高中數學人教A版（2019）必修第一冊第三章綜合檢測卷（拔尖C卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．已知函數，，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】作出函數圖象，數形結合即可得出結論.【詳解】由題知在同一坐標系下畫出，圖象如下所示：由圖可知的解集為.故選：A.2．已知，則函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的定義域,結合分式函數分母不為零求出的定義域.【詳解】,,的定義域為.又，且.的定義域是.故選：A3．已知函數，若對任意的有恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據奇函數的定義證明為奇函數，再判斷函數的單調性，利用函數的性質化簡不等式可得的取值范圍.【詳解】當時，，，，當時，，，，當時，，所以對任意的，，函數為奇函數，又當時，為單調遞減函數，所以函數在上為單調遞減函數，所以不等式可化為，所以，所以，由已知對任意的有恒成立，所以，即，故的取值范圍是.故選：A.4．已知奇函數f（x）的定義域為[-3，3]，且在區間[-3，0]上單調遞增，則滿足f（2-2m）+f（1-m2）>0的實數m的取值范圍是（

）A．[-3，]B．[-，2）C．[-，1）D．[-3，1）【答案】C【分析】利用函數的奇偶性與單調性并結合函數的定義域列出不等式組，解之即可求出結果.【詳解】∵f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數，且在區間[-3，0]上單調遞增，所以在區間[-3，3]上單調遞增，又因為，也即，所以，解得：，故實數的取值范圍為，故選：.5．設函數的定義域為，滿足，且當時，.則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分，和進行分類討論，即可求解【詳解】當，，解得無實數解；當，，則由可得，令，整理得，解得，當，，則由可得，因為，所以，所以恒成立，綜上所述，不等式的解集是故選：A6．，則函數的零點個數為（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】作出的圖像，將的零點個數即的實數根個數，令，解有三個實數根，再結合圖像即可得到答案.【詳解】由題意，的零點個數即的實數根個數，作的圖像如圖所示，設，則，當時，即，解得，；當時，即，解得；結合圖像知，時有一個根，時有三個根，時有三個根，所以有7個根，即的零點個數為7.故選：D【點睛】本題主要考查函數的零點問題、解函數值以及一元二次函數和指數函數的圖像，考查學生數形結合的思想，屬于中檔題.7．世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”美譽的高斯提出了取整函數，表示不超過的最大整數，例如，.已知，，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，將其變形分析其取值范圍結合取整函數，即可求得結果.【詳解】易知，在上單調遞減，上單調遞增.當時，；當時，；當時，；所以，則函數的值域為.故選：C.8．設定義在上的函數是偶函數，且在為增函數.若對于，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函數是偶函數，且在為增函數，可以得到函數在為減函數，根據單調性以及的大小關系，分別判斷各選項中函數的大小即可【詳解】因為函數是偶函數，且在為增函數，所以函數在為減函數A選項中，因為，且，則，因為函數在減函數，所以選項A錯誤B選項中，因為函數為偶函數，所以等價于，因為，所以，在為增函數，所以，即，所以B選項錯誤同理，C選項錯誤D選項中，等價于，所以D選項正確故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（

）．A．函數與函數為同一函數B．函數的圖像與直線的交點最多有1個C．已知，若，則D．若，則【答案】BC【分析】根據函數值域即可判斷A選項；根據函數的映射不可以一對多即可判斷B選項；根據即可判斷C選項；先求，再求即可求解.【詳解】對于A，函數的值域為，函數值域為，兩函數的值域不同，所以不是同一函數，故A錯誤；對于B，若函數在處有定義，則的圖像與直線的交點有1個；若函數在處沒有定義，則的圖像與直線沒有交點，故B正確；對于C，，所以，所以，所以，若則，故C正確；對于D，由，可得，所以，故D錯誤；故選：BC.10．若函數，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用冪函數的性質及函數的單調性的性質，結合特殊值法及構造函數法即可求解.【詳解】由冪函數的性質知，在上單調遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數單調性的性質知，在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.11．(多選)已知函數f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．若a2－b≤0，則f(x)在區間[a，＋∞)上是增函數B．存在a∈R，使得f(x)為偶函數C．若f(0)＝f(2)，則f(x)的圖象關于x＝1對稱D．若a2－b－2＞0，則函數h(x)＝f(x)－2有2個零點【答案】AB【分析】對式子進行配方，然后根據條件去絕對值，再根據對稱軸可判斷A的正誤，利用特例可判斷BC的正誤，對于D，將的零點轉化為的解，討論后可求判斷D的正誤.【詳解】對于選項A，若a2－b≤0，則f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，故在[a，＋∞)上是增函數，故A正確；對于選項B，當a＝0時，f(x)＝|x2＋b|顯然是偶函數，故B正確；對于選項C，取a＝0，b＝－2，函數f(x)＝|x2－2ax＋b|化為f(x)＝|x2－2|，滿足f(0)＝f(2)，但f(x)的圖象關于x＝1不對稱，故C錯誤；對于選項D，令即或，整理得到或，而，故有兩個不同的解，且有兩個不同的解，且兩個方程的解相異，故有4個零點，故D錯誤．故選：AB．12．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為B．在上的值域為C．若在上單調遞減，則D．若，則在定義域上單調遞增【答案】AC【分析】求得的定義域判斷選項A；求得在上的值域判斷選項B；求得a的取值范圍判斷選項C；求得時的單調性判斷選項D.【詳解】選項A：由得，則的定義域為.判斷正確；選項B：，由，可得，則，當時，，則在上的值域為；當時，，，即在上的值域為；當時，，，即在上的值域為.綜上，當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為.判斷錯誤；選項C：，若在上單調遞減，則，解之得.判斷正確；選項D：，則時，在和上單調遞增.判斷錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數f(x)＝(4－x)(x－2)在區間(2a，3a－1)上單調遞增，則實數a的取值范圍是________.【答案】【分析】根據二次函數的性質列出不等式組，求解即可.【詳解】f(x)是開口向下的二次函數，其對稱軸x＝3解得故答案為：【點睛】本題主要考查了根據函數的單調性求參數的范圍，屬于中檔題.14．不等式的解為______.【答案】【分析】根據冪函數的性質確定冪函數的奇偶性與單調性即可解不等式.【詳解】解：冪函數的定義域為，且函數在上單調遞增，又，則為偶函數，所以在上單調遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.15．已知甲、乙兩地相距.根據交通法規，兩地之間的車速應限制在.假設油價是7元/，某汽車以的速度行駛，其耗油量為，司機每小時的工資是35元.如果不考慮其他費用，那么該汽車從甲地到乙地的總費用最低是____元，此時車速是___.【答案】210；60【分析】根據題意寫出總費用關于x的函數解析式，再運用導數求函數最值即可得出答案.【詳解】設汽車從甲地到乙地的總費用為函數，根據題意可寫出函數的解析式為：當時，，在上為單調減函數，在上為單調增函數當時，取得最小值，故答案為：210；60.16．已知函數，若函數與軸有個交點，則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】先將函數與軸有個交點，轉化成與的交點問題，再作出分段函數的圖像，利用數形結合求得范圍即可.【詳解】依題意，函數與軸有個交點，即與有3個交點，作分段函數的圖像如下，由圖可知，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像，利用數形結合的方法求解.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數．（1）當時，解關于的不等式；（2）當時，求函數在上的最大值．【答案】（1）（2）【詳解】（1）借助絕對值的定義運用分類整合的數學思想將問題轉化為求兩個二次不等式的解集，最后再求其并集；（2）依據題設條件先運用分類整合思想求出函數的解析式，再分別借助二次函數的圖像和性質求二次函數的最大值問題：解：(1)當時，，解得或，所以當時，，得無實數解，

綜上所述，關于的不等式的解集為．

(2)當時，，當時，．

當時，，因為函數在上單調遞增，所以．

由，得，又，所以．

所以．18．已知函數的最小值為.(1)求的解析式；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據題意可知二次函數的對稱軸為，分類討論當、、時函數的單調性，求出對應的最小值即可；（2）由（1），結合一次函數、二次函數的性質可知函數在R上單調遞減，利用函數的單調性解不等式即可求解.【詳解】（1）函數，對稱軸為，當即時，函數在上單調遞增，所以，即；當即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即；當即時，函數在上單調遞減，所以，即，故.（2）由（1）知，當時，，函數單調遞減，當時，，對稱軸為，函數在上單調遞減，當時，，函數單調遞減，注意到是連續函數，所以函數在R上單調遞減.由，得，解得，故實數m的取值范圍為.19．已知函數.（1）作出函數的圖象；（2）求函數的單調區間，并指出其單調性；（3）求（）的解的個數.【答案】（1）詳見解析；（2）在，上單調遞減，在，上單調遞增；（3）當時，有兩個解；當時，有三個解；當時，有四個解；當時，有兩個解；當時，無解.【分析】（1）借助對稱性作的圖象即可，（2）由圖象寫出函數的單調區間即可；（3）（）的解的個數與圖象的交點個數，作出與（）的圖象，討論的位置得到解的個數.【詳解】（1）作的圖象如下，，（2）由圖象可知，在，上單調遞減，在，上單調遞增；（3）（）的解的個數與圖象的交點個數，在同一坐標系下作與的圖象，易知直線有如下幾種位置（虛線部分），①

當時，與的圖象有兩個交點，兩個解；②

當時，與的圖象有三個交點，三個解；③

當時，與的圖象有四個交點，四個解；④

當時，與的圖象有兩個交點，兩個解；⑤

當時，與的圖象有無交點，無解；【點睛】本題考查函數圖象和函數零點的應用，考查數形結合思想，考查轉化思想，考查邏輯思維能力，正確作出函數圖象是解題的關鍵，屬于中檔題.20．某品牌手機公司的年固定成本為50萬元，每生產1萬部手機需增加投入20萬元，該公司一年內生產萬部手機并全部銷售完當年銷售量x低于40萬部時，每銷售1萬部手機的收入萬元；當年銷售量x不低于40萬部時，每銷售1萬部手機的收入萬元(1)寫出年利潤y萬元關于年銷售量x萬部的函數解析式；(2)年銷售量為多少萬部時，利潤最大，并求出最大利潤．【答案】(1)(2)38萬部時，最大利潤為7170萬元.【分析】（1）依題意，分和兩段分別求利潤=收入-成本，即得結果；（2）分和兩段分別求函數的最大值，再比較兩個最大值的大小，即得最大利潤.【詳解】（1）依題意，生產萬部手機，成本是（萬元），故利潤，而，故，整理得，；（2）時，，開口向下的拋物線，在時，利潤最大值為；時，，其中，在上單調遞減，在上單調遞增，因為，故時，取得最小值故在時，y取得最大值而，故年銷售量為38萬部時，利潤最大，最大利潤為7170萬元.21．已知二次函數的圖像與直線只有一個交點，且滿足，．(1)求二次函數的解析式；(2)若對任意，，恒成立，求實數m的范圍．【答案】(1)(2)或或；【分析】（1）由已知可得二次函數的對稱軸和最值，設出函數解析式，再由求得結論；（2）由的單調性得出的最小值，而關于的不等式是一次（時）的，只要和時成立即可，由此可解得的范圍；【詳解】（1）因為，所以由二次函數的性質可得的圖像關于對稱，又二次函數的圖像與直線只有一個交點，所以可設又因為，解得，所以．（2）由（1）得在區間單調遞增，即在時恒成立，且或或.22．已知是定義在上的函數，若滿足且.(1)求的解析式；(2)判斷函數在上的單調性（不用證明），并求使成立的實數t的取值范圍；(3)設函數，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)單調遞增，(3)【