浙江省湖州市縣域聯盟2024-2025學年高三下學期5月月考數學試題1．已知集合A=0,1,2,3，B=x|eA．0,1,2 B．1,2 C．0,1 D．12．在復平面內，若復數z滿足zi=2i+3，則z=A．?2?i B．?2+i C．2?3i D．2+3i3．若單位向量a，b滿足a?b=A．?1 B．?12 C．1 4．若直線x+y?1=0是圓x?a2+y?bA．18 B．14 C．15．已知某圓臺的側面展開圖是如圖所示的扇環AB?A1B1，且A1B1，ABA．723π B．733π6．已知數列an的前n項和是Sn，若Sn=?1n+1aA．?1 B．1 C．2 D．37．在銳角△ABC中，AB=AC，M是AB的中點，CM=54，過點C做AB的垂線，垂足是H，CH=1A．106 B．56 C．28．對于任意的x∈R，不等式ex+x?a?lnaxA．1e B．12 C．1 9．已知隨機事件A，B滿足PA=12，A．PB=13 B．PAB=10．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點F到準線的距離是4，經過F的直線l與C交于Ax1,y1，Bx2,yA．C準線方程為x=?1 B．xC．PFmin=4 D．若x11．設函數fx滿足fx+y?fx?y=?2fA．fB．fx的圖象關于0,0C．x=2025是函數fxD．f12．若x?26=a013．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=2AC=2，側棱AA1=2，若點M，N14．已知曲線方程C:x25?y25=1x>0，A1?5,0，A25,0，點P為曲線C右支上一點，且P與A215．中國春節檔電影《哪吒之魔童鬧海》票房突破百億，是中國第一部沖入全球影史票房前5的作品．同學小華在某影院用簡單隨機抽樣的方法調查了200位觀影人觀看該電影的次數，并對他們的觀影次數作出統計，具體如下：年齡（歲）少年組（18及以下）青年組（19-35）中年組（36-60）老年組（61及以上）調查人數70803020少年組、青年組、中年組、老年組分別有27，12，415（1）求這200位觀眾觀看該電影的平均次數；（2）小華記少年組與青年組為“A組”，記中年組和老年組為“B組”．請完成以下列聯表，依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為觀影次數與年齡層次有關聯？觀影次數年齡層次合計A組B組1次2次合計附表：α0.10.050.01x2.7063.8416.635參考公式：χ2=n16．如圖，在三棱錐A?BCD中，BC=BD=2，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，AC=AD=（1）證明：AB⊥CD；（2）若H為△ABC的垂心，求DH與平面ACD所成角的正弦值．17．已知函數fx=xx?a2在（1）求a的值；（2）求b的取值范圍．18．已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓C的標準方程；（2）記圓O的方程是x2①若與圓O相切的直線l1經過C的右焦點F，且l1與C交于A，B兩點，求②斜率為k1k1≠0的直線l2經過坐標原點，與C交于M，N兩點，若P是C的上頂點，直線PM交圓O于點G，直線PN交圓O于點H，記直線GH19．1679年，德國數理哲學大師萊布尼茨發明了二進制，即在數學和數字電路中以2為基數的記數系統，這一系統中，通常用兩個不同的符號0和1來表示．現代的計算機和依賴計算機的設備里都使用二進制．設正整數n=a0?20+a1?21+a2?22+?+a（1）二進制思想在中國古代也有所體現，如《周易》中的陰陽思想．若記陽爻“-”為1，陰爻“--”為0，如震卦“”對應的二進制數為100．請寫出巽卦“”和兌卦“”對應的十進制數．（2）證明：Sn?S（3）是否存在正偶數p，使得對任意i∈0,1,2,?,2014，滿足bp+i=

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為B=x|x<ln8且2<ln8<3故答案為：A.【分析】解指數不等式得出集合B=x|x<ln82．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，設z=2i+3i=2i故答案為：D.【分析】利用復數除法運算法則得出復數z，再由共軛復數的定義得出復數z.3．【答案】B【解析】【解答】解：因為a，b是單位向量，

所以a=1，b又因為a?b=3，解得a?故答案為：B.【分析】將a?b=4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，直線x+y?1=0過圓心(a,b)，

則a+b=1，由a2+b所以a2+b故答案為：C.【分析】由題意易知直線過圓心，從而得出a+b=1，再利用基本不等式求最值的方法，從而得出a25．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，圓臺上下底面半徑分別為r=1,R=2，

高?=A所以圓臺的體積V=1故答案為：C.【分析】由題意確定圓臺上、下底面半徑和高，再利用圓臺的體積公式得出該圓臺的體積.6．【答案】D【解析】【解答】解：當n≥2，則Sn?1=?1na當n=2027，則a2027當n=2026，則a2026故答案為：D.【分析】根據題意可得an=?1n+1an??1n7．【答案】B【解析】【解答】解：令b=AC,c=AB，

則b=c，

由題意，得HM=CM2?C所以AM=AH?HM?c2=b2所以12b2?4b?5=(6b?5)(2b+1)=0，

故答案為：B.

【分析】令b=AC,c=AB，且b=c，根據已知條件得出HM=14、AH=b8．【答案】C【解析】【解答】解：令fx=ex+x?a?lna，

所以當x∈?∞,lna時，f令gx=x2?ex因為不等式ex所以當x∈?∞,lna時，g由零點存在性定理可知glna=lna令?a=ln當0<a<1時，?'a>0，?當a>1時，?'a<0，?所以?amax=?所以lna=0，解得a=1故答案為：C.【分析】令fx=ex+x?a?lna，易知當x∈?∞,lna時，9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由題意，

得PB=1?P(B)=1PA+BPA|所以選項A、選項C對；選項B、選項D錯.故答案為：AC.【分析】利用對立事件求概率公式、全概率公式和條件概率公式，則判斷出選項A、選項B和選項D；由概率的性質判斷出選項C，從而找出說法正確的選項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于選項A，

因為拋物線方程C:y2=2pxp>0，

由已知條件知p=4，

則p2=2，

對于拋物線y2對于選項B，設直線l:x=my+2，與y2=8x聯立，

把x=my+2，代入y2=8x，得y2由韋達定理得y1y2=?16，

又因為x1=y對于選項C，設P(a,b)，拋物線y2=8x的切點弦方程為yb=4x+4a，焦點F(2,0)，

代入得0=4×2+4a，

解得a=?2，

所以P軌跡是x=?2，F(2,0)，

則對于選項D，因為拋物線y2=2px上的點到焦點距離等于到準線距離，

又因為p=4，若x1+x故答案為：BCD.

【分析】根據拋物線標準方程對應的準線公式和已知條件得出p的值，從而得出準線方程，則判斷出選項A；設直線方程與拋物線方程聯立，從而得到關于y的二次方程，再利用韋達定理得出y1y2的值，再結合拋物線方程求出x1x2的值，則判斷出選項B；先寫出切點弦方程，再把焦點坐標代入方程，從而求出點P的橫坐標，進而確定點P的軌跡，則得到|PF|的最小值，則判斷出選項C；利用拋物線上點到焦點和準線距離相等的性質結合11．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，令x=y=0，代入等式可得?2f2(?1)=0，

則f2(?1)=0對于B，令x=0，

則原等式變為f(y)?f(?y)=?2f(?1)f(y?1)，因為f(?1)=0，

所以?2f(?1)f(y?1)=0，

則f(y)?f(?y)=0，

移項可得f(y)=f(?y)，根據偶函數的定義，可知函數f(x)是偶函數，所以選項B錯誤；對于C，令y=2，原等式變為f(x+2)?f(x?2)=?2f(x?1)f(1)，因為f(1)=f(?1)=0，

則f(x+2)?f(x?2)=0，

則f(x+2)=f(x?2).令t=x?2，則x=t+2，

那么f(t+4)=f(t)，根據周期函數的定義，

所以T=4是函數f(x)的一個周期，當x=3，y=1時，

可得f(4)?f(2)=?2f(2)f(0)，可得f(0)?f(2)=?2f(2)f(0)，①當x=y=1時，可得f(2)?f(0)=?2f2由①+②可得2f(0)f(0)+f(2)=0，

因為所以f(0)+f(2)=0，代入②式得到2f(0)=2f2(0)，

因為f令y=1，原等式變為f(x+1)?f(x?1)=?2f(x?1)f(0)，因為f(0)=1，

所以f(x+1)?f(x?1)=?2f(x?1)，

移項可得f(x+1)+f(x?1)=0，又因為f(x+1)+f(x?1)=f(x+1)+f(1?x)，

所以f(x+1)+f(1?x)=0，根據函數對稱中心的性質可知(1,0)是函數f(x)圖象的一個對稱中心，因為T=4是函數f(x)的一個周期，2025=1+506×4，

所以(2025,0)也是函數f(x)圖象的一個對稱中心，所以選項C錯誤；對于D，根據前面的分析，得f(0)=1，f(1)=0，f(2)=?1，f(3)=0，

且T=4是函數f(x)的一個周期，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(?1)+0+1=0，因為2025=506×4+1，

所以f(1)+f(2)+?+f(2025)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)=506×0+f(1)=0所以選項D正確.故答案為：AD.

【分析】圍繞函數f(x)，依據給定的等式關系，再通過對不同變量賦值來判斷函數的奇偶性、周期性、對稱中心以及計算函數值，從而逐項判斷找出結論正確的選項.12．【答案】729【解析】【解答】解：由題意，

得a0+a令x=1，

則a0故答案為：729.【分析】根據題意易知a0+a1+a213．【答案】78【解析】【解答】解：由題意，構建如下圖示的空間直角坐標系A?xyz，則C(0,1,0),M(1,0,1),N(0,12,2)，

則點N到直線CM的距離CN2故答案為：786.

【分析】利用已知條件，構建合適的空間直角坐標系，從而得出相關點的坐標和向量的坐標，再利用數量積和勾股定理得出點N到直線CM14．【答案】π【解析】【解答】解：設P(x0,則直線PA1:y=y0x0+5(x+5所以|S以S1，S2為直徑的圓面積令t=x0?2>5?2所以u=1t∈(0,5+2)當u=2時，即當t=12，x0=52時，所以，以S1，S2為直徑的圓面積的最小值是故答案為：π.

【分析】設P(x0,y0)且x0≠5，從而寫出直線PA1，PA215．【答案】（1）解：因為70人的群體中觀看2次電影的人數為70×280人的群體中觀看2次電影的人數為80×130人的群體中觀看2次電影的人數為30×420人的群體中觀看2次電影的人數為20×1將這些人數相加，可得觀看2次該電影總人數為20+40+8+4=72人，已知觀看1次電影的總人數為200-72=128人，

觀看2次電影的總人數為72人，

則總人數為200人，所以，這200位觀眾觀看該電影的平均次數為：128×1+72×2200（2）解：零假設H0從題目中可知，A組觀看1次電影的有90人，B組觀看1次電影的有38人，

所以觀看1次電影的合計128人；A組觀看2次電影的有60人，B組觀看2次電影的有12人，

所以觀看2次電影的合計72人；則A組合計150人，B組合計50人，總人數200人.整理數據得到列聯表：觀影次數年齡層次合計A組B組1次90381282次601272合計15050200計算卡方統計量χ2，代入可得：χ根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，

【解析】【分析】（1）先分別算出觀看不同次數電影的人數，再根據平均數公式計算出這200位觀眾觀看該電影的平均次數.（2）利用零假設是認為兩個變量無關聯，通過計算卡方統計量χ2并與給定的小概率值對應的臨界值比較，則根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H（1）70人的群體中觀看2次電影的人數為70×280人的群體中觀看2次電影的人數為80×130人的群體中觀看2次電影的人數為30×420人的群體中觀看2次電影的人數為20×1將這些人數相加，可得觀看2次該電影總人數為20+40+8+4=72人.已知觀看1次電影的總人數為200-72=128人，觀看2次電影的總人數為72人，總人數為200人.這200位觀眾觀看該電影的平均次數為128×1+72×2200（2）零假設H0從題目中可知，A組觀看1次電影的有90人，B組觀看1次電影的有38人，所以觀看1次電影的合計128人；A組觀看2次電影的有60人，B組觀看2次電影的有12人，所以觀看2次電影的合計72人；A組合計150人，B組合計50人，總人數200人.整理數據得到列聯表：觀影次數年齡層次合計A組B組1次90381282次601272合計15050200計算卡方統計量χ2：代入可得χ根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H016．【答案】（1）證明：取CD中點E，連接BE,AE，

由BC=BD,AC=AD，所以BE⊥CD,AE⊥CD，BE∩AE=E都在平面ABE內，

則CD⊥平面ABE，由AB?平面ABE，

得AB⊥CD.（2）解：由（1），易知EB,EC,EA兩兩垂直，

如下圖，構建空間直角坐標系E?xyz，因為AE=2,BE=1，

則A(0,0,2設平面ACD的一個法向量為m=(1,0,0)，

取BC的中點F(12,1所以AF⊥BC，H為△ABC的垂心，

則H在AF上，設AH=λAF=(λ2,λ2,?2λ)，

所以BH?AC=0+λ2+2λ?2=0，

可得λ=45，

故DH=(所以DH與平面ACD所成角的正弦值為：sinθ=【解析】【分析】（1）取CD中點E，連接BE,AE，易得BE⊥CD,AE⊥CD，再由線面垂直的判定定理和性質定理，從而證出AB⊥CD.（2）由（1），易知EB,EC,EA兩兩垂直，則構建合適的空間直角坐標系，從而標注相關點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而求出平面ACD的法向量，再利用數量積求向量夾角公式和誘導公式，從而得出DH與平面ACD所成角的正弦值.（1）取CD中點E，連接BE,AE，由BC=BD,AC=AD，所以BE⊥CD,AE⊥CD，BE∩AE=E都在平面ABE內，則CD⊥平面ABE，由AB?平面ABE，故AB⊥CD；（2）由（1），易知EB,EC,EA兩兩垂直，如下圖，構建空間直角坐標系E?xyz，而AE=2,BE=1，則A(0,0,2設平面ACD的一個法向量為m=(1,0,0)，取BC的中點F(12所以AF⊥BC，H為△ABC的垂心，則H在AF上，設AH=λAF=(λ2,λ所以BH?AC=0+λ2所以DH與平面ACD所成角的正弦值cosDH17．【答案】（1）解：對f(x)=x(x?a)2求導，f因為f(x)在x=1處有極大值，

所以f'(1)=0，

則(1?a)(3?a)=0，

解得a=1或當a=1時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<13時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；

當13<x<1時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；所以x=1是極小值點，不符合題意，舍去；當a=3時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；

當1<x<3時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；

當x>3時，所以x=1是極大值點，符合題意，綜上所述，a=3.（2）解：由（1）可知f(x)=x(x?3)2，

則g(x)=x(x?3)對g(x)求導可得：g因為g(x)在定義域內單調遞增，

所以g'(x)≥0在(0,4)上恒成立，

則(x?3)(3x?3)+4b化簡不等式可得：3(x?1)(x?3)+4bx(4?x)≥0，

則令?(x)=3x2?12x+9，

對其進行配方可得?(x)=3(x?2)2?3，其對稱軸為x=2，

在(0,2)上單調遞減，在則?3+4bx(4?x)≥0在(0,4)上恒成立，

則4b因為x(4?x)=?x2+4x=?(x?2)2+4，

所以0<x(4?x)≤4，

則1x(4?x)則4b≥3x(4?x)在(0,4)上恒成立，

則4b≥[3x(4?x)]因為3x(4?x)=?3x2+12x=?3(x?2)2+12，

所以[3x(4?x)]max=12，【解析】【分析】（1）先對f(x)求導，再根據f(x)在x=1處有極大值得到f'(1)=0，從而解出a的可能值，再分別代入a的值判斷函數f(x)的單調性，從而判斷出x=1是極大值點還是極小值點，進而確定出（2）由a的值得到函數g(x)表達式，再對g(x)求導，再利用g(x)單調遞增得出g'(x)≥0恒成立，再化簡不等式求出?(x)=3x2?12x+9的最小值，從而得到關于b（1）首先對f(x)=x(x?a)f'因為f(x)在x=1處有極大值，所以f'(1)=0，即(1?a)(3?a)=0，解得a=1或當a=1時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<13時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當13<x<1時，f'(x)<0，所以x=1是極小值點，不符合題意，舍去.當a=3時，f'令f'(x)=0，可得x=1或當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當1<x<3時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；當x>3時，所以x=1是極大值點，符合題意.綜上，a=3.（2）由（1）可知f(x)=x(x?3)2，則g(x)=x(x?3)對g(x)求導可得：g'因為g(x)在定義域內單調遞增，所以g'(x)≥0在(0,4)上恒成立，即(x?3)(3x?3)+4b化簡不等式可得：3(x?1)(x?3)+4bx(4?x)≥0，3(令?(x)=3x2?12x+9，對其進行配方可得?(x)=3(x?2)2?3，其對稱軸為x=2，在則?3+4bx(4?x)≥0在(0,4)上恒成立，即4b因為x(4?x)=?x2+4x=?(x?2)2當且僅當x=2時取得最值，與前面?(x)=3x那么4b≥3x(4?x)在(0,4)上恒成立，即4b≥[3x(4?x)]因為3x(4?x)=?3x2+12x=?3(x?2)2+12，所以18．【答案】（1）解：由題意，得ca=323a2+1（2）解：①由題意，令直線l1:y=kx?3k，

與圓x2+y2所以l1:y=±12(x?3)，

所以3x2?43x+2=0，

所以|AB|=1+②設M(x1,y1)，則N(?x1,?y1與x2+y2=1聯立，得x所以x=0或x=2x15+3y1，顯然所以k2=3+5y15+3y1?【解析】【分析】（1）根據橢圓的離心率公式和點在橢圓上，從而求出a，b的值，進而得出橢圓C的標準方程.（2）①令l1:y=kx?3k，再利用直線與圓的相切關系得出k的值，再聯立直線方程與橢圓方程結合韋達定理和弦長公式，從而得出AB的值.

②設M(x1,y1)，則N(?x（1）由題設ca=323（2）①由題設，令l1:y=kx?3k，與圓x2所以l1:y=±12(x?所以3x2?43x+2=0所以|AB|=1+②設M(x1,y1)，則N(?x與x2