系統動力學

(SystemDynamics)主講：張學民(4)延遲與平滑延遲的現象比比皆是系統動力學模型中包含的物質流與信息流可能存在延遲。在現實生活中，延遲的現象比比皆是：廠家向顧客交付訂貨；感染－潛伏期－病癥；播種與收獲；投資與回報；。。。。延遲是信息反饋系統結構中頗為重要的一個角色。延遲與DELAY1函數考慮一個簡單的疾病蔓延模型，處潛伏期人口INC，其輸入速率為感染率INF，輸出速率為疾病癥候顯現率SYMP，方程如下：LINC.K=INC.J

+DT*(INF.JK–SYMP.JK)NINC=TSS*INFRSYMP.KL=INC.K/TSS式中TSS為潛伏期，比如流感的潛伏期為3天。上述方程式可用DYNAMO中的DELAYl函數代替，功能相同，但簡明方便得多(可以取消INC變量，即INC為隱含水平變量)。RSYMP.KL=DELAYl(INF.JK,TSS)延遲與DELAY1函數(續)

DELAYl的結構：輸入為INF(感染率)，輸出為SYMP(癥侯顯現率)。SYMP與CURE兩速率的結構是相同的，都是[水平]/[時間常數]。一階物質流的延遲環節的輸出變化率取同一類型表達式LEV.K/DEL，LEV為內部隱含的水平變量，DEL為延遲時間。DELAY3——三階延遲環節同理，可把一階延遲環節中隱含的一個水平變量再細分成若干個水平變量。假定潛伏期TSS＝3天，可把處潛伏期的人口INC劃分為三部分，INCl，INC2及INC3分別表示處于潛伏期第1天、第2天和第3天的人口。此時由INC到SYMP的延遲稱為三階指數物質延遲，DYNAM0中以DELAY3表示：RSYMP.KL=DELAY3(INF.JK,TSS)注意：一個DELAY3方程等效于3個水平變量方程，三個N方程和三個速率方程。物質延遲的階次階次的含義在延遲結構中，指的是延遲環節內部包含的水平變量數。下圖給出了不同階次延遲環節的輸入量發生突變時，(即為階躍輸入時)，其相應的輸出量的曲線。這是一簇曲線，包括1，2，3，6和12階延遲的響應。曲線簇表明，l階與3階的延遲特性彼此差別很大。1階延遲表現出簡單的指數形增長的特性，2階延遲開始表現出S形增長特性，3階時的S形增長特性已較明顯，6階與12階的S形增長特性也就更加突出了。隨著階數的增加，延遲環節的響應的增長模式本質相同，其錯開程度取決于延遲時間。顯而易見，l階與3階的曲線差別很大，增長模式全然不同，但3階曲線與6階甚至12階曲線相比則無本質差別，只是程度上差異而已，同樣是S形模式。因此，DYNAMO中僅備有DELAYl與DELAY3函數，而無更高階次的單個函數。信息延遲與物質在系統中流動存在延遲類似，信息在系統中傳遞也存在延遲。商品信息的傳遞一般都帶有延遲的特性。這種信息傳遞的延遲，往往是系統結構中不可避免的組成部分。平均或平滑信息導致延遲。系統動力學中描述信息的延遲可用平滑函數。平滑函數與信息的平滑以生產經營管理中的現象為例，企業領導人決不會認定某日銷售額突增的信息作為長遠的趨勢，把它作為庫存、生產安排與招工等問題決策的依據。決策者總是力圖從銷售信息中排除隨機的因素，找出真實的趨勢。換言之，對銷售信息應求其在一段期間內的平均值。這種“平均”與“平滑”的處理方式在系統動力學的模型中屢見不鮮。DYNAMO提供這一功能的函數稱為平滑。信息的平滑或平均實質上是一種積累過程。它們可以包含一個或多個水平變量。平滑函數與信息的平滑(續)在DYNAMO中1階信息平滑或平均的機制等效于如圖的流圖結構?？蓪懗鲆浑A“平滑”或“平均”函數的方程如下：LSVAR.K＝SVAR.J+DT*SRATE.JKNSVAR＝VARRSRATE.KL＝(VAR.K-SVAR.K)/STIME式中：

SVAR——已平滑的變量；

VAR——待平滑的變量；

SRATE——平滑速率；

STIME——平滑時間。平滑函數與信息的平滑(續)在DYNAMO中可在輔助方程中用SMOOTH函數代表上述方程：ASVAR.K＝SMOOTH(VAR.K，STIME)式中：SMOOTH為平滑函數。被平滑的變量可以是水平、速率和輔助變量。平滑時間STIME通常為常數，但也可以是變量。直觀地看，平滑時間系指變量VAR經積累達到指數加權滑動平均值所需的時間。平滑函數對輸入量的響應持性若變量VAR為階躍函數(突增后保持恒定)，其平滑值SVAR將漸漸趨于此恒定值。若VAR是一個脈沖，SVAR不能達到VAR的幅值，并按另一指數式的尋的特性下降。若VAR是一振蕩的輸入量，其平滑值SVAR亦將隨著振蕩，但幅值要小得多。因此平滑函數具有平滑原變量的激烈起伏功能。經平滑得到的平均值正是所期望的真實趨勢。信息延遲(續)當一變化量增加時，其平滑值也隨之增加，但有滯后現象。三階信息延遲函數DLINF3可以把數個1階平滑函數串接成為高階的信息延遲。如圖為三階信息延遲的流圖。圖中每一水平變量都力圖跟蹤前一級的水平值。利用DYNAMO的三階信息延遲函數DLINF3，用一個方程式就能代表。ASV3．K＝DLINF3(VAR．K，STIME)式中：

SV3——三階信息延遲輸出；DLINF3——三階信息延遲：

VAR——輸入變量；STIME——平滑或延遲時間。物質延遲與信息平滑和延遲函數的流圖符號測試函數測試函數通過不同類型的攝動實驗可從模型及其代表的反饋系統獲取大量信息。這些攝動實驗是藉助各類測試函數進行的。在模型測試中可采用變量的突增，斜坡，振蕩與隨機干擾等。這些實驗均有助于揭示模型內部結構與其動態行為的關系。這類測試的目的在于深入地研究模型和它所代表的信息反饋系統。DYNAMO有各類模擬外生攝動的測試函數，包括：斜坡RAMP，脈沖PULSE，正弦SIN，和噪聲NOISE。簡化的庫存模型(流圖)簡化的庫存模型(方程)簡化的庫存模型(方程)速率變量訂貨ORDRS的來歷：RORDRS.KL＝AVSHIP.K+INVADJ.KAAVSHIP.K＝SMOOTH(SHIP.JK,TAS)AINVADJ.K＝(DSINV-INV.K)/TAT式中：ORDRS——訂貨率(件/周)；AVSHIP——平均發貨率(件/周)；

SHIP——發貨率(件/周)；

INVADJ——庫存調節率(件/周)；DSINV——期望庫存(件)；

INV——庫存(件)；

TAS——發貨率平滑時間(周)；

TAT——庫存調整時間(周)。隱含在這一組方程中的思想是，訂貨率ORDRS等于平均發貨率加上庫存調節率INVADJ。當庫存INV小于期望庫存DSINV時，INVADJ值為正。ORDRS值高于近期的平均發貨率，使庫存量增長并趨向期望值；若INV大于DSINV，則產生與上述相反的過程，使庫存量INV降低，最終也趨向于期望值DSINV。簡化的庫存模型(方程)發貨率SHIP方程包含測試函數，測試函數系一長串函數的相加，模擬時可選用其中任一函數。這些函數分別乘以常數TESTl，TEST2…，它們的初值均為0。當模型運行者欲選用某測試函數時只需將其相應常數置為1即可。階躍函數STEP階躍函數為幅值在給定時刻發生突變的函數。它常被用來突然改變變量數值。STEP函數的形式為：

STEP(A，B)式中：

A——階躍的幅度；

B——階躍發生的時刻。在時刻B前STEP函數值為0，當時間等于和大于B時，STEP函數等于A的值。A與B可為任何數量的名，其涵義由它們在STEP函數中位置決定，第一個變量表示階躍的幅值，第二個變量表示階躍發生時刻。階躍幅值可正可負。階躍函數STEP測試簡化庫存模型的模擬結果所用測試函數的表達式如下：ATEST.K=STEP(HGHT,STRT)CHGHT=10CSTRT=2式中：TEST——測試函數；HGHT——階躍幅值；STRT——階躍發生時刻。階躍函數STEP測試簡化庫存模型的模擬結果(續)發貨率SHIP的正常值NSHIP為100件/周，階躍函數于第2周(STRT=2)，由0突增加10件/周，使SHIP增加了10％，達110件/周并保持不變。虛線為發貨率SHIP隨時間變化曲線；實線為庫存INV相應的變化特性。當發貨率突增10％后，庫存量從期望值DSINV300件，迅速下降，與此同時，訂貨率ORDRS增加，以補充庫存的減少。然而從訂貨到廠家交貨存在延遲(模型中設定為平均3周)，所以庫存量繼續下降，大約到第6周達谷底；之后才回升。由于整個系統存在延遲環節與負反饋的調節作用，庫存量呈現為圍繞其期望值衰減振蕩特性。斜坡函數(RAMP)斜坡函數是一種連續增長或下降的時間的線性函數。其DYNAMO的書寫形式為：

RAMP(A,B)式中：

A——表示線性函數的斜率；

B——表示斜坡函數的起始時刻。在時間B時刻前，RAMP取0值，在B或B時刻之后其值由線性函數決定：

A*(TIME.K-B)斜坡函數RAMP測試簡化庫存模型的模擬結果現用RAMP函數作為測試函數，使庫存模型的發貨率SHIP按RAMP函數增長，研究庫存INV隨時間變化的特性。下面是測試函數TEST:ATEST.K＝RAMP(SLP，STRT)CSLP＝20CSTRT＝2式中：

SLP——斜坡函數的斜率；

STRT——斜坡函數起始時刻。斜坡函數RAMP測試簡化庫存模型的模擬結果(續)RAMP函數代表對發貨率線性增長的需求。INV幾乎跌落至0，但對發貨率無任何影響?？梢灶A料，若斜坡函數的斜率值再大些，INV將出現負值。顯然這是不合理的。在現實生活中，庫存INV的下降情況需對發貨率SHIP施加負反饋的信息，這一點在此簡化庫存模型中未予考慮。脈沖函數PULSE脈沖函數為DYNAMO提供瞬時沖擊的方法。在現實生活中它描述變量的獨立變化現象，也就是變量在每一次短促的變動后立即回至原值。在DYNAMO中脈沖函數的形式為：

PULSE(A，B，C)式中：

A——脈沖的幅度；

B——第一個脈沖出現的時刻；

C——相鄰兩個脈沖之間的間隔。脈沖寬度為DT。脈沖函數是一個周期性函數。如果模型使用者希望只對系統施加一個單脈沖，只需把C賦予一個很大的值，即較模型中其它時間量的值大得多的值就行。脈沖函數PULSE測試簡化庫存模型的模擬結果如圖所示為單脈沖與周期性脈沖施加于庫存控制模型的模擬結果。所采用的測試函數方程為：ATEST.K＝PULSE(HGHT,STRT,INTVL)CHGHT＝10CSTRT＝2CINTVL=200(單脈沖)，5(周期性脈沖)式中：

HGHT——脈沖函數幅值；

STRT——脈沖發生時刻；

INTVL——脈沖間隔。脈沖函數PULSE測試簡化庫存模型的模擬結果(續)本例發貨率脈沖的幅度值為10件/周，DT＝0.25周；庫存量受單脈沖的作用所降低的值等于(10件/周)*(0.25周)＝2.5件，模擬結果的庫存變化曲線由300件跌為297.5件，即較期望值少了2.5件。正弦函數SIN正弦函數可用來測試模型對于振蕩(比如正弦)輸入變量的響應。正弦函數的DYNAMO表達式為：

A*SIN(6.283*TIME.K/B)式中：

A——振蕩幅度；

B——振蕩周期；6.283——2pi(pi為圓周率)。正弦函數SIN測試簡化庫存模型的模擬結果測試函數為：

TEST.K=AMP*SIN(6.283*TIME.K/PER)AMP=10PER=5(左圖)，10(右圖)式中：

TEST––––變化率測試函數(件/周)；AMP––––正弦函數幅值(件)；

PER––––周期(周)。噪聲函數NOISEDYNAMO備有隨機數發生函數，稱為噪聲NOISE。此函數表示式為：

NOISE[]NOISE的值是無規則變化的，從-0.5至+0.5，呈均勻分布。為了產生變化范圍為A以B為中心的隨機數，可用DYNAM0的表示式如下：

A*NOISE[]+B上式產生的隨機數的平均值為B，其變化范圍為：[B-A/2,B+A/2]噪聲函數NOISE測試簡化庫存模型的模擬結果測試函數為：

TEST.K=RANGE*NOISE[]

RANGE=20水平變量庫存INV的特性與隨機噪聲大相徑庭。INV表現出和模型在階躍與脈沖函數作用下同一類型的振蕩特性，具有相同的振蕩周期。庫存反饋系統內部結構決定了這一振蕩的自然周期，不受隨機干擾的影響。簡化庫存模型的測試模擬研究小結可得出結論：庫存量往往呈振蕩特性，振蕩特性根植于企業內部的訂貨政策，而不是別的。換言之，市場需求的變動性的影響并非主要問題，管理人員應著眼于研究系統內部的反饋結構。準確度與計算間隔DT的選擇DT大小的選擇將影響模擬結果的準確度計算間隔DT的取值對計算結果究竟有多大影響?離散數值模擬的結果與連續函數的解析解有多大誤差?拋開計算機計算準確度的理論