高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濱州市2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為終邊過點，故，所以.故選：B.3.若，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即.故選：A.4.若一個扇形的弧長為4，面積為2，則這個扇形中心角的弧度數是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】令扇形中心角為，半徑為，則，可得.故選：D.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得設，函數的定義域為，，所以函數為奇函數.對A、B：由圖象可知函數為偶函數，因為函數為奇函數，故A、B錯誤；對C、D：由圖象可知函數為奇函數，令，得，故D錯誤，故C正確.故選：C.6.式子（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】.故選：C.7.若，，且，則的最小值為（）A. B.25 C.5 D.1【答案】B【解析】因為，，且，即，且，當且僅當時等號成立，可得，解得或（舍去），所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，由，則，所以，又，而，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.命題“，都有”的否定為“，使得”B.函數的定義域是C.函數（，且）的圖象經過定點D.已知函數是定義在上的偶函數，當時，則當時【答案】ABD【解析】A：由全稱命題的否定為特稱命題，則“，都有”的否定為“，使得”，對；B：由解析式有或，故函數定義域為，對；C：由，故函數的圖象必過定點，錯；D：若，則，故，又，所以，對.故選：ABD.10.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.若，則．C.將的圖象向右平移個單位長度，然后把曲線上的各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象D.的圖象關于直線對稱【答案】BC【解析】由圖知，，則，且，則，，所以，，又，則，A錯，所以，則，故不是對稱軸，D錯，由及正弦函數的性質，知必有，B對，將的圖象向右平移個單位長度，則，再把曲線上的各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），，C對.故選：BC.11.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：對于實數，符號表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如，，．定義函數，則下列說法正確的是（）A.的定義域為 B.在區間上單調遞減C.當時，的最小值為1 D.當時，的最大值為1【答案】ACD【解析】由解析式易知，函數定義域為，A對；當，則，故在區間上單調遞增，B錯；當時，，此時函數最小值為1，當時，，則，當且僅當時取等號，C對；當時，，當時，，則，當且僅當時取等號，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若冪函數在上單調遞減，則實數________．【答案】【解析】由題意.13.已知是鈍角，，則________．【答案】【解析】由是鈍角，，則，所以.14.已知函數，若函數恰有2個零點，則實數的取值范圍是________．【答案】或【解析】函數恰有2個零點，即與恰有兩個交點，由函數解析式，可得其大致圖象如下，如上圖，當或時，與恰有兩個交點.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）求；（2）設集合，若，求實數的取值范圍．解：（1）因為，所以，因為，所以.（2）由，當時，，解得，此時，當時，要使，則，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.16.設函數，．，用表示，中的最大者，記為．已知關于的不等式的解集為．（1）求實數，的值，并寫出的解析式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為的解集為，所以是方程的兩個根，由根與系數的關系得，解得，所以，由，得，即，解得或，由，得，即，解得，所以.（2）當時，，當時，，當時，，綜上所述，的最小值為0，所以，即，所以，解得，或，所以的取值范圍是.17.某廠生產某種產品的年固定成本為300萬元，每年生產萬件，需增加投入成本為萬元．當年產量不足9萬件時，；當年產量不小于9萬件時，．通過市場分析，每件產品售價定為500元，且該廠年內生產的產品能全部銷售出去，獲得的年利潤為萬元．（利潤＝銷售收入一總成本）（1）求年利潤的函數解析式；（2）求年產量為多少時，該廠的年利潤最大？解：（1）當時，，當時，，所以.（2）當時，，所以當時，取得最大值，最大值是900萬元，當時，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值，最大值是800萬元，因為，所以，年產量為6萬件時，該廠年利潤最大．18.已知函數．（1）求最小正周期；（2）求在區間上的最大值和最小值；（3）求在區間上的單調遞增區間．解：（1），所以，其最小正周期.（2）因為，所以，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.（3）令，則，因為，的單調遞增區間是和，由，得，由，得，所以，函數在上的單調遞增區間為和.19.懸鏈線是兩端固定的一條粗細與質量分布均勻，柔軟而不能伸長的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀．如障礙物上懸掛的鐵鏈和懸掛在空中的電線都是懸鏈線形狀．雙曲余弦函數的圖象的形狀就是一種特殊的懸鏈線．定義雙曲余弦函數為，雙曲正弦函數為．（1）求證：為定值．（2）設函數，（i）判斷的單調性，并用定義證明；（ii）若對于，恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）由題設，所以是定值1．（2），（i）函數在上單調遞增，證明如下：任取，且，則．因為，所以，即，又，所以，即，故函數在上單調遞增．（ii）函數的定義域為，因為，都有，且，所以函數為奇函數．因為，所以，因為為奇函數，所以．由（i）知，函數在上單調遞增，所以，因為，所以，所以，所以，設，，則，，所以，設，則在上單調遞增，，所以，所以實數的取值范圍是.山東省濱州市2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為終邊過點，故，所以.故選：B.3.若，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即.故選：A.4.若一個扇形的弧長為4，面積為2，則這個扇形中心角的弧度數是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】令扇形中心角為，半徑為，則，可得.故選：D.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得設，函數的定義域為，，所以函數為奇函數.對A、B：由圖象可知函數為偶函數，因為函數為奇函數，故A、B錯誤；對C、D：由圖象可知函數為奇函數，令，得，故D錯誤，故C正確.故選：C.6.式子（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】.故選：C.7.若，，且，則的最小值為（）A. B.25 C.5 D.1【答案】B【解析】因為，，且，即，且，當且僅當時等號成立，可得，解得或（舍去），所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，由，則，所以，又，而，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.命題“，都有”的否定為“，使得”B.函數的定義域是C.函數（，且）的圖象經過定點D.已知函數是定義在上的偶函數，當時，則當時【答案】ABD【解析】A：由全稱命題的否定為特稱命題，則“，都有”的否定為“，使得”，對；B：由解析式有或，故函數定義域為，對；C：由，故函數的圖象必過定點，錯；D：若，則，故，又，所以，對.故選：ABD.10.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.若，則．C.將的圖象向右平移個單位長度，然后把曲線上的各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象D.的圖象關于直線對稱【答案】BC【解析】由圖知，，則，且，則，，所以，，又，則，A錯，所以，則，故不是對稱軸，D錯，由及正弦函數的性質，知必有，B對，將的圖象向右平移個單位長度，則，再把曲線上的各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），，C對.故選：BC.11.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：對于實數，符號表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如，，．定義函數，則下列說法正確的是（）A.的定義域為 B.在區間上單調遞減C.當時，的最小值為1 D.當時，的最大值為1【答案】ACD【解析】由解析式易知，函數定義域為，A對；當，則，故在區間上單調遞增，B錯；當時，，此時函數最小值為1，當時，，則，當且僅當時取等號，C對；當時，，當時，，則，當且僅當時取等號，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若冪函數在上單調遞減，則實數________．【答案】【解析】由題意.13.已知是鈍角，，則________．【答案】【解析】由是鈍角，，則，所以.14.已知函數，若函數恰有2個零點，則實數的取值范圍是________．【答案】或【解析】函數恰有2個零點，即與恰有兩個交點，由函數解析式，可得其大致圖象如下，如上圖，當或時，與恰有兩個交點.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）求；（2）設集合，若，求實數的取值范圍．解：（1）因為，所以，因為，所以.（2）由，當時，，解得，此時，當時，要使，則，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.16.設函數，．，用表示，中的最大者，記為．已知關于的不等式的解集為．（1）求實數，的值，并寫出的解析式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為的解集為，所以是方程的兩個根，由根與系數的關系得，解得，所以，由，得，即，解得或，由，得，即，解得，所以.（2）當時，，當時，，當時，，綜上所述，的最小值為0，所以，即，所以，解得，或，所以的取值范圍是.17.某廠生產某種產品的年固定成本為300萬元，每年生產萬件，需增加投入成本為萬元．當年產量不足9萬件時，；當年產量不小于9萬件時，．通過市場分析，每件產品售價定為500元，且該廠年內生產的產品能全部銷售出去，獲得的年利潤為萬元．（利潤＝銷售收入一總成本）（1）求年利潤的函數解析式；（2）求年產量為多少時，該廠的年利潤最大？解：（1）當時，，當時，，所以.（2）當時，，所以當時，取得最大值，最大值是900萬元，當時，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值，最大值是800萬元，因為，所以，年產量為6萬件時，該廠年利潤最大．18.已知函數．（1）求最小正周期；（2）求在區間上的最大值和最小值；（3）求在區間上的單調遞增區間．解：（1），所以，其最小正周期.（2）因為，所以，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.（3）令，則，因為，的單調遞增區間是和，由，得，由，得，所以，函數在上的單調遞增區間為和.19.懸鏈線是兩端固定的一條粗細與質量分布均勻，柔軟而不能伸長的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀．如障礙物上懸掛的鐵鏈和懸掛在空中的電線都是懸鏈