等式轉(zhuǎn)化為證明ex≥ex，令g（x）＝ex﹣ex，求得g′（x）＝ex﹣e，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，以及g（x）min＝（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為ae2x+(2a-1)ex-x-12＞0，令h(x)=ae2x+(2a-1)ex-x-12，求得h′（x）＝（ex+1）（2aex﹣1），當(dāng)a≤0時(shí)，得到h（x）單調(diào)遞減，結(jié)合h（0）＜0，不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，求得h（x）的單調(diào)性，且h(x)min【解答】（1）證明：當(dāng)a＝0時(shí)，f(要證f(x)≤-(e令g（x）＝ex﹣ex，g′（x）＝ex﹣e，當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝0，所以g（x）≥0，即ex≥ex，所以f(（2）解：要使得函數(shù)f（x）的圖象始終在直線y＝1上方，即f（x）＞1在x∈R上恒成立，即ae2x+(2a-令h(可得h′（x）＝2ae2x+（2a﹣1）ex﹣1＝（ex+1）（2aex﹣1），當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＝（ex+1）（2aex﹣1）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，又由h(0)=3a-32＜0，所以h（x）＞0當(dāng)a＞0時(shí)，h′（x）＝0，即2aex﹣1＝0，解得x=當(dāng)x＜ln12a時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞ln所以h（x）在(-∞，ln1所以h(要使得h（x）＞0在x∈R上恒成立，只需-1令t=12a＞0，即-12即12×t+lnt-12令φ(t)=所以φ（t）在（0，+∞）單調(diào)遞增，因?yàn)棣眨?）＝0，所以0＜t＜1，即0＜12所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．15．（2025春?遼寧期中）已知函數(shù)f(（1）若a＝4，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）y＝﹣4．（2）a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）和(2a，a＝2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在(0，2a)和（1，【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)a分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝2x2﹣6x+2lnx．f'k=f'(1)=4-6+21=0，f所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y＝﹣4．（2）f′（x）＝ax﹣（2+a）+2x=ax2-(2+①當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f′（x）＞0的解集為（0，1），不等式f'（x）＜0的解集為（1，+∞）；②當(dāng)a＝0時(shí)，不等式f'（x）＞0的解集為（0，1），不等式f'（x）＜0的解集為（1，+∞）；③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，不等式f'（x）＞0的解集為(0，1)∪(2a，+∞)，不等式④當(dāng)a＝2時(shí)，不等式f'（x）≥0的解集為（0，+∞）；⑤當(dāng)a＞2時(shí)，不等式f'（x）＞0的解集為(0，2a)∪(1，+∞)，不等式f'（綜上：a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）和(2a，a＝2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在(0，2a)和（1，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．運(yùn)用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．2．對(duì)數(shù)值大小的比較【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較．2、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進(jìn)行比較3、若兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．（畫(huà)圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n4．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說(shuō)明：（1）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1x在（0，（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的