試題試題2024北京二中高一（下）段考四數(shù)學(xué)選擇題1.已知向量，若，則(

)A. B. C.4 D.12.在中，，則是(

)A.等邊三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形3.為了得到函數(shù)y=sin2x+3cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=2sin2A.向右平移π6個(gè)單位 B.向左平移π6單位 C.向右平移π3單位 D.4.在?ABC中，三邊長(zhǎng)分為5，7，8，則最大角和最小角之和是(

)A.34π B.56π C.5.已知向量a=(2,1)，b=(1,?1)，向量a在b方向上的投影向量為()A.(2,?2) B.(22,?26.已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“a//b”是“存在λ≠0，使得|A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為正方形ABCD四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA?PB的取值范圍是(

)A.[?1,2]B.[0,2]C.[?1,4]D.[0,4]如圖，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于（

）A．B．C． D．9.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA?sinBsinC=c?ba+bA.[10,12] B.(10,12] C.[20,24] 10.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義α※β=α·ββ·β.若平面向量a，b滿足|a|?|b|>0，a與A.52 B.32C.1填空題11.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b

12.若向量a=(?2,2)與b=(1,k)的夾角為鈍角，則k的取值范圍為

．13.若△ABC中，，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．14.折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其展開(kāi)幾何圖是如圖2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OC=2，OA=4，點(diǎn)E在CD?上(包含端點(diǎn))，則EA?15.在三角形ABC中，點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，則下列給出的命題：若OA·OB=OB·OC若向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R)若OA?ACAC?ABAB=OB若(OA+OB)?AB=(OB其中正確的命題是：

.(填寫(xiě)正確結(jié)論的編號(hào))16.已知單位向量e1，e2與非零向量a滿足|3e1+e2|≤2三、解答題17.已知平面向量a=(1,(1)若a⊥b，求(2)若a?//b，求18.在△ABC中，b(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)若B=2A，b=6，求19.已知函數(shù)f(x)=2cos?x?cos?(x+φ)(|φ|<π2)，從條件①、條件②、條件③條件①：fπ條件②：函數(shù)fx在區(qū)間0,條件③：?x∈R,fx注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈?π2,0時(shí)，求函數(shù)f（3）將的圖像向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，再保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，得到的圖像，求函數(shù)的解析式，并確定當(dāng)x∈0，π220.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sin(x+2π3(2)記向量ON=(1,3)的伴隨函數(shù)為f(x)，求當(dāng)f(x)=65(3)當(dāng)向量OM=(22,22)21.已知數(shù)表A2n=a11①a②(?1)則稱這樣的數(shù)表A2n具有性質(zhì)P(Ⅰ)若數(shù)表A22具有性質(zhì)P，且a12=4，寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)表A(Ⅱ)對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)表A2n，當(dāng)a11+a12+?+a(Ⅲ)對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)表A2n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求a11+

參考答案一、選擇題1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量坐標(biāo)的定義，向量平行時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：；；故選2.【答案】A【解析】【分析】本題考查向量的加法，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：，，則，是等邊三角形.故選A.3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象變換，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．【解答】解：函數(shù)y=sin2x+所以將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π6單位，即可得到y(tǒng)=2sin[2(x+即得到函數(shù)y=sin2x+3cos2x4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：設(shè)a=5，b=7，c=8，則A<B<C．∴cosB=

a2+c因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3，所以A+C=2π3，即最大角和最小角之和是5.【答案】D【解析】【分析】本題考查平面向量投影向量的坐標(biāo)計(jì)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：向量a在b方向上的投影為a?與b方向相同的單位向量為bb所以向量a在b方向上的投影向量為226.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量的模長(zhǎng)，共線關(guān)系以及充分必要條件等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．【解答】解：已知a,若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ≠0，使得a=μb，故由于|λ+μ|=|λ|+|μ|，故只要保證二者同號(hào)，充分性必然成立，若λ≠0且|a+λb|=|a|+|λb|，則a與λb故“a//b”是“存在λ≠0，使得|a故選：C．7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和取值范圍的問(wèn)題，屬于中檔題．建立平面直角坐標(biāo)系，分點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)P在AD上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則A(0,2)，B(2,2)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，設(shè)P(x,0)(0≤x≤2)，則PA=(?x,2),所以PA?當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P(2,y)(0≤y≤2)，則PA=(?2,2?y),所以PA?當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)P(m,2)(0≤m≤2)，則PA=(?m,0),所以PA?當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，設(shè)P(0,n)(0≤n≤2)，則PA=(0,2?n),所以PA?PB=(n?2)2∈[0,4]；綜上：8.【答案】A9.【答案】D

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于較難題．首先利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出A的值，再由正弦定理可得b=4sinB，c=4sinC，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換把b2【解答】解：銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由正弦定理可得sinA?所以a?bc整理得a2所以cosA=b由于0<A<π2，所以A=π利用正弦定理：asinA解得：b=4sinB，c=4sinC，B+C=2π3,△ABCb2由于2B?π6所以20<b故選：D．10.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查向量的定義新運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)向量的基礎(chǔ)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，屬于較難題．利用新定義代入公式并結(jié)合數(shù)量積公式可得．【解答】解：首先觀察集合{n從而分析a※b和因?yàn)棣取?0,π4)而b※a=可得0<|又∵b∴|b|∴a所以1<a※b<2.且故有a※故選B．二、填空題11.【答案】2【解析】【分析】本題主要考查向量的數(shù)量積，向量的模，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意求得

a·b=1，利用【解答】解：∵

a與

b的夾角為

60°，

a=2，

∴

a→∴

|a故答案為

212.【答案】(?∞,?1)∪(?1,1)

【解析】【分析】本題考查平面向量的夾角公式，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：向量a=(?2,2)與b=(1,k)的夾角為鈍角，所以cos解得k<1且k≠?1，故答案為(?∞,?1)∪(?1,1)．13.【答案】或.【解析】由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，則或，所以或,因此周長(zhǎng)為或.14.【答案】?12【解析】【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，線性運(yùn)算，屬于綜合題．利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)值域等知識(shí)求得正確答案．【解答】解：設(shè)F

是

AB?

的中點(diǎn)，連接

OF,AF,BF

由于

∠AOB=120°

，所以三角形

AOF

和三角形

BOF

則四邊形

AOBF

是菱形，則

OA+OBEA====?4?由于

0°?∠EOF?60°

，所以所以

?4?所以

EA?EB

的取值范圍是

?1215.【答案】1，2，3【解析】【分析】【解答】由OA?OB=OB?同理可得，OA⊥BC,OC⊥AB，則點(diǎn)O是?ABC的垂心，正確；在△ABC中，分別以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則AB+AC=AD，從而AP=λAD，進(jìn)而P一定在△ABC的BC邊的中線上，由此得到點(diǎn)OA?(AC|AC|?AB|AB|)=OB?(BC|BC|?BA|BA|)=0時(shí)，向量ACAC,ABAB分別表示在邊AC(OA+OB)?AB=(OB+OC)?BC=0時(shí)，OA+OB是以O(shè)A，OB16.【答案】5【解析】【分析】本題考查向量加減法的幾何意義、向量的數(shù)量積、投影數(shù)量等知識(shí)，屬于較難題．求解本題的關(guān)鍵是理解a|a|?(3e【解答】解：令e1，e2的夾角為θ，a與e1，e2的夾角分別為對(duì)|3e得10+6cosθ≤8，得由a?(e1所以α≥β．如圖，令OA=e1，OB=e則a|a|?(3e即OE在OP方向上的投影數(shù)量，要使投影數(shù)量最大，需α=β，設(shè)∠AOB的角平分線為OQ，則a與OQ同向時(shí)，投影數(shù)量最大，所以[=5+5故答案為5三、解答題17.【答案】解：(1)由a⊥b得，即(x?3)(x+1)=0，解得x=3或x=?1；(2)由a?//b，則即2x2+4x=0，得x=0當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0),∴a此時(shí)|a當(dāng)x=?2時(shí)，a=(1,?2),則a?故|a?【解析】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線，垂直的充要條件．(1)利用兩個(gè)向量互相垂直，可以求出x的值；(2)由兩個(gè)向量的互相平行先求出x的值，再求模長(zhǎng)．18.【答案】解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2由余弦定理cosA=b∴cosA=(Ⅱ)由(Ⅰ)知，0<A<π∴sinA=∵B=2A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×又∵b=∴a=bsinA【解析】(I)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解．(II)由已知條件cosA=64本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)由題意得：

f(x)=2=2cos?φco當(dāng)選條件①：

f(π3)=又因?yàn)?/p>

φ<π2

，所以

?π2<φ<所以

cosφ+π3=1

時(shí)，即得：

φ+π3當(dāng)選條件②：f(x)=2從而得：當(dāng)

2kπ?π?2x+φ?2kπ,k∈Z

時(shí)，

fx

化簡(jiǎn)得：當(dāng)

kπ?π2?φ2?x?kπ?φ2,k∈Z

時(shí)，

fx

單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)

fx

在區(qū)間

∵k∈Z且φ<π2，∴φ∈?故：若選條件②，

當(dāng)選條件③：由

?x∈R,fx≥f2π3

，得當(dāng)

x=2π3

時(shí)，

cos又因?yàn)?/p>

φ<π2

，所以得

4π3+φ=π

(2)由(1)知：

φ=?π3

，則得：

fx=cos又因?yàn)?/p>

x∈?π2,0

，所以所以當(dāng)

x=0

時(shí)，

fx

有最大值

f0所以當(dāng)

x=?π3

時(shí)，

fx

有最小值

即fx在區(qū)間?π2,0上的最大值是

（3）

gx=cos4∴x∈[?π12又∵x∈[0,π2]，∴x∈[0,π6【解析】本題考查余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩角和的余弦公式，屬于綜合題．(1)根據(jù)題意先把函數(shù)

fx

進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)所選的條件，去利用三角函數(shù)輔助角公式，三角函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間而分別計(jì)算并判斷是否使函數(shù)

fx（2）根據(jù)(1)得到函數(shù)

fx

的解析式，然后求出在區(qū)間

?π2（3）根據(jù)

fx平移變換得到

gx

的解析式，然后求出單調(diào)區(qū)間，再確定在區(qū)間

0，π220.【答案】解：(1)g(x)=sin所以g(x)=12sinx+(2)向量ON=(1,3由于f(x)=sinx+由于x∈(?π3,π6故sinx=(3)f(x)的函數(shù)解析式f(x)=sin(x+區(qū)間[t,t+π4]的長(zhǎng)度為π4，函數(shù)若?(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間[t,t+π4]內(nèi)，不妨設(shè)對(duì)稱軸x=π8當(dāng)?(t+π4)=?(t)即?(π4)=?(0)=22時(shí)，函數(shù)?(x)若?(x)的對(duì)稱軸不在區(qū)間[t,t+π4]內(nèi)，則?(x)在區(qū)間=|故函數(shù)?(x)=sin(2x+π4【解析】本題考查平面向量的新定義問(wèn)題，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于綜合題．21.【答案】解：(Ⅰ)滿足條件的數(shù)表A22為1423，所以a11+a12的值為5，(Ⅱ)證明：若當(dāng)a11+a12+…+由數(shù)表A2n具有性質(zhì)P可得j不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為A2n①若存在a1k(k為偶數(shù)，1≤k≤n)，使得a1k>a11，交換所以存在正整數(shù)k(1≤i