高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市2024-2025學年高一上學期期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.又，所以.故選：D.2.已知數據87，89，90，90，91，92，93，94，則（）A.極差為6 B.中位數為90C.第70%分位數為92 D.平均數為90.25【答案】C【解析】由題意可知：數據的極差為：，故A錯誤；數據的中位數為：，故B錯誤；因為，故數據的第70%分位數為第6個數，故C正確；因為數據的平均數為：，故D錯誤.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】上單調遞減，則；單調遞增，所以；又單調遞減，所以，所以.故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，.所以原式.故選：D.5.現有甲，乙兩支籃球隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為，且各場比賽互不影響．若比賽采用“三局兩勝”制，則甲隊獲得勝利的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若比賽兩場甲獲勝，則概率為；若比賽三場甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：A.6.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每過濾一次可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的2%以下，則至少需要過濾（）A.4次 B.5次 C.6次 D.7次【答案】C【解析】每過濾一次可使水中雜質減少50%，設要使水中雜質減少到原來的2%以下至少需要過濾次，則.又，所以.故選：C.7.設，，q：函數在上單調遞減，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為：，.所以成立的充分必要條件是：或，解得.又成立的充分必要條件為：a2-5a+6>0a≤5所以成立是成立的必要不充分條件.故選：B.8.定義在上的奇函數和偶函數滿足，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，因為函數，分別為上的奇函數和偶函數，所以.所以，由（當且僅當時取“”）.所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.口袋中裝有編號為①，②，③的3個紅球和編號為①，②，③，④，⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同．現從中取出1個小球，記事件A為“取出的小球的編號為③”，事件B為“取出的小球是黑球”，則（）A.A與B互斥 B.C.A與B獨立 D.【答案】BD【解析】對于A，當取到的小球為黑球，且編號為③，事件和事件同時發生，所以，故與不互斥，故A錯誤；對于B，表示、同時發生的概率，即取到的小球為黑球且編號為③，所以，故B正確；對于C，表示取出的小球的編號為③的概率，則，表示取出的小球是黑球的概率，則，因為，所以事件A與B不獨立，故C錯誤；對于D，表示取到的小球標號為③或黑球，所以，故D正確.故選：BD．10.已知，，，則（）A.的最大值為0 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最大值為【答案】ABD【解析】因為，，，所以由基本不等式得，當且僅當時取等，下面，我們開始分析各個選項，對于A，由對數的運算性質得，則的最大值為0，故A正確，對于B，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時，則的最小值為4，故B正確，對于C，因為，所以，則，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時解得，得到，則的最小值不為9，故C錯誤，對于D，我們對進行平方，得到，由重要不等式得，當且僅當時取等，此時解得，則，故，得到，而，，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數且，則（）A.在上單調遞增函數B.的值域為C.當時，的圖象關于直線對稱D.關于的方程有實數根【答案】BCD【解析】對于A，當時，當時，，由指數函數性質得單調遞減，則在上不可能是單調遞增函數，故A錯誤，對于B，對于，我們對的范圍分類討論，當時，當時，則，由指數函數性質得單調遞減，故，設，則，由對數函數性質得單調遞減，故，則的值域為，同理可得，當時，的值域為，綜上，的值域為，故B正確，對于C，當時，當時，則，設在上，則，得到，即，化簡得，此時點在上，而和關于對稱，則的圖象關于直線對稱，故C正確，對于D，因為的值域為，所以的值域也是，則和一定有交點，即關于的方程有實數根，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校體育部有5名學生干部，其中高一2名，高二3名．從這5名學生中隨機選2名組織校體育活動，則這2名學生來自不同年級的概率為______．【答案】【解析】2名高一學生干部記為：a，b；3名高二學生干部記為：，，，則樣本空間，共含有10個樣本點，設事件表示“這2名學生來自不同年級”，則包含，即，所以這2名學生來自不同年級的概率為.13.已知，且，則__________．【答案】【解析】因為，所以，令，則，化簡得，即，解得或(舍去)，故，解得，符合題意.14.已知為上的奇函數，當時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由為奇函數，得，當時，，故，故當時，，所以；又當時，的開口向上，對稱軸為，所以函數在上單調遞增，根據奇函數的性質可知函數在上單調遞增，故，所以或，解得或，故不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由或，所以；當時，由，所以.所以.（2）由，所以.若，則方程無解，所以；若，則；若，則.綜上可得：.16.已知函數．（1）若，求的取值范圍；（2）若關于的方程有兩個不相等的實數根，設為，．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）對于，令，則可化為，若，則，即，解得，得到，解得，則的取值范圍為.（2）（i）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則方程有兩個不相等的正實數根，得到與有兩個不相同的橫坐標大于的交點，由二次函數性質得上單調遞減，在上單調遞增，而，最小值為，故.（ii）因為方程有兩個不相等的正實數根，所以有兩個不相等的正實數根，而我們把方程的兩個根設為，，則設的兩個根為，由韋達定理得，即，結合，得到，即，解得，原命題得證.17.已知冪函數的圖象關于軸對稱，函數．（1）判斷在上的單調性并證明；（2）設函數，．若，，求的取值范圍．解：（1）由，所以或，由冪函數的圖象關于軸對稱，所以.故.所以.函數在上單調遞增，下面用單調性定義證明：設，則.因為，所以，，，所以，所以，即.所以函數在上單調遞增.（2）因為函數在上單調遞增，且，所以，.對，.當即時，在上單調遞增，所以，由.當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.由，無解.當即時，在上單調遞減，所以，由，這與矛盾，無解.綜上可知：.故的取值范圍是：.18.研究小組經過研究發現某種病毒的感染者與未感染者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到感染者和未感染者該指標的頻率分布直方圖如下：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將感染者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未感染者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．（1）求頻率分布直方圖中的值及未感染者該指標的中位數；（2）當漏診率時，求臨界值和誤診率；（3）設函數，當時，求的解析式，并求在上的最小值．解：（1）在感染者該指標的頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，所以，解得，在未感染者該指標的頻率分布直方圖中，前兩個小矩形的面積之和為，前三個小矩形的面積之和為，所以未感染者該指標的中位數在第三組，且為.（2）依題可知，第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得，．（3）當時，；當時，，故，所以在區間的最小值為．19.已知函數．（1）求的單調區間；（2）設函數．（i）證明：有兩個零點，，并求；（ii）若關于的方程的解集中只含有一個元素，求的取值范圍．解：（1）由對數函數性質得的定義域為，因為，所以，則，令，即可化為，由二次函數性質得在上單調遞增，在上單調遞減，由對數函數性質得在上單調遞增，令，解得，則在上單調遞增，令，解得，則在上單調遞減，綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）（i）因為，所以，則令，由對勾函數性質得在上單調遞減，在上單調遞增，結合函數的性質得在上單調遞增，在上單調遞減，而，，則，由零點存在性定理得存在作為零點，而，則，由零點存在性定理得存在作為零點，故一定存在兩個零點，，得到，而，得到，故，結合，得到，而，則，結合，故和都在同一單調區間內，即，解得.（ii）若，則，由已知得，故，則使即可，而，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時，則而，故在同一單調區間內，得到，即，由題意得，我們開始討論取值范圍，當時，方程變為，解得，此時的解集中只含有一個元素，符合題意，當時，得到，即，若解集中只含有一個元素，則和在上只有一個交點，而，，令，則，代入原函數中，原函數可化為，得到，化簡得，當時，此時符合題意，當時，，由對勾函數性質得在上單調遞減，在上單調遞增，結合函數的性質得在上單調遞減，在上單調遞增，則在上單調遞減，在上單調遞增，而，且當時，，當時，，且當時，，即當時，滿足題意，則，綜上，.山東省威海市2024-2025學年高一上學期期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.又，所以.故選：D.2.已知數據87，89，90，90，91，92，93，94，則（）A.極差為6 B.中位數為90C.第70%分位數為92 D.平均數為90.25【答案】C【解析】由題意可知：數據的極差為：，故A錯誤；數據的中位數為：，故B錯誤；因為，故數據的第70%分位數為第6個數，故C正確；因為數據的平均數為：，故D錯誤.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】上單調遞減，則；單調遞增，所以；又單調遞減，所以，所以.故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，.所以原式.故選：D.5.現有甲，乙兩支籃球隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為，且各場比賽互不影響．若比賽采用“三局兩勝”制，則甲隊獲得勝利的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若比賽兩場甲獲勝，則概率為；若比賽三場甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：A.6.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每過濾一次可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的2%以下，則至少需要過濾（）A.4次 B.5次 C.6次 D.7次【答案】C【解析】每過濾一次可使水中雜質減少50%，設要使水中雜質減少到原來的2%以下至少需要過濾次，則.又，所以.故選：C.7.設，，q：函數在上單調遞減，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為：，.所以成立的充分必要條件是：或，解得.又成立的充分必要條件為：a2-5a+6>0a≤5所以成立是成立的必要不充分條件.故選：B.8.定義在上的奇函數和偶函數滿足，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，因為函數，分別為上的奇函數和偶函數，所以.所以，由（當且僅當時取“”）.所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.口袋中裝有編號為①，②，③的3個紅球和編號為①，②，③，④，⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同．現從中取出1個小球，記事件A為“取出的小球的編號為③”，事件B為“取出的小球是黑球”，則（）A.A與B互斥 B.C.A與B獨立 D.【答案】BD【解析】對于A，當取到的小球為黑球，且編號為③，事件和事件同時發生，所以，故與不互斥，故A錯誤；對于B，表示、同時發生的概率，即取到的小球為黑球且編號為③，所以，故B正確；對于C，表示取出的小球的編號為③的概率，則，表示取出的小球是黑球的概率，則，因為，所以事件A與B不獨立，故C錯誤；對于D，表示取到的小球標號為③或黑球，所以，故D正確.故選：BD．10.已知，，，則（）A.的最大值為0 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最大值為【答案】ABD【解析】因為，，，所以由基本不等式得，當且僅當時取等，下面，我們開始分析各個選項，對于A，由對數的運算性質得，則的最大值為0，故A正確，對于B，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時，則的最小值為4，故B正確，對于C，因為，所以，則，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時解得，得到，則的最小值不為9，故C錯誤，對于D，我們對進行平方，得到，由重要不等式得，當且僅當時取等，此時解得，則，故，得到，而，，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數且，則（）A.在上單調遞增函數B.的值域為C.當時，的圖象關于直線對稱D.關于的方程有實數根【答案】BCD【解析】對于A，當時，當時，，由指數函數性質得單調遞減，則在上不可能是單調遞增函數，故A錯誤，對于B，對于，我們對的范圍分類討論，當時，當時，則，由指數函數性質得單調遞減，故，設，則，由對數函數性質得單調遞減，故，則的值域為，同理可得，當時，的值域為，綜上，的值域為，故B正確，對于C，當時，當時，則，設在上，則，得到，即，化簡得，此時點在上，而和關于對稱，則的圖象關于直線對稱，故C正確，對于D，因為的值域為，所以的值域也是，則和一定有交點，即關于的方程有實數根，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校體育部有5名學生干部，其中高一2名，高二3名．從這5名學生中隨機選2名組織校體育活動，則這2名學生來自不同年級的概率為______．【答案】【解析】2名高一學生干部記為：a，b；3名高二學生干部記為：，，，則樣本空間，共含有10個樣本點，設事件表示“這2名學生來自不同年級”，則包含，即，所以這2名學生來自不同年級的概率為.13.已知，且，則__________．【答案】【解析】因為，所以，令，則，化簡得，即，解得或(舍去)，故，解得，符合題意.14.已知為上的奇函數，當時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由為奇函數，得，當時，，故，故當時，，所以；又當時，的開口向上，對稱軸為，所以函數在上單調遞增，根據奇函數的性質可知函數在上單調遞增，故，所以或，解得或，故不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由或，所以；當時，由，所以.所以.（2）由，所以.若，則方程無解，所以；若，則；若，則.綜上可得：.16.已知函數．（1）若，求的取值范圍；（2）若關于的方程有兩個不相等的實數根，設為，．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）對于，令，則可化為，若，則，即，解得，得到，解得，則的取值范圍為.（2）（i）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則方程有兩個不相等的正實數根，得到與有兩個不相同的橫坐標大于的交點，由二次函數性質得上單調遞減，在上單調遞增，而，最小值為，故.（ii）因為方程有兩個不相等的正實數根，所以有兩個不相等的正實數根，而我們把方程的兩個根設為，，則設的兩個根為，由韋達定理得，即，結合，得到，即，解得，原命題得證.17.已知冪函數的圖象關于軸對稱，函數．（1）判斷在上的單調性并證明；（2）設函數，．若，，求的取值范圍．解：（1）由，所以或，由冪函數的圖象關于軸對稱，所以.故.所以.函數在上單調遞增，下面用單調性定義證明：設，則.因為，所以，，，所以，所以，即.所以函數在上單調遞增.（2）因為函數在上單調遞增，且，所以，.對，.當即時，在上單調遞增，所以，由.當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.由，無解.當即時，在上單調遞減，所以，由，這與矛盾，無解.綜上可知：.故的取值范圍是：.18.研究小組經過研究發現某種病毒的感染者與未感染者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到感染者和未感染者該指標的頻率分布直方圖如下：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將感染者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未感染者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．（1）求頻率分布直方圖中的值及未感染者該指標的中位數；（2）當漏診