專題03等式性質與不等式性質（十一大題型+模擬精練）目錄：01由已知條件判斷所給不等式是否正確02由不等式的性質比較數（式）的大小03作差法比較代數式的大小04作商法比較代數式的大小05由不等式的性質證明不等式06利用不等式求取值范圍07不等式與三角函數、平面向量08不等式與函數09高考新考法—不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用10不等式與數列10不等式與數列11不等式與導數01由已知條件判斷所給不等式是否正確1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·北京西城·期末）設，且，則（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．02由不等式的性質比較數（式）的大小4．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．6．（2024·北京西城·一模）設，其中，則（

）A． B．C． D．03作差法比較代數式的大小7．（2024高三·全國·專題練習）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關系為．8．（23-24高三上·河南·開學考試）已知：，則大小關系是．9．（22-23高三·全國·對口高考）若，其中，則.04作商法比較代數式的大小10．（2022高三·全國·專題練習）若a＝，b＝，則ab(填“＞”或“＜”)．11．（22-23高二上·廣東江門·階段練習）已知，則大小關系是．12．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則．05由不等式的性質證明不等式13．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（2024·四川成都·模擬預測）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．（22-23高三上·上海浦東新·開學考試）已知為6個不同的正實數，滿足：①，②，③，則下列選項中恒成立的是（

）A． B．C． D．06利用不等式求取值范圍16．（2024·全國·模擬預測）已知實數滿足，則的取值范圍是．17．（2024·浙江·模擬預測）已知正數滿足，則的取值范圍為．18．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是.07不等式與三角函數、平面向量19．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（

）A． B．C． D．20．（2024高三·全國·專題練習）已知四邊形，，，，與交于點，若記，，，則（

）A． B． C． D．08不等式與函數21．（2024高三·全國·專題練習）已知函數①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關系正確的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c22．（2024·全國·模擬預測）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．23．（2024·陜西西安·模擬預測）若，則有（

）A． B．C． D．09高考新考法—不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用24．（2024高三上·全國·競賽）某考試評定考生成績時，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學才能賦分97分及以上．若這些學生的原始分的最大值為a，最小值為b，令為滿足的一次函數．對于原始分為的學生，將的值四舍五入得到該學生的賦分．已知小趙原始分96，賦分100；小葉原始分81，賦分97；小林原始分89，他的賦分是（

）A．97 B．98 C．99 D．98或9925．（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（

）A．在水面下 B．在水面上C．恰好開始入水 D．恰好開始出水26．（2024·全國·一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發的新材料水滴角測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點處的切線方程為.A． B．C． D．和的大小關系無法確定10不等式與數列27．（2022·全國·模擬預測）已知是數列的前項和，是數列的前項積，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．11不等式與導數28．（2024·四川攀枝花·三模）已知正數滿足，則（

）A． B． C． D．29．（2024·遼寧·一模）設則（

）A． B．C． D．30．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關系為（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預測）是的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江臺州·二模）已知x，y為正實數，則可成為“”的充要條件的是（

）A． B．C． D．5．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預測）設，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預測）已知的解集為，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．8．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為．則下列結論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰斗演習勝利D．若，則紅方獲得戰斗演習勝利二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．10．（2024·湖北·模擬預測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為1211．（2024·河南·模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數），為反應速率常數（與反應速率成正比），為熱力學溫度（），在同一個化學反應過程中為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則三、填空題12．（2023·內蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關系是.13．（2021·全國·模擬預測）已知不為的正實數滿足則下列不等式中一定成立的是.（將所有正確答案的序號都填在橫線上）①；②；③；④；⑤．14．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數．設，，則的最大值為．專題03等式性質與不等式性質（十一大題型+模擬精練）目錄：01由已知條件判斷所給不等式是否正確02由不等式的性質比較數（式）的大小03作差法比較代數式的大小04作商法比較代數式的大小05由不等式的性質證明不等式06利用不等式求取值范圍07不等式與三角函數、平面向量08不等式與函數09高考新考法—不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用10不等式與數列10不等式與數列11不等式與導數01由已知條件判斷所給不等式是否正確1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.【解析】，即，故選項A正確；當時，滿足，但，此時，，故選項B，C錯誤；當時，由可得，故選項D錯誤.故選:A．2．（23-24高三上·北京西城·期末）設，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值以及函數的圖象、單調性等知識確定正確答案.【解析】A選項，若，滿足，但，所以A選項錯誤.B選項，若，滿足，但，所以B選項錯誤.C選項，若，滿足，但，所以C選項錯誤.D選項，對于函數，圖象如下圖所示，由圖可知函數在上單調遞增，所以D選項正確.故選：D3．（2024高三·全國·專題練習）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對A、D，可借助特殊值法舉出反例即可得；對B、C，借助不等式的基本性質即可得.【解析】對A，令，，有，故A錯誤；對B，由，故，故B錯誤；對C，，即只需，，由，故，故C正確；對D，令，有，故D錯誤.故選：C.02由不等式的性質比較數（式）的大小4．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.【解析】對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯誤；對于C，，則，C正確.故選：C5．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】舉反例即可求解ABC，根據不等式的性質即可求解D.【解析】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，取,則，無法得到，C錯誤，由于，則，所以，故選：D6．（2024·北京西城·一模）設，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助正負性、對勾函數的性質及二次函數的性質判斷即可得.【解析】由，故，故，由對勾函數性質可得，，且，綜上所述，有.故選：C.03作差法比較代數式的大小7．（2024高三·全國·專題練習）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關系為．【答案】a＜b【解析】解析：因為b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.【考查意圖】作差比較法比較大小．8．（23-24高三上·河南·開學考試）已知：，則大小關系是．【答案】【分析】根據給定條件，利用作差法結合不等式性判斷作答.【解析】由，得，因此，顯然，則，所以大小關系是.故答案為：9．（22-23高三·全國·對口高考）若，其中，則.【答案】【分析】由確定，討論、，應用作差法比較大小，即可得答案.【解析】由且，則，當時，，此時，，所以，即，滿足題設；當時，，此時，，所以，即，不滿足題設；綜上，.故答案為：04作商法比較代數式的大小10．（2022高三·全國·專題練習）若a＝，b＝，則ab(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【分析】作商法比較大小，結合對數的運算律和性質，即得解【解析】易知a，b都是正數，＝＝log89＞1，所以b＞a.故答案為：＜11．（22-23高二上·廣東江門·階段練習）已知，則大小關系是．【答案】【分析】設，得，，，然后作商法比較和大小解決即可.【解析】因為，設，所以，，，因為，所以，，，因為，所以．因為，所以．故答案為：．12．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則．【答案】（答案不唯一）【分析】根據冪函數的性質可寫出一個符合①②的冪函數，利用作差法說明其也滿足③，即可得答案.【解析】由題意可知的定義域為，且在上為增函數；下面證明該函數滿足③：取任意的，，，則，當且僅當時取等號，即，即滿足③，故答案為：05由不等式的性質證明不等式13．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據不等式的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【解析】由不等式，可得，可得，即充分性成立；反之：由，可得，又因為，所以，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.14．（2024·四川成都·模擬預測）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據絕對值三角不等式和充分條件必要條件的定義即可判斷.【解析】若，，即，，即，則充分性成立；若且，當時，，當時，，則必要性成立；綜上所述：“”是“，且”的充分必要條件.故選：C.15．（22-23高三上·上海浦東新·開學考試）已知為6個不同的正實數，滿足：①，②，③，則下列選項中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質，得到與，由此排除A、B選項，再得到與，由此得到，即D選項正確，C選項錯誤.【解析】不妨設，則由得，故，，則，即，即，故，所以，即（1），又因為，所以（2），由（1）（2）可知或皆有可能，故A、B錯誤；由得，所以，所以，不妨設，則，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，同理當時，，所以，故D正確，C錯誤；故選：D.06利用不等式求取值范圍16．（2024·全國·模擬預測）已知實數滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據不等式的性質即可求解.【解析】由可得，所以，故答案為：17．（2024·浙江·模擬預測）已知正數滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據不等式的性質即可求解.【解析】正數、、滿足，，，所以同理：有得到，所以兩式相加：即又,即即．故答案為：18．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】先得到，并根據得到，從而求出.【解析】因為，故，由得，解得，故.故答案為：07不等式與三角函數、平面向量19．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對A、B：舉出反例即可得；對C、D：借助三角函數的商數關系及其值域計算即可得.【解析】由題意可得、，，對A：當時，，則，，此時，故A錯誤；對B：當時，，故B錯誤；對C、D：，由，故，則，即，故C正確，D錯誤.故選：C.20．（2024高三·全國·專題練習）已知四邊形，，，，與交于點，若記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量形式的余弦定理計算可得，再利用作差法即可比較的大小關系.【解析】在中，根據余弦定理有；在中，根據余弦定理有；兩式作差得即，所以.又，所以，則，由圖易知，所以，所以.故選：C．

08不等式與函數21．（2024高三·全國·專題練習）已知函數①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關系正確的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯誤．故選A.22．（2024·全國·模擬預測）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，分類討論和可判斷A，B；取特值可判斷C；根據的單調性可判斷D.【解析】因為，所以，當時，解得；當時，解得，所以，即，A，B錯誤.當時，，C錯誤.因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，D正確.故選：D.23．（2024·陜西西安·模擬預測）若，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意首先得，進一步，從而我們只需要比較的大小關系即可求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.【解析】，所以，，又因為，所以，即.故選：B.09高考新考法—不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用24．（2024高三上·全國·競賽）某考試評定考生成績時，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學才能賦分97分及以上．若這些學生的原始分的最大值為a，最小值為b，令為滿足的一次函數．對于原始分為的學生，將的值四舍五入得到該學生的賦分．已知小趙原始分96，賦分100；小葉原始分81，賦分97；小林原始分89，他的賦分是（

）A．97 B．98 C．99 D．98或99【答案】D【分析】根據題意設，得到，從而得到，代入不等式即可求解.【解析】設(,為常數)，由題可得，，即，由于，令，即，解得：，所以，則，即，所以小林原始分89，他的賦分是98或99.故選：D25．（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（

）A．在水面下 B．在水面上C．恰好開始入水 D．恰好開始出水【答案】B【分析】根據題意列出計算式，再用兩角和差公式計算即可.【解析】由題意，，可得，或（舍去）．所以，所以再經過分鐘，可得，所以盛水筒在水面上．在判斷時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：，,故盛水筒在水面上．故選：B．26．（2024·全國·一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發的新材料水滴角測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點處的切線方程為.A． B．C． D．和的大小關系無法確定【答案】A【分析】運用圓和橢圓的切線方程分別求得、，結合可判斷兩者大小.【解析】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，則，解得，所以，若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設橢圓方程為，如圖所示，則切點坐標為，則橢圓上一點的切線方程為，所以橢圓的切線方程的斜率為，將切點坐標代入切線方程可得，解得，所以，又因為，所以，即，所以.故選：A.10不等式與數列27．（2022·全國·模擬預測）已知是數列的前項和，是數列的前項積，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用求出，進而求出，再結合不等式的性質及累乘法的思想推理判斷得解.【解析】當時，，當時，，則，顯然符合上式，因此，由，得，則，而，即有，于是，從而，所以，即.故選：B【點睛】易錯點睛：由數列前項和求通項，需按和分段求解，并且還要驗證的結果是否滿足時的表達式.11不等式與導數28．（2024·四川攀枝花·三模）已知正數滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：由得，構造函數，求導利用導數判斷函數的單調性求最值，進而比較、；由兩邊同除以得，構造函數，求導利用導數判斷函數的單調性求最值，進而比較、，由此可比較，，的大小.法二：化為，作差法并構造函數，求導利用導數求出函數最值，比較、大小，再利用作差法比較、大小，即可比較，，的大小.【解析】法一：由得，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，所以；由兩邊同除以得，令，則，所以在上恒成立，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，從而．法二：由得，即，所以，令，，當時，，在單調遞增，所以，所以，則有；由得，即，所以，因為，，，所以，即故．故選：A【點睛】方法點睛：比較大小時，可根據數值構造函數，利用函數的單調性，最值比較大小.29．（2024·遼寧·一模）設則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數證明不等式，可得；根據不等式的性質可證得，則，即可求解.【解析】對于函數，，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，即.所以，.由，得，所以，則，所以，即.所以.故選：B【點睛】方法點睛：對于比較實數大小方法：（1）利用基本函數的單調性，根據函數的單調性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，（3）構造函數利用函數導數及函數單調性進行判斷.30．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據的特點，構造函數，判斷其單調性，得到，故有，再運用作差法比較即得.【解析】設，則，當時，，在上遞增；當時，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.一、單選題1．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據指數函數和余弦函數的性質即可判斷AC；舉出反例即可判斷B；由作差法即可判斷D.【解析】對于AC，當時，，所以，故A正確，C錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于D，，因為，所以，故D錯誤.故選：A.2．（2024·全國·模擬預測）是的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的性質，分別判斷充分性和必要性.【解析】由不等式的性質可知，時一定有成立，而成立時，若就不能推出.所以是的充分不必要條件.故選：B.3．（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數、對數函數性質得，由不等式的性質可判定AC，由特殊值法可判定BD.【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；令，此時與無意義，所以錯誤；因為，所以由不等式的性質可得，所以正確；令，則，所以錯誤.故選：.4．（2024·浙江臺州·二模）已知x，y為正實數，則可成為“”的充要條件的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作差法可判斷A；構造函數、，利用導數研究其單調性，并結合充分、必要性的定義可判斷BD；特值法可判斷C.【解析】對于A，已知x，y為正實數，若，，則，故A錯誤；對于B，由可得：，令，，令，解得：，則在上單調遞減，若，則，故B錯誤；對于C，已知x，y為正實數，若，取，則，故C錯誤；對于D，由，則，令，則，即在定義域上遞增，故，反之也有成立，滿足要求，故D正確.故選：D.5．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質即可得解.【解析】因為，所以，，所以.故選：D.6．（2024·全國·模擬預測）設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數，利用導數判斷單調性，可得，進而得，再結合對數的性質，利用作差比較法可得，從而可得正確答案.【解析】構造函數，則，所以在內單調遞增，又，于是在內，即恒成立.由，得，所以，故；又，易知，函數在內單調遞增，又，所以，于是，即，故．綜上所述，．故選:D.7．（2024·全國·模擬預測）已知的解集為，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造相應函數并借助導數解出不等式及，可得，，，再逐項判斷即可得.【解析】由可得，設函數，則，當時，，單調遞增，當時，單調遞減，則函數的極小值，又，，所以由零點存在定理可得，存在使得，則的解集為且，令，易知為偶函數，且當時，，單調遞增，又，，故若，則，由為偶函數可知當時，若，則，故的解集為，故原不等式的解集為且，則，，，選項A：因為，，，所以，A正確；選項B：因為，，所以，B正確；選項C：，C正確；選項D：，，所以，D錯誤.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于構造相應函數并借助導數解出不等式及，從而解出，，.8．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為．則下列結論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰斗演習勝利D．若，則紅方獲得戰斗演習勝利【答案】C【分析】對于A根據已知條件利用作差法比較大小即可得出，對于B，利用A中結論可得藍方兵力先為0，即解得；對于C和D，若要紅方獲得戰斗演習勝利，分別解出紅、藍兩方兵力為0時所用時間、，比較大小即可.【解析】對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當時根據A中的結論可知，所以藍方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數可得，即，所以戰斗持續時長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可，設紅方兵力為時所用時間為，藍方兵力為時所用時間為，即，可得同理可得，即，解得，又因為都為正實數，所以可得，紅方獲得戰斗演習勝利；所以可得C錯誤，D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題給的信息比較多，關鍵是理解題意，然后利用相應的知識（作差法、指數函數的性質）進行判斷.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】根據不等式的性質可得A、B的正誤；根據基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.【分析】由，得，所以，A正確．因為，所以，所以0，所以，B正確．因為，所以，當且僅當時取等號，所以，C正確．因為，所以，D錯誤．故選：ABC．10．（2024·湖北·模擬預測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為12【答案】BD【分析】對于選項A:由已知得，，整理即可判斷