2023—2024學年度第一學期九年級期末質量監測數學注意事項：1．滿分120分，答題時間為120分鐘。2．請將各題答案填寫在答題卡上。一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1~6小題各3分，7~16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵．代入特殊角的三角函數值計算即可．【詳解】解：．故選B．2.若，則下列變形不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了比例的性質，能熟記比例的性質是解此題的關鍵，如果，那么．【詳解】解：由得，，A、∵，∴，故本選項不符合題意；B、∵，∴，故本選項不符合題意；C、，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意．故選：D．3.某中學從校射擊隊隊員中選拔一名選手參加男子射擊比賽，小明和小剛入選，二人最近10次校內比賽的平均成績均為9.6環，小明成績的方差，小剛成績的方差．若教練組根據平均成績和方差決定派小剛去參加比賽，則的值可能為（）A.0.34 B.0.36 C.0.4 D.0.42【答案】A【解析】【分析】本題考查根據方差和平均數做決策．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．【詳解】解：小明和小剛的平均成績均為9.6環，∴派小剛去參加比賽是因為小剛的方差小，相對穩定，∴，符合條件的為0.34，故選A．4.如圖，點A，B，C在上，連接．若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據圓周角定理解答即可.【詳解】解：∵，∴；故選：C.【點睛】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半是解題關鍵.5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數移項到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．解題時首先進行移項，變形成，兩邊同時加上4，則把左邊配成完全平方式，右邊化為常數．【詳解】解：，∴，∴，∴，故選：A．6.已知反比例函數，下列說法正確的是（）A.圖像經過點 B.隨的增大而減小C.圖像不可能和軸相交 D.圖像是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數的圖像與性質，熟記性質是解題的關鍵．依據反比例函數的圖像與性質逐一判斷即可．【詳解】解：A．當時，，故點不在圖像上，此選項錯誤，不符合題意；B．在每一象限內隨的增大而減小，故說法錯誤，不符合題意；C．圖像不可能和軸相交，符合題意；D．圖像既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，說法錯誤，符合題意；故選：C．7.如圖，周末小新一家來到河北石家莊正定古城游元，一座古塔塔高為，小新在距離古塔的位置觀看古塔時，與觀看到的手中的景點地圖的古塔縮略圖感覺相同（），若縮略圖中的古塔高為，則縮略圖距離眼睛的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的性質，熟練的利用相似三角形的性質建立方程求解是關鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，∴，∴，∴，經檢驗符合題意；故選A8.若的半徑為5，圓心的坐標為，則平面直角坐標系的原點與的位置關系是（）A.在內 B.在外 C.在上 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．【詳解】解：，∴原點在上，故選C．9.現有甲、乙兩組數據，數據甲：1，2，3，4．數據乙：2021，2022，2023，2024．若數據甲的平均數為，乙的平均數為，則與之間的關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查算術平均數的含義．先求解兩組數據的算術平均數，從而可得答案．【詳解】解：，，∴，故選B10.如圖，定點在的邊上，動點從點向點運動，運動時間為，過點作弧，交邊于點．若弧的長為，扇形的面積為，則與，與之間滿足的函數關系式分別是（）A.正比例函數關系，一次函數關系 B.二次函數關系，一次函數關系C正比例函數關系，二次函數關系 D.二次函數關系，正比例函數關系【答案】C【解析】【分析】設，首先根據題意得到，然后根據扇形弧長公式和扇形面積公式列出表達式進而求解即可．【詳解】解：設，∵動點從點向點運動，運動時間為，設運動速度為1，∴，∴∴與之間滿足的函數關系式是正比例函數關系；∴，∴S與之間滿足的函數關系式是二次函數關系．故選：C．【點睛】此題考查了正比例函數關系和二次函數關系的概念，扇形的弧長和面積公式，解題的關鍵是熟練掌握扇形的弧長和面積公式．11.如圖，ABC與DEF位似，點O為位似中心，已知OA：AD＝1：2，則ABC與DEF的面積比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9【答案】D【解析】【分析】根據位似圖形的概念得到AB∥DE，根據相似三角形的性質計算，得到答案．【詳解】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC與△DEF位似，∴AB∥DE，∴△OBA∽△OED，∴，即△ABC與△DEF的相似比為，∴△ABC與△DEF的面積比＝＝，故選：D．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．12.亮亮在解一元二次方程：□時，不小心把常數項丟掉了，已知這個一元二次方程有實數根，則丟掉的常數項的最大值是（）A.1 B.0 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】設常數項為c，利用判別式的意義得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范圍，然后在此范圍內確定最大值即可．【詳解】解：設常數項為c，根據題意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值為9．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．13.一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查反比例函數圖象與一次函數的圖象共存問題，可分和兩種情況討論函數圖象經過的象限進行判斷即可【詳解】解：當時，，則一次函數的圖象過第一、三、四象限，反比例函數的圖象分布在第一、三象限，選項D符合條件的；當時，，則一次函數的圖象過第一、二、四象限，反比例函數的圖象分布在第二、四象限，選項A符合條件，A、B、C、D都不符合條件的；故選：D14.如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，若的三個頂點都在小正方形的頂點上，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】本題考查的是勾股定理的應用，求解銳角的正切，如圖，過作于，求解，利用等面積法求解，再利用勾股定理求解，，再利用正切的含義計算即可．【詳解】解：如圖，過作于，∵，，，∴，∴，∴；故選A15.已知二次函數的圖像的對稱軸為直線，且拋物線經過點和點．若，則的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】題考查了二次函數的對稱性，根據拋物線的對稱軸，利用對稱軸，確定P的對稱點，利用數形結合思想，確定m的范圍是解題的關鍵.【詳解】解：點關于對稱軸的對稱點坐標為，∵，開口向上，離對稱軸越遠，函數值越大，∴點離對稱軸近，∴，故選A．16.白老師布置了如下題目：“如圖，以為直徑的半圓上有一點，且，，M為直徑上一動點，點與點關于對稱，于點，交的延長線于點．”要求同學們添加一個條件，提出問題，并給出相應問題的答案，則兩位同學中正確的是（）嘉嘉：當時，與半圓相切．琪琪：若點恰好落在弧上，則．A.只有嘉嘉 B.只有琪琪 C.兩人都正確 D.兩人都不正確【答案】C【解析】【分析】連接，，如圖所示，證明是等邊三角形．證明，結合點N與點M關于對稱，可得，可證明與半圓相切．證明，當點P恰好落在弧上時，連接、，證明，是的垂直平分線，可得，，求解，可得，從而可得答案．【詳解】解：當時，連接，，如圖所示，∵，∴，∴是等邊三角形．∴．∵，，∴，∴．∴，∴，∵點N與點M關于對稱，∴，∴，∴，∵經過半徑的外端，且，∴與半圓相切．∴嘉嘉正確；∵點N與點M關于對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當點P恰好落在弧上時，連接、，∵點N與點M關于對稱，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵是半的直徑，∴，∴，∴，∴，∴琪琪正確，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，圓周角定理，切線的判定與性質，軸對稱的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，銳角三角函數的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．二、填空題（本大題共3個小題，共10分．17小題2分，18~19小題各4分，每空2分）17.某中學2022年用于教學設施的投資為4萬元，預計2024年用于教學設施的投資達到4.84萬元，設這兩年教學設施投資的年平均增長率為，由題意可列方程：_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，可得024年用于教學設施的投資元，進而可求解；掌握增長率的典型模型（）的解法是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，故答案：．18.已知拋物線，該拋物線與軸的交點坐標為______，將拋物線向右平移5個單位長度，則平移后的頂點坐標為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點，圖象的平移；當時，，即可求與軸的交點坐標，將拋物線解析式化成頂點式，再按平移的拋物線解析式變化規律“左加右減”進行求解即可；掌握平移變化規律是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，拋物線與軸的交點坐標為；，將拋物線向右平移5個單位長度得：；平移后的頂點坐標為；故答案：，．19.如圖，在矩形ABCD中，，，為AD左側一點，且，連接，N為的中點，為直線AB上一點，且，連接．（1）若，則_______．（2）的最大值為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查含30°的三角形的性質，直角所對的弦是直徑，勾股定理，根據直角所對的弦是直徑確定點M的運動路徑是解題的關鍵．（1）直接利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出長，然后利用勾股定理計算即可；（2）現根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，然后根據，得到點在以AD為直徑的半圓O上運動，當過圓心時，最大，即最大，根據勾股定理求出即可解題．【詳解】解：（1）∵，，∴；∴，（2）∵，N為的中點，∴，∵，∴，∴點在以AD為直徑的半圓O上運動，如圖，當過圓心時，最大，即最大，這時，，∴，∴，故答案為：；．三、解答題（本大題共7個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍．（2）當時，求這個方程的解．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根判別式，用配方法解一元二次方程；（1）根據題意，可得，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．【小問1詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：；【小問2詳解】當時，原方程為，移項得：，配方得：，即，直接開平方得：解得：．21.如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于，兩點．（1）求一次函數與反比例函數的表達式．（2）過點作軸，垂足為，連接，求點的坐標，并直接寫出的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，用待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，三角形的面積的應用．（1）把A的坐標代入一次函數和反比例函數的解析式，求出其解析式；（2）把B的坐標代入一次函數的解析式，求出B的坐標，根據求出三角形的面積即可．【小問1詳解】解：把代入和得：，解得：，∴一次函數解析式，反比例函數解析式為；【小問2詳解】解：把代入得，∵軸，垂足為，∴，∴．22.向陽中學評選“優秀學生干部”由A．德行分數，B．集體榮譽分數，C．愛心奉獻分數，D．學業成績四部分的分數綜合核算得出結果．珍珍同學入圍最后一輪評選，她的四部分的分數如圖1所示．核算平均分數高于83分可獲得“優秀學生干部”稱號．（1）珍珍分數的眾數為______，中位數為______，若只按圖1中分數的平均分數評選，珍珍______（填“能”或“不能”）獲得“優秀學生干部”稱號．（2）若四部分的分數按圖2比例計算平均分數，請通過計算說明珍珍能否獲得“優秀學生干部”稱號．【答案】（1）90；85；不能（2）能，理由見解析【解析】【分析】本題考查的是中位數，眾數，平均數的含義，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵；（1）根據眾數，中位數，平均數的含義可得答案；（2）先求解加權平均數，再與83分比較即可得到答案．【小問1詳解】解：∵分出現的次數最多，∴眾數是分，分數排序為：，，，，∴中位數為：（分），平均數為：（分），∴珍珍不能獲得“優秀學生干部”稱號．【小問2詳解】∵（分），∴珍珍能獲得“優秀學生干部”稱號．23.如圖，彩旗旗桿AB用，AD兩根鋼絲固定在地面上，點A，B，C，D在同一平面內，，，，．（1）求旗桿AB部分的長．（2）求鋼絲的總長度．（結果保留根號）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用；（1）利用的正切解題即可；（2）在中運用勾股定理求出長，在中運用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD長即可得到答案．【小問1詳解】解：在中，，∴；【小問2詳解】解：，在中，,∴，∴鋼絲的總長度為．24.如圖，四邊形內接于，是直徑，，連接，．（1）求的度數．（2）求弧的長．（3）移動點，使為弧的中點，請直接寫出此時的長．【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）由是的直徑，得到，則可得到，根據圓內接四邊形對角互補可得；（2）如圖所示，連接，由圓周角定理得到，再根據弧長公式求解即可；（3）如圖所示，過點D作于E，由含30度角的直角三角形的性質得到；再證明，由三線合一定理得到，求出，則．【小問1詳解】解；∵是的直徑，∴，∵，∴，∵四邊形是圓內接四邊形，∴【小問2詳解】解：如圖所示，連接，∵是的直徑，，∴，∵，∴，∴弧的長；【小問3詳解】解：如圖所示，過點D作于E，中，，∴；∵為弧的中點，∴弧與弧相等，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，弧與弦之間的關系，求弧長等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．25.圖中是拋物線形拱橋，以為原點，水面所在直線為軸建立平面直角坐標系．如圖1，點為橋拱的弧頂，在橋拱的點處安裝一照明燈．（1）求圖1中橋拱所在拋物線的函數表達式．（2）求的值．（3）如圖2，為方便船只通過，拱橋的橋拱需擴建，擴建后的橋拱所在拋物線與原橋拱所在拋物線的開口大小相同，照明燈安裝在點處，求擴建后拱橋的橋拱跨度（即的長）．【答案】（1）（2）（3）10【解析】【分析】本題考查二次函數的應用，掌握待定系數法求二次函數解析式是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求解可得；（2）把點的坐標代入解析式即可；（3）求出擴建后函數解析式，求出時的值即可