相似三角形折疊問題（分層練習）（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·福建福州·九年級校考期末）將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點落在邊上，記為點，折痕為．已知，，若，那么的長度是（

）A． B．4 C． D．22．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形紙片中，，，點E，F(xiàn)分別在，上，把紙片按如圖所示的方式沿折疊，點A，B的對應點分別為，，連接并延長交邊于點G，當G為線段中點時，線段的長為（

）A． B．11 C．12 D．3．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，點為的中點，將沿折疊，使點落在矩形內(nèi)點處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．4．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖矩形紙片ABCD中，，，若將矩形紙片折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，則折痕EF的長為（

）A． B．5cm C．4.8cm D．5．（2021秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，等邊中，點，分別在，上，沿把折疊，使點的對稱點落在邊上，若：：，則：（

）A．： B．： C．： D．：6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，將沿直線折疊，使點與點重合，折痕為，若，，那么線段的長為（

）A． B． C． D．7．（2022·河北邯鄲·校考三模）如圖，在矩形中，，．將矩形沿對角線折疊，點B的對稱點為，連接，則的長是（

）A．1.5 B． C．1.4 D．18．（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，將點折疊到邊上點處，折痕為，連接，，若點是中點，則長為（

）

A． B． C． D．9．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點，點落在軸的點位置，點的坐標是（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，在邊長為1的正方形中，點E為的中點．連接，把沿直線折疊，使點A落在點F處，交對角線于點G，則的長是（）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）、11．（2023春·湖北·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，將沿直線折疊，得到，當點F落到矩形的對角線上時，線段的長為．

12．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）如圖，折疊邊長為的正方形紙片，折痕是，點落在處，分別延長、交于點、，若是邊的中點，則，

13．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，將等邊折疊，折痕為，使點落在邊上得到點．若，則．14．（2023·山東濟南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，矩形紙片，，點，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點，的對應點分別為，，連接并延長交線段于點，則的值為．15．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在矩形中，，將其沿對角線折疊，頂點C的對應點為E（如圖1），交于點F；再折疊，使點D落在F處，折痕交于點M，交于點N（如圖2．則折痕的長為．16．（2023春·湖北·九年級專題練習）如圖，將矩形紙片折疊，折痕為，點M，N分別在邊，上，點C，D的對應點分別為點E，F(xiàn)，且點F在矩形內(nèi)部，的延長線交邊于點G，交邊于點H．，，當點H為三等分點時，的長為．

17．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形的邊、分別在、軸上，將矩形沿對角線折疊，點落在了點處，與軸的交點為．已知點，則點的坐標是．

18．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在矩形中，，，為上一點，連接交對角線于點，將沿折疊，點的對應點恰好落在上，連接，則的長為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，矩形中，P為上一點，且，連接，把矩形沿著折疊，點B落到，延長交延長線于Q，已知．（1）若，求；（2）若，求．20．（8分）（2023秋·廣東惠州·八年級校考階段練習）已知：如圖所示的一張矩形紙片，將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）在線段AC上是否存在一點P，使得?若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．21．（10分）（2021春·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，是上的一個動點．（1）如圖1，連接，是對角線的中點，連接．當時，求的長；（2）如圖2，連接，過點作交于點，連接，與交于點．當平分時，求的長；（3）如圖3，連接，點在上，將矩形沿直線折疊，折疊后點落在上的點處，過點作于點，與交于點，且．①求的值；②連接，與是否相似？請說明理由．參考答案1．B【分析】設，根據(jù)折疊的性質(zhì)用x表示出和，最后根據(jù)兩三角形相似對應邊成比例即可求解．解：設，則由折疊的性質(zhì)可知：，，當時，有，即：，解得：；故選：B．【點撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握“相似三角形對應邊成比例”是解題的關鍵．2．A【分析】過點作于點，設與交于點，利用兩角對應相等求證，即可得出，然后利用勾股定理求出，即可解決問題．解：過點作于點，設與交于點，如圖：，由折疊與對應，得，，∵，，∴，即又∵，∴，∴，在中，，而點G為線段中點，∴，∴，∴．故選A．【點撥】本題主要考查了翻折變換，矩形性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，通過翻折變換推出，進而利用利用角進行轉(zhuǎn)化，得出是解題的關鍵．3．D【分析】如圖所示，過作于，根據(jù)折疊可知是等腰三角形，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：如圖所示，過作于，∵將沿折疊，使點落在矩形內(nèi)點處，點為的中點，∴，∴是等腰三角形，∴是中點，平分，且平分，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，根據(jù)題意，矩形中，，，點為的中點，即，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，故選：D．【點撥】本題中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的綜合，理解矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．4．D【分析】過點E作EG⊥BC于G，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得出∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，根據(jù)勾股定理AC=，可證四邊形EGCD為矩形，然后再證△EFG∽△ACD，得出，即即可．解：過點E作EG⊥BC于G，∴∠EGF=∠EDC=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠DCB=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，AC=，∴∠EDC=∠D=∠DCB=90°，∴四邊形EGCD為矩形，∴EF=CD=6cm，∠AEG=∠DEG=90°，∵折痕為EF，∴EF⊥AC，∴∠DAC+∠AEG=∠AEG+∠FEG=90°，∴∠DAC=∠FEG，∴△EFG∽△ACD，∴，即，解得cm．故選D．【點撥】本題考查矩形判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握矩形判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關鍵．5．D【分析】設，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：，，再通過證明∽即可證明：的值．解：連接，，：：，設，則，是等邊三角形，，，由折疊的性質(zhì)可知：是線段的垂直平分線，，，，，，，，，∽，：：，即：：，故選：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟知等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形的相似是解題的關鍵．6．B【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)折疊前后的兩個三角形全等得到CD的長以及∠CDE=90°，然后證明△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出DE的長．解：連接AE，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：，∵將Rt△ABC沿直線DE折疊使點A與點C重合，折痕為DE，∴△CDE≌△ADE，∴CD=AD=AC=，∠CDE=90°，∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，∴∠CDE=∠B，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∴DE=．故選：B．【點撥】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，能夠識別常見的三角形相似的模型是解題的關鍵．7．C【分析】設與交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．求得．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到．設，則．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：設與交于，，．由翻折的性質(zhì)可知：．．．由翻折的性質(zhì)可知：，．，．在和中，，．，在矩形中，，，，．設，則．在中，依據(jù)勾股定理得：，解得：．．，，，，，，即，解得：．故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．8．A【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到，，的長；再根據(jù)，利用對應邊成比例即可得的長．解：矩形中，，

，又是的中點，，中，，由題可得，，，，，，即，解得，故選：A．【點撥】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，翻折變換折疊問題實質(zhì)上就是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．9．D【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設與交于點F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構建方程求出即可解決問題．解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設與交于點F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點的坐標是，故選：D．

【點撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關鍵．10．B【分析】根據(jù)題意，延長交于H連，通過證明、得到，再由得到，進而即可求得的長．解：延長交于H，連接，

∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點，正方形邊長為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故選：B．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關幾何知識是解決本題的關鍵．11．【分析】根據(jù)余角性質(zhì)得出，證明，得出，求出．解：在矩形中，，，根據(jù)折疊可知，點與點F關于對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握相關知識點，證明，是解題的關鍵．12．【分析】連接，可證得，則，設，則，利用勾股定理求得，再由，即可求得答案．解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，點是邊的中點，，由折疊得：，，，，，，在和中，，，，設，則，，，在中，，，解得：，，，，，，，，，即，．故答案為：，．【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．此題有一定難度，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．13．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，設，則，然后求出的周長，再證明，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比進行求解即可．解：∵是等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，設，則，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的周長之比對應相似比是解題的關鍵．14．【分析】利用矩形判定及性質(zhì)證得，根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)證明相似三角形判定推出，，即可求得結(jié)果．解：過作于，設交于，如圖：四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，把紙片如圖沿折疊，點，的對應點分別為，，是的垂直平分線，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．15．【分析】首先折疊性質(zhì)求出DF長度，再由和分別求出MG、NG的長，相加即可．解：如圖MN與AD交于點G由折疊性質(zhì)可知，F(xiàn)G=DG，∵四邊形ABCD是矩形∴，∴，∵，∴∴∴BF=DF在中，由勾股定理可得∴則解得AF=3則BF=8-AF=8-3=5∴DF=5∴DG=∵，∴∴即解得MG=∵∴，∴∴即∴GN=則MN=MG+NG=故答案為：．【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、相似的判定和性質(zhì)、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．16．4或【分析】根據(jù)點為三等分點，分兩種情況分別計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，得到，證明，求出的長，過點作于點，則，設，根據(jù)勾股定理列方程求出即可．解：當時，，∵將矩形紙片折疊，折痕為，∴，，，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，過點作于點，則，

設，則，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；當時，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；故答案為：4或．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，考查了分類討論的思想，根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關鍵．17．（）【分析】過點作軸，交點為，由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，由勾股定理可求，的長，由平行線分線段成比例，的長，即可求解．解：如圖，過點作軸，交點為，

點，，，將矩形沿對角線折疊，，，，，，，，，，點在第三象限，點（）故答案為：（）．【點撥】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形變化，平行線，解決本題的關鍵是掌握對稱的性質(zhì)．18．/【分析】根據(jù)折疊可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理可求出的長，根據(jù)等面積法可求出的長，可證，可得，可求出的長，如圖所示，過點作于點，則，可證，由此可求出的長，在中根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖所示，過點作于點，則，由折疊得，，，四邊形是矩形，，，，，，∵，，解得，在中，∵，，，∴，∴，∴，即，則，∵，，，，，，且，∴，，，，，解得，，，，，故答案為：．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得以及，可證得，即可求解；（2）先證明，可得，同（1）可得，從而得到，即可求解．（1）解：∵把矩形沿著折疊，點B落到，延長交延長線于Q，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴的長為；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得或8，∵，∴，∴，同（1）可得，∴，即，解得．【點撥】本題考查矩形中的翻折變換，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能用相似三角形對應邊成比例列方程解決問題．20．（1）見分析；（2）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點，點就是符合條件的點，見分析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠∠，∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．則∠AEP=90°，證出△AOE∽△AEP，得出對應邊成比例，則AE2=AO?AP，再由AO＝AC，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：在矩形ABCD中,AD∥BC∴∠∠，∠＝∠由折疊可知：OA=OC∴△≌△∴AE=CF，又AE∥CF∴四邊形是平行四邊形又由折疊可知:AF=CF，∴四邊形是菱形.（2）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點，點就是符合條件的點.理由如下：由作法得：∠AEP=90°，由（1）得：AC⊥EF，