階段測試數列、導數及其應用(第4～5章)(滿分150分，時間120分鐘)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數f(x)＝xsinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值為()A．－1 B．0C．1 D．eq\f(π,2)2．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4＋a8＝16，則S11等于()A．64 B．78C．88 D．1083．曲線y＝lnx在點(e，f(e))處的切線方程為()A．x－ey＝0 B．x－y－e＝0C．ex－y－e＝0 D．y－1＝04．已知等比數列{an}的各項均為正數，其前n項和為Sn，若a3＝4，a2a6＝64，則S5等于()A．31 B．32C．63 D．645．已知函數y＝f(x)在定義域eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))內可導，其圖象如圖所示．設y＝f(x)的導函數為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為()(第5題)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪[2,3] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(8,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪[1,2) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3))6．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列，如數列1,3,6,10，前后兩項之差得到新數列2,3,4，新數列2,3,4為等差數列，這樣的數列稱為二階等差數列．對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”．現有高階等差數列，其前7項分別為3,4,6,9,13,18,24，則該數列的第19項為()A．160 B．174C．184 D．1888．已知函數f(x)(x∈R)滿足f(1)＝1，且f(x)的導函數f′(x)＜eq\f(1,2)，則f(x)＜eq\f(x,2)＋eq\f(1,2)的解集為()A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1}C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|x＞1}二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝0，a4＝8，則()A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8 D．an＝2n10．在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．”下列說法中正確的有()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的eq\f(1,4)D．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍11．下列曲線中與直線l：2x－y＋3＝0相切的是()A．曲線C1：y2＝24x B．曲線C2：y＝ln(2x)＋4C．曲線C3：x2－eq\f(y2,4)＝1 D．曲線C4：y＝2x3－5x2＋6x＋212．設函數f(x)＝lnx，且x0，x1，x2∈(0，＋∞)，下列說法中正確的有()A．若x1＜x2，則eq\f(1,x2)＞eq\f(fx1－fx2,x1－x2)B．存在x0∈(x1，x2)，x1＜x2，使得eq\f(1,x0)＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)C．若x1＞1，x2＞1，則eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜1D．對任意的x1，x2，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞eq\f(fx1＋fx2,2)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．其中第13題第一個空2分、第二個空3分．13．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若a3＝9，a6＝243，則a9＝________，S12＝________.14．已知函數f(x)＝ex－2x＋a有零點，則實數a的取值范圍是________.15．我國古代的天文學和數學著作《周碑算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣晷(guǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續十二個節氣，其日影子長依次成等差數列．經記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節氣日影子長之和為16.5尺，這十二節氣的所有日影子長之和為84尺，則立冬的日影子長為________尺．16．已知函數f(x)的定義域為A，若其值域也為A，則稱區間A為f(x)的保值區間．若函數g(x)＝x＋m－lnx的保值區間是[e，＋∞)，則實數m的值為________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知函數f(x)＝x3＋2mx2＋nx＋m在x＝－1處取得極值－1.(1)求m，n的值；(2)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．18．(12分)在等比數列{an}中，a1＝1,2a2是a3和4a1的等差中項．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若數列{bn}滿足bn＝2n＋aeq\o\al(2,n)，求{bn}的前n項和Sn.19．(12分)已知函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋3.(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求函數f(x)在區間[－3,5]上的最大值與最小值．20．(12分)給出如下條件：①a3＋a8＝－2；②S7＝－28；③a2，a4，a5成等比數列．請在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．設數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求Sn的最小值并指明相應的n的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．21．(12分)設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1.(1)求證：{Sn＋1}為等比數列．并求出{an}的通項公式．(2)若bn＝eq\f(n,an)，求{bn}的前n項和Tn.是否存在正整數n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若