一卷練透03導數與不等式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要1北京市大興區2022-2023學年高二下學期期中考試數學試題）下列不等式中，對任意的x∈(0,+∞)不恒成立的是()>x2【答案】【答案】B【分析】ACD選項，作差后構造函數，求導，利用函數的性質判斷；B選項用特值法判斷.令h=xlnx,x=4，故B符合題意；則g(x)在(0,+∞)上單調遞增，故g(x)>g(0)=0，則x>sinx,(x>0)．故C不合題意；令f(x)=ex一x,(x>0)，則fI(x)=ex一1>0，則f(x)在(0,+∞)上單調遞增，故f(x)>f(0)=1>0，則ex>x,(x>0)．故D不合題意.2廣東省深圳市鹽田高級中學2022-2023學年高二上學期期末考試數學試卷）已知函數f(x)=x一sinx，且f(log2m)+f(一1)【答案】【答案】C【分析】由已知可得函數f(x)=x一sinx為增函數，且為解得答案.【詳解】∵函數f(x)=x一sinx，定義域為R，:函數fI(x)=1一cosx≥0恒成立，故函數f(x)為增函數，又由f(一x)=xsin(x)=(xsinx)=f(x)，故函數故函數f(x)為奇函數，>0→f(log2m)>f(1)=f(1)，3江蘇省宿遷市沭陽縣建陵高級中學2022-2023學年高二下學期第二次學情檢測數學試題）已知函數2時，恒有則實數a的取值范圍為()【答案】A恒成立，可推得恒成立.令根據導函數求出h(x)=在|,2上的最小值，即可得出答案.【詳解】由已知可將不等式化為x1f(x1)>x2f(x2)，由題意可知在上單調遞增，exxexx,min在|,2上恒成立，只需滿足aexx,min當時，h,<0，所以h在上單調遞減；故選：A.4山東省泰安市寧陽縣第四中學2022-2023學年高二下學期6月月考數學試題）已知函數f(x)=kx2—lnx，使f(x)>0在定義域內恒成立的充分不必要條件是()【答案】B【分析】求函數的導函數，利用導數求得函數的最小值，由最小值大于0，求出參數k的取值范圍，再找到其一個真子集即可．所以當k≤0時，f'(x)<0，函數f(x)在(0,+∞)上為減函數，當k>0時，由f'(x)=0，解得，所以當時，函數f為減函數，當時，函數f為增函數，1)1)(即可得到使f(x)>0在定義域內恒成立的充分不必要條件可以是5浙江省溫州市2024屆高三上學期期末考試數學試題）已知x，y∈R，則“x>y>1”是“x—lnx>y—lny”A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】【答案】A【分析】設f(x)=x-lnx，利用導數研究函數f(x)的性質可知f(x)在(1,+∞)上單調遞增，結合函數的單調性解不等式以及充分、必要條件的定義即可求解.設f=x-lnx，則令f,(x)>0→x>1，所以函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增.當x>y>1時，則f(x)>f(y)，即x-lnx>y-lny，充分性成立；當x-lnx>y-lny時，有f(x)>f(y)，得x>y，所以x>y>1不一定成立，即必要性不成立，所以“x>y>1”是“x-lnx>y-lny”的充分不必要條件.6四川省宜賓市第六中學2022-2023學年高二下學期期中考試數學（文）試題）已知函數對任意的都有f(x1)≥g(x2)成立，則實數a的取值范圍是()【答案】【答案】A【分析】根據已知條件，將原問題轉化為f(x)min≥g(x)max，再利用導數研究函數f(x)、g(x)的極值、最值，即可求解.令g,(x)<0，解得x>1或令>0，解得，故在單調遞減，在單調遞增，在(1,2]單調遞減，故故任意的都有f成立，則fmin≥gmax，當a≤0時，f,(x)>0,f(x)在|,2單調遞增，所以故3a-ln即故f(x)在(0,a)上單調遞減，在(a,+∞)上單調遞增，所以所以即解得綜上所述，實數a的取值范圍為【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立（a≤f(x)min即可②數形結合(y=f(x)圖象在y=g(x)上方即可)；③分類討論參數.7福建省福州第十八中學2023-2024學年高二上學期期末考試數學試卷）已知f,(x)是函數f(x)(x∈R)的【答案】【答案】D【分析】令g(x)=f(x)-x+1，對函數g(x)求導，利用g(x)的單調性可得答案.所以函數g(x)=f(x)—x+1是實數集上的增函數，故選：D.8北京市昌平區首都師范大學附屬昌平校區2022-2023學年高二下學期期中數學試題）已知函數f(x)=xlnx，若0<x1<x2，則下列結論正確的是()A．x2f(x1)>x1f(x2)+f(x2)C．當lnx>1時，x1f(x1)+x2f(x2)>【答案】【答案】C【分析】對于A，構造函數g(x)=f(x)，通過導數得到函數的單調性進行判斷；x對于B，構造函數h(x)=f(x)+x，通過導數得到函數的單調性進行判斷；對于D，通過導數得到函數f(x)=xlnx的單調性進行判斷；對于C，結合選項A、D計算x1f(x1)+x2f(x2)—2x2f(x1)與0的大小關系即可.x所以，即x2f(x1)<x1f(x2)．故A錯誤；x1x2(x)<0,h(x)單調遞減．所以x1+f(x誤；1e(f,(x)>0,f(x)在1e(eef(x1)—f(x2)x1x2時故D錯誤；對于C選項，由D選項知，當lnx>—1時立所以x1f(x1)+x2f(x2)—2x2f(x1)>x1f(x1)+x2f(x2)—x2f(x1)—x1f(x2)=x1f(x1)f(x2)+x2f(x2)f(x1)=(x1x2)f(x1)f(x2)>0,故C選項正確.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9遼寧省遼南協作校2021-2022學年高二下學期期中考試數學試題）已知函數f(x)=xln(x+1)，xA．函數f(x)在原點(0,0)處的切線方程為y=0.21<0恒成立.【答案】【答案】AC【分析】對A，根據導數的幾何意義求解即可；對B，舉反例判斷即可；對求導分析令h(x)在x∈(0,+∞)的單調區間與最大值判定即可；對D，數形結合舉反例判斷即可對=ln1=0，故f在原點(0,0)處的切線方程為y=0，故A正確；故B錯誤；對又 故單調遞增，在(x0,+∞)上h(x)單調遞減，故hmax.又即x22x2，則)上t'(x)xxxx12故選：AC10重慶市南坪中學校2022-2023學年高二下學期期中數學試題）已知函數f(x)是定義在R上的可導函數，其導函數為f,(x).若f(0)=5，且f(x)—f,(x)>2，則使不等式f(x)≤3ex+2成立的x的值可能為()【答案】【答案】BD成立的x的可能值.在函數f(x)中,∵f(x)—f,(x)>2，:f,(x)—f(x)+2<0，:F,(x)<0，即F(x)在定義域R上單調遞減.∵f(0)=5，:F(0)=3，:不等式f(x)≤3ex+2等價于即F結合選項可知，只有BD符合題意.故選：BD.11福建省龍巖市一級校聯盟2022-2023學年高二下學期期中聯考數學試題）e是自然對數的底數，m∈R，m【答案】【答案】BC由題可得lnn>0,f(m)>f(lnn)，結合f(x)=xex—x單調性可判斷選項；C選項，當n≤調性可判斷選項；調性可判斷選項；D選項，通過取可構造反例.xlnnlnnlnn→f(m)>f(l則f(m)>f(lnn)滿足題意，但此時m一n=0，故AD選項，取m=則lnn=1>m，又f在上單調遞減，則f(m)>f(lnn)滿足題意，但此時故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點精：本題涉及證明不等式，常需通過觀察找到題目中的相同結構，進而構造出需要的函數，此外此題作為選擇題，找到合適的反例可幫助我們快速解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12四川省成都市第七中學2022-2023學年高二下學期期中考試數學（理）試題）已知函數f(x)=x+sinx，(x∈R)，有以下四個命題：①對丫x>0，不等式f(x)<2x恒成②x=π是函數f(x)的極值點；③函數f(x)的圖象與x軸及圍成的區域面積為；其中正確的命題有.【答案】①③④【答案】①③④【分析】g(x)=xsinx，確定函數單調遞增，計算最值得到①正確，函數單調遞增，得到②錯誤，求積分得到③正確，根據①得到④正確，得到答案.π則正確.故答案為：①③④13河北省邢臺市2024屆高三上學期期末調研數學試題）已知不等式對任意的實數x恒成立，則的最大值為．【分析】換元后簡化所要求證不等式，利用函數的導數求出函數的最小值，轉化為2b≤3a一3aln3a一3，再變形為3ln3a成立，構造函數利用函數求最大值即可.令t=x，則原不等式可化為et≥3at令f(t)=et一3at32b，則f'(t)=et3a，所以當t∈(∞,ln3a)時，fI(t)<0，f(t)單調遞減，當t∈(ln3a,+∞)時，fI(t)>0，f(t)單調遞增，令故答案為14安徽省蕪湖市安徽師范大學附屬中學2022-2023學年高二下學期4月期中考試數學試題）設實數m>0，若不等式memx—lnx<0恰好有四個整數解，則實數m的取值范圍為.調遞增，有emx<x，問題轉化為m<lx恰好有四個整數解，令利用導數研究單調性，通過數形結合求實數m的取值范圍.因為不等式memx—lnx<0恰好有四個整數解所以不等式mxemx—xlnx<0恰好有四個整數解，即emxlnemx<xlnx恰好有四個整數解，所以函數f(x)=xlnx在[1,+∞)上單調遞增，所以，不等式emx<x恰好有四個整數解，即恰好有四個整數解，令則所以，作出函數g(x)的圖像如圖所示，lnxx「ln6ln5)「ln6ln5)四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15湖北省武漢市東湖中學2023-2024學年高二上學期期中考試數學試題）已知函數(1)當a=1時，求f(x)在x=1的切線方程；(2)若f(x)>2a恒成立，求a的取值范圍.【分析】（1）代入a值求導得切線斜率，求出對應函數值即得切線方程；（2）將f(x)解析式代入整理成同構表達式，借助于構建的函數式的單調性將其轉化為指數不等式恒成立問題，通過再次構建函數，分類討論即得參數范圍.f(1)=2e1ln2，lnlnexx設g(x)=lnx+2x，則有g(ex)>g(x+a)，顯然g(x)在(0,+∞)上為增函數，所以只需ex>x+a>0恒成立.設h(x)=exxa，(x>a)，求導得h,(x)=ex1①若a>0，當a<x<0時，h,(x)<0，則h(x)遞增，【點睛】方法點睛：本題重點考查含指數對數混合的不等式恒成立問題.處理同時含指數式和對數式的不等式恒成立問題，一般是通過移項合理變形將不等式左右整理成結構相同的表達式，再通過構建函數，利用該函數的單調性，將其轉化成只含指數或對數的不等式討論即可.16重慶市第十八中學2022-2023學年高二下學期4月期中數學試題）已知函數f(x)=ex+ax—1，x∈R．(1)若f(x)≥0恒成立，求實數a的取值集合；(2)設m為整數，若對任意正整數n都有<m，求m的最小值．(2)2【分析】（1）首先求函數的導數，分a≥0和a<0兩種情況討論函數的單調性，并求函數是否有最小值，根據最小值大于等于0，求實數a的取值集合；（2）根據（1）的結果可知，ex≥x+1，根據條件代入數值，并利用累乘法，即可求解.x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調遞增，f(0)=0，x)>0，f(x)單調遞增，設x1的值隨著n的變大而變大，所以當n趨向于無窮大時，e1趨向于e=，所以若對任意正整數n都有為整數，所以m的最小值為2.【點睛】思路點睛：本題考查利用導數研究函數的性質，不等式等的綜合應用，本題的關鍵是第一問，第取值.17海南省東方市東方中學2022-2023學年高二下學期期中考試數學試題）已知(1)求函數f(x)的最小值；【分析】（1）利用導數即可求得f(x)的最小值；（2）由f(x)≤g(x)分離常數a，利用構造函數法，結合導數即可得解.所以當時，f'(x)<0,f(x)單調遞減；當時，f'(x)>0,f(x)單調遞增；所以當取得最小值33x【點睛】結論點睛：有解問題：（3）f(x)>g(x)有解今f(x)—g(x)2218四川省綿陽市三臺縣2022-2023學年高二下學期期中教學質量調研測試數學（文）試題）已知函數(1)若函數f(x)在區間(—2,+∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)若函數對丫彐使得f'(x1)≤g(x2)成立，求實數a的取值范