高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河東區2024-2025學年高一上學期期中質量檢測數學試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確結論的代號填在下表內.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合，，則，故選：B.2.若，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：.3.下列關系中，正確的有（）．①；②；③；④．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】對于①：因為為實數集，所以，正確；對于②④：因為為有理數集，所以，，②正確，④錯誤；對于③：因為為自然數集，，正確；所以正確的有3個.故選：C.4.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以選項A不正確；由，所以選項B不正確；由，所以選項C正確；當時，顯然不成立，所以選項D不正確，故選：C5.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為的定義域為，又，所以是偶函數，因為，排除BC選項.當時，，所以，令，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以存在，，使得，，所以當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故A符合.故選：A.6.已知函數的定義域為.則“”是“為奇函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】因函數的定義域是，若為奇函數，則，令，可得，故“”“為奇函數”，但，函數不一定是奇函數，比如，故“”“為奇函數”，因此“”是“為奇函數”的必要不充分條件.故選：B.7.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.{或} C. D.或x>1【答案】A【解析】因為不等式的解集為，的兩根為，2，且，即，，解得，，則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．故選：A.8.已知是定義在R上的奇函數，對，都有.若，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，是定義在R上的奇函數，所以，因為，都有，所以是R上的減函數，因為，所以，解得，故的取值范圍是，故選：A二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分.請將答案填在題中橫線上.9.函數的定義域為________．【答案】【解析】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為，故答案為：.10.已知正實數滿足，則最小值為______．【答案】9【解析】正數，滿足：，，當且僅當，即，時“”成立，故答案為：.11.已知冪函數，則________.【答案】【解析】由為冪函數，則，解得，則，故答案為：.12.已知函數，則________.【答案】【解析】由，則，故答案為：.13.調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為___________.【答案】；【解析】若某家庭某月產生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；設每個家庭每月產生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時，恒成立；若時，，可得.故的最大值為.故答案為：；.14.關于的不等式在上恒成立,則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】若,得,符合題意；若,由題知,解得；綜上實數的取值范圍是故答案為：三、解答題：本大題共5小題，滿分44分.解答應寫出文字說明，演算步驟或推理過程.15.（1）計算；（2）已知，求的最大值.解：（1）.（2）由，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，的最大值為.16.設全集，集合，集合，其中．（1）當時，求，；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由，即，解得或，所以，則，由，即，解得，所以，當時，，所以，.（2）因為且，所以或，解得或，即的取值范圍為.17.已知都是正實數，（1）試比較與的大小，并證明；（2）當時，求證：．（1）結論：，當且僅當時，等號成立.證明：，因為都是正數，所以，當且僅當時，等號成立，即，當且僅當時，等號成立；（2）解：因為都是正數，且，所以，當且僅當時，等號成立．18.已知函數是定義在上的函數．（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）判斷函數的單調性，并用定義法證明；（1）函數為奇函數證明如下：函數的定義域為，.所以函數為奇函數.（2）在上為單調遞增函數證明如下：設－1＜x1＜x2＜1，則.因為，所以，則.故在上為單調遞增函數.19.已知函數，．（1）當時求的解集；（2）當時．若存在使得對任意的，都存在使得成立，求實數的取值范圍．解：（1），解集為（2）令，，則，，，記，記值域為集合．則由題意得，，對稱軸，開口向上當即時在單增，∴當即時在單減，單增，∴當即時在單減單增，當即時在單減，∴綜上：天津市河東區2024-2025學年高一上學期期中質量檢測數學試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確結論的代號填在下表內.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合，，則，故選：B.2.若，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：.3.下列關系中，正確的有（）．①；②；③；④．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】對于①：因為為實數集，所以，正確；對于②④：因為為有理數集，所以，，②正確，④錯誤；對于③：因為為自然數集，，正確；所以正確的有3個.故選：C.4.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以選項A不正確；由，所以選項B不正確；由，所以選項C正確；當時，顯然不成立，所以選項D不正確，故選：C5.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為的定義域為，又，所以是偶函數，因為，排除BC選項.當時，，所以，令，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以存在，，使得，，所以當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故A符合.故選：A.6.已知函數的定義域為.則“”是“為奇函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】因函數的定義域是，若為奇函數，則，令，可得，故“”“為奇函數”，但，函數不一定是奇函數，比如，故“”“為奇函數”，因此“”是“為奇函數”的必要不充分條件.故選：B.7.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.{或} C. D.或x>1【答案】A【解析】因為不等式的解集為，的兩根為，2，且，即，，解得，，則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．故選：A.8.已知是定義在R上的奇函數，對，都有.若，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，是定義在R上的奇函數，所以，因為，都有，所以是R上的減函數，因為，所以，解得，故的取值范圍是，故選：A二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分.請將答案填在題中橫線上.9.函數的定義域為________．【答案】【解析】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為，故答案為：.10.已知正實數滿足，則最小值為______．【答案】9【解析】正數，滿足：，，當且僅當，即，時“”成立，故答案為：.11.已知冪函數，則________.【答案】【解析】由為冪函數，則，解得，則，故答案為：.12.已知函數，則________.【答案】【解析】由，則，故答案為：.13.調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為___________.【答案】；【解析】若某家庭某月產生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；設每個家庭每月產生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時，恒成立；若時，，可得.故的最大值為.故答案為：；.14.關于的不等式在上恒成立,則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】若,得,符合題意；若,由題知,解得；綜上實數的取值范圍是故答案為：三、解答題：本大題共5小題，滿分44分.解答應寫出文字說明，演算步驟或推理過程.15.（1）計算；（2）已知，求的最大值.解：（1）.（2）由，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，的最大值為.16.設全集，集合，集合，其中．（1）當時，求，；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由，即，解得或，所以，則，由，即，解得，所以，當時，，所以，.（2）因為且，所以或，解得或，即的取值范圍為.17.已知都是正實數，（1）試比較與的大小，并證明；（2）當時，求證：．（1）結論：，當且僅當時，等號成立.證明：，因為都是正數，所以，當且僅當時，等號成立，即，當且僅當時，等號成立；（2）解：因為都是正數，且，所以，當且僅當時，等號成立．18.已知函數是定義在上的函數．（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2