/專題06等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓題型二直角三角形中的分類討論問題專訓【重難點訓練】等腰三角形中的15道分類討論問題直角三角形中的15道分類討論問題【知識梳理】1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題即可．1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論．2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）【經典例題一等腰三角形中的分類討論問題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學校考期末）在平面直角坐標系中，已知，，若點在坐標軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【變式訓練】1．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）如圖．在中，，．點P為直線上一動點，若點P與三個頂點中的兩個頂點構造成等腰三角形，那么滿足條件的點P的位置有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．9個2．（2023秋·山東濱州·八年級統考期末）(1)如圖，在等邊中，平分交于點，過點作于點，且，則的長為______________(2)如圖，在平面直角坐標系中，點，點P在坐標軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有___________個．3．（2023·遼寧鞍山·統考三模）在中，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于，兩點，直線與交于點，連接，若為等腰三角形，則的度數為___________．4．（2023春·上海楊浦·七年級統考期末）已知在中，，點是邊上一點，．

(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點作，垂足為點，與相交于點．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數．5．（2020秋·廣東潮州·八年級統考期中）如圖，已知中，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點A向點C以的速度運動．若P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發，回答下列問題：

(1)經過后，此時______，______；(2)在（1）的條件下，證明：；(3)求經過多少秒后，為等腰三角形且周長為?【知識梳理】2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論．2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）【經典例題二直角三角形中的分類討論問題】【例2】（2023秋·河南洛陽·八年級統考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發，且它們的速度都是，當運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【變式訓練】1．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中校考開學考試）如圖，點P、Q分別是邊長為的等邊的邊上的動點（其中P，Q不與端點重合），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為，連接交于點M，下列結論：①；②的度數等于；③當為直角三角形時，秒．其中正確的結論有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2023春·北京海淀·八年級中關村中學校考期中）如圖，在中，，，，有一動點自向以的速度運動，動點自向以的速度運動，若，同時分別從，出發．

（1）經過___________秒，為等邊三角形；（2）經過___________秒，為直角三角形．3．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯考期中）如圖，在中，，，平分交于點D，點E是上一個動點．若是直角三角形，則的度數可以是_____．4．（2022秋·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學校考期中）如圖1，在中，，動點以每秒的速度從點出發，沿線段向點運動．設點的運動時間為秒．（知識儲備：一個角是的等腰三角形是等邊三角形．直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半．）．(1)當時，求證：是直角三角形．(2)如圖2，若另一動點在線段上以每秒的速度由點向點運動，且與點同時出發，點到達終點時點也隨之停止運動．當是直角三角形時，直接寫出的值．(3)如圖3，若另一動點從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，且與點同時出發．當點到達終點時點也隨之停止運動，連接交于點，過點作于．在運動過程中，線段的長度是否發生變化？為什么？5．（2022秋·江蘇淮安·八年級統考期中）如圖1所示，在邊長為12的等邊中，動點P以的速度從點A出發，沿線段向點B運動設點P的運動時間為，．(1)當_____時，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動點Q從點C出發，沿線段向點A運動，且動點P，Q均以的速度同時出發，那么當_____時，是直角三角形(3)如圖3，若另一動點Q從點C出發，沿射線方向運動，且動點P，Q均以的速度同時出發．當點P到達終點B時，點Q也隨之停止運動，連接交于點D，過點P作于E，試問線段的長度是否變化？若変化，請說明如何變化；若不變，請求出的長度．【重難點訓練】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓1．（2023·全國·九年級專題練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數為（）A． B．或 C． D．或2．（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點D是射線BP上一點，如果點D滿足是等腰三角形，那么的度數是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°3．（2021秋·河北邢臺·八年級統考期末）若以的一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．（2022秋·河南三門峽·八年級校考期末）如圖，在等腰三角形中，，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的腰上的一點，則當為等腰三角形時，的度數是______．5．（2021秋·內蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學校考期中）（1）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數為___．6．（2023秋·安徽六安·八年級統考期末）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點D在邊上，點E在邊上，且，，則的度數為____________．7．（2022·內蒙古呼和浩特·統考一模）在中，，，，在直線BC上取一點P使得是等腰三角形，則可以考慮點P在線段延長線上和______上的情況；當點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為______．8．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，是等腰三角形，平分；點是射線上一點，如果點滿足是等腰三角形，那么的度數是____．

9．（2022秋·浙江·八年級專題練習）很多三角形過它一個頂點的一條直線，可把它分成兩個小等腰三角形．由此，請你探究如下幾個問題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請你在圖2、圖3中，分別過一個你認為合適的三角形頂點畫出一條直線，把它們各自分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所得小等腰三角形兩個底角的度數（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個等腰三角形，分成兩個小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個小等腰三角形嗎？若能，請你設計符合上述條件且6個內角度數均不同的兩個三角形，并且分別過一頂點畫一直線分成兩個小等腰三角形；同時標出所得小等腰三角形兩個底角的度數（不證明）；若不能，請說明理由．10．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）綜合與實踐在等腰三角形紙片中，，．現要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺規解決這一問題的過程，請閱讀后完成相應的任務．作法：如圖1．①分別作，的垂直平分線，交于點；②連接，，結論：沿線段，，剪開，即可得到三個等腰三角形理由：∵點在線段的垂直平分線上，∴______．（依據）同理，得∴∴，，都是等腰三角形．任務：(1)上述過程中，橫線上的結論為______，括號中的依據為______．(2)受小文的啟發，同學們想到另一種思路：如圖2，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，交于點．在此基礎上構造兩條線段（以圖中標有字母的點為端點）作為裁剪線，也可解決問題．請在圖2中畫出一種裁剪方案，并求出得到的三個等腰三角形及相應頂角的度數．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，．請在圖3中設計出一種裁剪方案，將該三角形紙片分成三個等腰三角形．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，說明裁剪線）11．（2022秋·浙江·八年級專題練習）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答下列問題：（1）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發現：當∠A≠36°時，一些等腰三角形也具有這樣的特性，即經過等腰三角形某一頂點的一條直線可以把該等腰三角形分成兩個小等腰三角形．則∠A的度數為______（寫出兩個答案即可）；并畫出相應的具有這種特性的等腰三角形及分割線的示意圖，并在圖中標出兩個小等腰三角形的各內角的度數．（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出一個具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出兩個小等腰三角形的各內角的度數．12．（2022春·七年級單元測試）綜合與探究：在綜合實踐課上，張老師首先出示了例題．例題：在等腰三角形中．，求的度數．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發同學們進行變式，小敏同學編了如下一題：變式：在等腰三角形中，，求的度數

（1）請你解答以上變式題；（2）解（1）后，小敏發現，的度數不同，得到的度數的個數也可能不同，在等腰三角形中，設，當有三個不同的度數時，請你探索的取值范圍然后張老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數學活動如圖，在中，，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示位置放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經過點，并且與的夾角，斜邊交于點拓展：（3）小華發現在點的滑動過程中，的形狀也在改變，請你探索可以是等腰三角形嗎？若不可以，請說明理由；若可以，請求出的大小13．（2022秋·北京西城·八年級北京市西城外國語學校校考期中）對于所有直角三角形，我們都可以將其分割為兩個等腰三角形；例如：如圖，已知，，作直角邊AB的垂直平分線DE，分別交BC與AB于D，E兩點，連接AD，則AD將分割成兩個等腰三角形，．(1)請在以下證明過程中填入適當理由證明：DE垂直平分AB（）（）在中，，（）、是等腰三角形．(2)根據上述方法，將下面三角形分割成4個等腰三角形；（尺規作圖，保留作圖痕跡）(3)將下面的不等邊三角形分割成5個等腰三角形；（不要求尺規，準確作圖并用相同的記號標出相等的線段）14．（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）若和均為等腰三角形，且，當和互余時，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊上的高叫做的“余高”如圖，與互為“底余等腰三角形”．(1)若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)當時，若的“余高”，則______；(3)當時，判斷與之間的數量關系，并說明理由．15．（2022秋·全國·八年級期末）如圖①，中，，、的平分線交于O點，過O點作交于E、F．(1)圖中有幾個等腰三角形？猜想：與、之間有怎樣的關系，并說明理由．(2)如圖②，若，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中與、間的關系還存在嗎？(3)如圖③，若中的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點作交于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？與、關系又如何？說明你的理由．題型二直角三角形中的分類討論問題專訓1．（2020秋·山東煙臺·七年級統考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點P在邊AC上以1cm/s的速度從點A向終點C運動，與此同時點Q在邊AB上以同樣的速度從點B向終點A運動，各自到達終點后停止運動，設運動時間為t（s），則當△APQ是直角三角形時，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s2．（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考期末）等邊的邊長為，點、分別是邊、上的動點，點、分別從頂點、同時出發，且速度都是，則經過______秒后，是直角三角形．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點P是BC邊上的動點，設，當為直角三角形時，x的值是______．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當是直角三角形時，的值為______．5．（2023春·八年級課時練習）如圖，中，，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊順時針運動，已知點M的速度為/s，點N的速度為2/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．當點M、N運動_____秒后，可得到直角三角形．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統考期中）如圖，等邊三角形的邊長是2，點在等邊三角形的邊上（除點外），以為一邊作等邊三角形，頂點、、逆時針排序．若三角形是直角三角形時，則的長度是____________．7．（2022秋·北京順義·九年級校考期中）如圖，在中，，，，點為中點，若動點以1cm/s的速度出發，沿著由的方向運動，設點E運動的時間為秒，連接，當為直角三角形時的值為______．8．（2023·河北·模擬預測）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發，沿方向勻速運動，點P的速度是，點Q的速度是，當Q到達C點時，P、Q兩點停止運動，設P、Q兩點運動的時間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．9．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學校考階段練習）如圖，已知，P點是射線上的一個動點，，（1）當______時，是直角三角形；（2）設，則滿足______時，是鈍角三角形．10．（2023春·全國·八年級專題練習）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關于點的二分割線，則的度數為______．11．（2023春·廣東河源·八年級校考期中）如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點P從A點出發，以的速度向B運動，同時點Q從B點出發以速度向C運動，當Q點到達點時，兩點停止運動．設點P的運動時間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數式表示）(2)當t為何值時，是等邊三角形？(3)當t為何值時，是直角三角形？12．（2023春·陜西西安·八年級校聯考階段練習）如圖1，P，Q分別是邊長為的等邊的邊，上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為，運動的時間為，直線，交于點M．(1)求的度數．(2)當t為何值時，是直角三角形？(3)如圖2，若點P，Q在運動到終點后繼續在射線，上運動，求的度數．13．（2022秋·河北邯鄲·八年級校考期中）如圖，在中，，，點P是上的一動點，，，連接．(1)求證：．(2)能否是直角三角形?若能，請直接寫出此時點P的位置；若不能，請說明理由．(3)當點P在上什么位置時，是等腰三角形?請直接寫出此時點P的位置．14．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學校考期末）如圖，在等邊中，厘米，厘米．如果點以3厘米/秒的速度運動．(1)如果點在線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動．它們同時出發，若點的運動速度與點的運動速度相等．經過2秒后，和是否全等？請說明理由．(2)在（1）的條件下，當兩點的運動時間為多少時，是一個直角三角形？(3)若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發，點以原來的運動速度從點同時出發，都順時針沿三邊運動，經過25秒點與點第一次相遇，請直接寫出點的運動速度是多少厘米/秒？15．（2023春·廣東河源·八年級統考期中）如圖①，和中，，，且，，的延長線交交于點．(1)求證：；(2)當是等邊三角形時，求的度數；(3)如圖②，當是直角三角形時，請直接寫出的度數為________；如圖③，當是任意等腰三角形時，請直接寫出與某個內角之間的數量關系為________．

專題06等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓題型二直角三角形中的分類討論問題專訓【重難點訓練】等腰三角形中的15道分類討論問題直角三角形中的15道分類討論問題【知識梳理】1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題即可．1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論．2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）注意：本專題部分題目涉及勾股定理，希各位同學可以學習完第3章后再完成該專題訓練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經典例題一等腰三角形中的分類討論問題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學校考期末）在平面直角坐標系中，已知，，若點在坐標軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】根據等腰三角形的定義，分別以A為圓心，為半徑畫圓；以B為圓心，為半徑畫圓；作的垂直平分線；它們與坐標軸的交點即為點C的位置．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，為半徑畫圓，交坐標軸于點B，，，，得到以A為頂點的等腰，，；②以B為圓心，為半徑畫圓，交坐標軸于點A，，，，得到以B為頂點的等腰，，；③作的垂直平分線，交坐標原點于，得到以為頂點的等腰，∴符合條件的點C共7個，故選：D．

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質，能夠找出所有C點的位置是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）如圖．在中，，．點P為直線上一動點，若點P與三個頂點中的兩個頂點構造成等腰三角形，那么滿足條件的點P的位置有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．9個【答案】C【分析】利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所有構成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點的個數．【詳解】解：如圖：在中，，，，當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當與重合時，為等腰三角形；當與重合時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；綜上，滿足條件的點的位置有8個．故選：C．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定．2．（2023秋·山東濱州·八年級統考期末）(1)如圖，在等邊中，平分交于點，過點作于點，且，則的長為______________(2)如圖，在平面直角坐標系中，點，點P在坐標軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有___________個．【答案】48【分析】(1)首先可求得，根據直角三角形的性質可求得，再根據等邊三角形的性質，即可求得的長；(2)分別以點O、A為圓心，以的長為半徑畫弧，以及作線段的垂直平分線，與坐標軸的交點即為所求的點P的位置．【詳解】解：(1)是等邊三角形，，，，，在中，，，，平分，且，，，，故答案為：4；(2)如圖所示，以O為圓心，以長為半徑，所作的圓與坐標軸有4個交點；以A為圓心，以為半徑，所作的圓與坐標軸有2個交點；作的垂直平分線，與坐標軸有2個點，故滿足條件的點P有8個，故答案為：8．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，等腰三角形的判定，坐標與圖形性質，利用數形結合的思想求解更簡便．3．（2023·遼寧鞍山·統考三模）在中，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于，兩點，直線與交于點，連接，若為等腰三角形，則的度數為___________．【答案】或【分析】根據題意，由尺規作圖知是的中垂線，再結合等腰三角形性質，設，得到，從而分類討論，結合三角形外角性質及內角和定理列方程求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，尺規作圖為中垂線，即是的中垂線，，，在中，，則，設，，若為等腰三角形，則分三種情況討論：①在中，，則，是的一個外角，，由三角形內角和定理可知，，解得，即；②在中，，則，是的一個外角，，由三角形內角和定理可知，，解得，即；③在中，，則，是的一個外角，，與互相矛盾，故此種情況不存在；綜上所述，的度數為或．故答案為：或．【點睛】本題考查尺規作圖及等腰三角形性質與判定，讀懂題意，根據等腰三角形性質分類討論是解決問題的關鍵．4．（2023春·上海楊浦·七年級統考期末）已知在中，，點是邊上一點，．

(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點作，垂足為點，與相交于點．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②當時，或當時，．【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得，推得，根據等腰三角形的判定即可證明；（2）①根據三角形內角和可推得，設，則，推得，，即可得到；②根據等腰三角形的性質進行分類討論：當時，，推得，，即可求得；當時，，推得，即可求得；當時，，，故不存在．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴．（2）①∵，∴，∵，∴設，則．∴．∵，∴，∴．②∵是等腰三角形，∴ⅰ）；ⅱ）；ⅲ），ⅰ）當時，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；ⅱ）當時，，∵，∴．∴，∴，∴；ⅲ）當時，，∵，∴不存在．綜上所述，當時，或當時，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內角和，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．5．（2020秋·廣東潮州·八年級統考期中）如圖，已知中，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點A向點C以的速度運動．若P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發，回答下列問題：

(1)經過后，此時______，______；(2)在（1）的條件下，證明：；(3)求經過多少秒后，為等腰三角形且周長為?【答案】(1)4，4(2)見解析(3)或或【分析】（1）由題意得出，則，求出；（2）由，得出，證明，得出，由三角形的外角性質即可得出結論；（3）設當兩點同時出發運動t秒時，有，由題意得出，要使是等腰三角形，則可分為三種情況討論，①當時，②當時，③當時，分別得出方程，解方程，再進行判斷即可．【詳解】（1）當兩點分別從兩點同時出發運動2秒時，有，∴，故答案為：4，4；（2）由（1）得：，，∴，∵D為的中點，∴，∴，又∵，∴，在與中，，∴；

（3）設經過t秒后，為等腰三角形，由題意可得：，，，∵的周長為，∴，①當時，，所以；②當時，，所以；③當時，，所以，綜上，當或或時，為等腰三角形且周長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【知識梳理】2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論．2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）【經典例題二直角三角形中的分類討論問題】【例2】（2023秋·河南洛陽·八年級統考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發，且它們的速度都是，當運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【答案】A【分析】先證明，，由時間相同，速度相等，證明，可得，利用全等三角形的性質得出，根據，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點從頂點，點從頂點同時出發，它們的速度都是，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在、運動的過程中，不變，，∵，∴不可能是直角，∴只能是是直角，當是直角，即，∵，∴，∴，∴當運動時間為5秒時，是直角三角形．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，解決本題的關鍵是證明．【變式訓練】1．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中校考開學考試）如圖，點P、Q分別是邊長為的等邊的邊上的動點（其中P，Q不與端點重合），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為，連接交于點M，下列結論：①；②的度數等于；③當為直角三角形時，秒．其中正確的結論有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】B【分析】由等邊三角形的性質得出，證明可得出，由三角形的外角可得出，故①，②正確，當為直角三角形時，分兩種情況，得出t的方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，根據題意得：，在和中，，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；當時，∵，∴，∴，∴，解得，，當時，∵，∴，∴，∴，解得，，綜合以上可得為直角三角形時，或，故③不正確．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質解題的關鍵．2．（2023春·北京海淀·八年級中關村中學校考期中）如圖，在中，，，，有一動點自向以的速度運動，動點自向以的速度運動，若，同時分別從，出發．

（1）經過___________秒，為等邊三角形；（2）經過___________秒，為直角三角形．【答案】106或15【分析】（1）設經過秒，為等邊三角形，先求出，再根據等邊三角形的判定可得當時，為等邊三角形，由此建立方程，解方程即可得；（2）設經過秒，為直角三角形，分兩種情況：①和②，利用含30度角的直角三角形的性質求解即可得．【詳解】解：點自運動至所需時間為，點自運動至所需時間為，（1）設經過秒，為等邊三角形，由題意得：，，，要使為等邊三角形，則，，解得，符合題意，故答案為：10．（2）設經過秒，為直角三角形，由題意得：，，①當時，為直角三角形，，，即，解得，符合題意；②當時，為直角三角形，，，即，解得，符合題意；故答案為：6或15．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定、含30度角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質是解題關鍵．3．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯考期中）如圖，在中，，，平分交于點D，點E是上一個動點．若是直角三角形，則的度數可以是_____．【答案】或【分析】根據等腰三角形的性質可得，根據角平分線的性質可得，再分兩種情況：；；進行討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，當時，，則：；當時，．故的度數是或．故答案為：或．【點睛】考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，角平分線，注意分類思想的應用．4．（2022秋·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學校考期中）如圖1，在中，，動點以每秒的速度從點出發，沿線段向點運動．設點的運動時間為秒．（知識儲備：一個角是的等腰三角形是等邊三角形．直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半．）．(1)當時，求證：是直角三角形．(2)如圖2，若另一動點在線段上以每秒的速度由點向點運動，且與點同時出發，點到達終點時點也隨之停止運動．當是直角三角形時，直接寫出的值．(3)如圖3，若另一動點從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，且與點同時出發．當點到達終點時點也隨之停止運動，連接交于點，過點作于．在運動過程中，線段的長度是否發生變化？為什么？【答案】(1)見解析(2)或(3)線段的長度不變，為定值，理由見解析【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質證明即可；（2）分兩種情況：①當時，則，由直角三角形的性質得，由題意得出方程，解方程即可；②當時，則，由直角三角形的性質得，由題意得出方程，解方程即可；（3）過點作，交的延長線于，先證，得，再證，得，進而得出答案．【詳解】（1）證明∵是等邊三角形，∴，當時，，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：分兩種情況：①當時，如圖所示：則，∴，由題意可得：，則，∴，解得；②當時，如圖所示：則，∴，∴，解得：；綜上，當或時，△PAQ是直角三角形；（3）解：線段DE的長度不變化，理由如下：過點作Q，交的延長線于，如圖3所示：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，

∴，∵，∴，∴，即線段的長度不變，為定值．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質、直角三角形的性質以及動點問題等知識；本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質和直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．5．（2022秋·江蘇淮安·八年級統考期中）如圖1所示，在邊長為12的等邊中，動點P以的速度從點A出發，沿線段向點B運動設點P的運動時間為，．(1)當_____時，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動點Q從點C出發，沿線段向點A運動，且動點P，Q均以的速度同時出發，那么當_____時，是直角三角形(3)如圖3，若另一動點Q從點C出發，沿射線方向運動，且動點P，Q均以的速度同時出發．當點P到達終點B時，點Q也隨之停止運動，連接交于點D，過點P作于E，試問線段的長度是否變化？若変化，請說明如何變化；若不變，請求出的長度．【答案】(1)3(2)2或4(3)線段長度不變，【分析】（1）根據等邊三角形的性質，當，即為的中點時，是直角三角形，據此求解即可；（2）分①當時，②當時，根據含30度角的直角三角形的性質，建立一元一次方程求解即可；（3）過作，進而證明，可得，問題得解．【詳解】（1）解：依題意，，當是直角三角形時，，是等邊三角形，則此時為的中點，，，故答案為：3；（2）解：依題意，，，①當時，如圖，是等邊三角形，，，，則，在中，，，，即，解得；②當時，如圖，同理可得，即，解得；綜上所述，當t為或時，是直角三角形；（3）線段長度不變，理由如下：如圖，過點作，交于點F，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，∴，，，，，，的速度相等，，∴，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，掌握等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．【重難點訓練】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓1．（2023·全國·九年級專題練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】在等腰中，為腰上的高，，討論：當在內部時，如圖1，先計算出，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出；當在外部時，如圖2，先計算出，再根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出．【詳解】解：在等腰中，為腰上的高，，當在內部時，如圖1，∵為高，∴，∴，∵，∴；當在外部時，如圖2，∵為高，∴，∴，∵，∴，而，∴，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數為或．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．2．（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點D是射線BP上一點，如果點D滿足是等腰三角形，那么的度數是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°【答案】D【分析】由于中，腰底不確定，故需要分情況討論，然后根據等腰三角形的性質即可求出答案．【詳解】解：當時，如圖所示，，，，平分，，，，當時，如圖所示，，，，平分，，，．當時，如圖所示，，，，平分，，，，故的度數是：、或，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形的性質及分類討論的思想求解，本題屬于中等題型．3．（2021秋·河北邢臺·八年級統考期末）若以的一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】先以Rt△ABC三個頂點分別為圓心，再以每個頂點所在的較短邊為半徑畫弧，即可確定等腰三角形的第三個頂點，也可以作三邊的垂直平分線確定等腰三角形的第三個頂點．【詳解】解：如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則△ACD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交AB于點F，連接，CF則△BCD、△BCF是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，△ACD是等腰三角形，∴符合題意的等腰三角形最多能畫個，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的判定的應用，通過作垂直平分線或者畫弧的方法確定相等的邊是解題關鍵．4．（2022秋·河南三門峽·八年級校考期末）如圖，在等腰三角形中，，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的腰上的一點，則當為等腰三角形時，的度數是______．【答案】或【分析】過D作，，易證，，再根據四邊形內角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵點P是等腰的腰上的一點，，D為的中點，∴，過D作，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故答案為：或，【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．（2021秋·內蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學校考期中）（1）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數為___．【答案】8或640°或100°或140°【分析】（1）等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長，哪個是12，哪個是9，因此，有兩種情況，分類討論求解即可．（2）根據直角三角形兩銳角互余求出∠A，再分點A是頂角頂點，點A是底角頂點兩種情況求解．【詳解】解：（1）根據題意，畫出圖形，如圖所示，設等腰三角形的腰長AB=AC=2x，∵BD是腰上的中線∴AD=DC=x①若AB+AD的長為12，則2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的長為9，則2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案為：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，①如圖1，點A是頂角頂點時，頂角為∠A，是40°；②如圖2，點A是底角頂點時，頂角∠BCA=180°-40°×2=100°，③如圖3，點A是頂角頂點時，頂角∠BAC=180°-40°=140°，綜上所述，等腰△ABC的頂角的度數為40°或100°或140°．故答案為：40°或100°或140°．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是根據題意分情況討論．6．（2023秋·安徽六安·八年級統考期末）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點D在邊上，點E在邊上，且，，則的度數為____________．【答案】或．【分析】（1）利用等邊對等角得到三對角相等，設，表示出與，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出的度數；（2）設，①當時，利用三角形外角的性質得到，解得，②當時，利用三角形內角和定理得到，解得．【詳解】解：（1），，，，，設，則，，即，解得，則，故答案為：；（2）設，①當時，如圖：，；②當時，如圖：，，所以的度數為或；故答案為：或．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．7．（2022·內蒙古呼和浩特·統考一模）在中，，，，在直線BC上取一點P使得是等腰三角形，則可以考慮點P在線段延長線上和______上的情況；當點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為______．【答案】線段BC；2【分析】分P在線段BC上和線段的延長線上，按照等腰三角形的邊兩兩相等分三種情況分析即可求解．【詳解】解：可以考慮點P在線段延長線上和線段BC上的情況，如圖，∵由題意可得：在直線BC上取一點P∴當點P在線段BC上時，等腰三角形，點P在線段BC延長線時，等腰三角形，=2等腰三角形，=2點P在線段CB延長線上時等腰三角形，=2∴當點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為2故答案為∶線段BC；2；【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．8．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，是等腰三角形，平分；點是射線上一點，如果點滿足是等腰三角形，那么的度數是____．

【答案】40°、70°或100°【分析】先根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求得的度數，再分①當時，②當BC=BD時，③當BC=DC時，三種情況討論繼續運用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵∴,∵BP平分，∴,①當,即D點在D1處時，此時；②當BC=BD時，即D點在D2處時，此時，③當BC=DC時，即D點在D3處時，此時,綜上所述的度數是40°、70°或100°，故答案為：40°、70°或100°．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，角平分線有關計算，三角形內角和定理．能根據等腰三角形兩個底角相等，用其中一個角求出另外兩個角是解題關鍵．注意分類討論．9．（2022秋·浙江·八年級專題練習）很多三角形過它一個頂點的一條直線，可把它分成兩個小等腰三角形．由此，請你探究如下幾個問題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請你在圖2、圖3中，分別過一個你認為合適的三角形頂點畫出一條直線，把它們各自分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所得小等腰三角形兩個底角的度數（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個等腰三角形，分成兩個小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個小等腰三角形嗎？若能，請你設計符合上述條件且6個內角度數均不同的兩個三角形，并且分別過一頂點畫一直線分成兩個小等腰三角形；同時標出所得小等腰三角形兩個底角的度數（不證明）；若不能，請說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解．【分析】（1）根據等邊對等角，，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，則可得AD=BD=CB，因此△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）只要所給的三個角中有2個角是2倍關系都可得到等腰三角形．【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD與△BDC都是等腰三角形；（2）解：如下圖所示：（3）解：如下圖所示：【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；注意應根據題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個等腰三角形的一般結論．10．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）綜合與實踐在等腰三角形紙片中，，．現要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺規解決這一問題的過程，請閱讀后完成相應的任務．作法：如圖1．①分別作，的垂直平分線，交于點；②連接，，結論：沿線段，，剪開，即可得到三個等腰三角形理由：∵點在線段的垂直平分線上，∴______．（依據）同理，得∴∴，，都是等腰三角形．任務：(1)上述過程中，橫線上的結論為______，括號中的依據為______．(2)受小文的啟發，同學們想到另一種思路：如圖2，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，交于點．在此基礎上構造兩條線段（以圖中標有字母的點為端點）作為裁剪線，也可解決問題．請在圖2中畫出一種裁剪方案，并求出得到的三個等腰三角形及相應頂角的度數．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，．請在圖3中設計出一種裁剪方案，將該三角形紙片分成三個等腰三角形．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，說明裁剪線）【答案】(1)；線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等(2)是頂角為的等腰三角形；是頂角為的等腰三角形；是頂角為的等腰三角形（答案不唯一）(3)見解析；（答案不唯一）【分析】對于（1），根據線段垂直平分線的性質得出結論；對于（2），根據等腰三角形的性質得出，進而得出，即可判斷和的特征，然后根據等腰三角形的判定說明即可；對于（3），根據線段垂直平分線的性質定理得出結論．【詳解】（1），線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.故答案為：，線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；（2）答案不唯一，如圖，連接，，則，即為所求．∵，，∴．∵，∴，∴，∴是頂角為的等腰三角形．∵，∴，∴是頂角為的等腰三角形．∵，∴，∴，∴，∴，∴是頂角為的等腰三角形；（3）如圖，作，的垂直平分線，交于點D，E，連接，.裁剪線為和．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質定理，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．11．（2022秋·浙江·八年級專題練習）數學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答下列問題：（1）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發現：當∠A≠36°時，一些等腰三角形也具有這樣的特性，即經過等腰三角形某一頂點的一條直線可以把該等腰三角形分成兩個小等腰三角形．則∠A的度數為______（寫出兩個答案即可）；并畫出相應的具有這種特性的等腰三角形及分割線的示意圖，并在圖中標出兩個小等腰三角形的各內角的度數．（3）接著，小喬又發現：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形．請你畫出一個具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出兩個小等腰三角形的各內角的度數．【答案】（1）見解析；（2）90°或108°或；（3）見解析【分析】（1）根據等邊對等角，及角平分線定義易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°則可得AD＝BD＝CB∴△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中線等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線把直角三角形分為兩個等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個角要么是2倍關系，要么是3倍關系，可猜測只要所給的三個角中有2個角是2倍或3倍關系都可得到上述圖形．【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=36°∴∠ABC=∠C=（180°－∠A）=72°∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠1=∠A∴AD=BD∴△ABD是等腰三角形∵∠BDC=∠1+∠A=72°∴∠BDC=∠C=72°∴BD=BC，∴△BDC是等腰三角形（2）如下圖所示：∴頂角∠A的度數為90°或108°或，故答案為：90°或108°或；（3）如圖所示．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；注意應根據題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個等腰三角形的一般結論．12．（2022春·七年級單元測試）綜合與探究：在綜合實踐課上，張老師首先出示了例題．例題：在等腰三角形中．，求的度數．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發同學們進行變式，小敏同學編了如下一題：變式：在等腰三角形中，，求的度數

（1）請你解答以上變式題；（2）解（1）后，小敏發現，的度數不同，得到的度數的個數也可能不同，在等腰三角形中，設，當有三個不同的度數時，請你探索的取值范圍然后張老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數學活動如圖，在中，，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示位置放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經過點，并且與的夾角，斜邊交于點拓展：（3）小華發現在點的滑動過程中，的形狀也在改變，請你探索可以是等腰三角形嗎？若不可以，請說明理由；若可以，請求出的大小【答案】（1）或或；（2）當且時，有三個不同的度數；（3）是或或【分析】（1）分三種情況：當為頂角時，當為頂角時，當為頂角時，利用等腰三角形兩底角相等解答；（2）分為兩種情況：①當時，②當時，根據等腰三角形的性質求解；（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質，分別探究是等腰三角形的情況．【詳解】解：（1）∵，當為頂角時，為底角，則；當為頂角時，為底角，；當為頂角時，為底角，；（2）分為兩種情況：①當時，只能為頂角，∴的度數只有一個；②當時，若為頂角，則；若為底角，為頂角，則；若為底角，為底角，則；當且且，即時，有三個不同的度數，綜上所述，可知當且時，有三個不同的度數；（3）的形狀可以是等腰三角形，，①當時，是等腰三角形，∴，即，解得；②當時，是等腰三角形，∴，即，解得；③當時，是等腰三角形，∴，即，解得，此時點P與點B重合，點D和A重合，綜合上述：當或或時，是等腰三角形，即的大小是或或．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，熟記等腰三角形有兩個底角相等并應用是解題的關鍵．13．（2022秋·北京西城·八年級北京市西城外國語學校校考期中）對于所有直角三角形，我們都可以將其分割為兩個等腰三角形；例如：如圖，已知，，作直角邊AB的垂直平分線DE，分別交BC與AB于D，E兩點，連接AD，則AD將分割成兩個等腰三角形，．(1)請在以下證明過程中填入適當理由證明：DE垂直平分AB（）（）在中，，（）、是等腰三角形．(2)根據上述方法，將下面三角形分割成4個等腰三角形；（尺規作圖，保留作圖痕跡）(3)將下面的不等邊三角形分割成5個等腰三角形；（不要求尺規，準確作圖并用相同的記號標出相等的線段）【答案】(1)垂直平分線的性質；等邊對等角；等角對等邊(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據垂直平分線的性質，等腰三角形的性質與判定填空即可求解．（2）過點作的垂線交于點，分別作、的垂直平分線分別交、于點、，連接、；（3）模仿例題，利用垂直平分線的性質解決問題即可．【詳解】（1）證明：垂直平分（垂直平分線的性質）（等邊對等角）在中，，（等角對等邊）、是等腰三角形．故答案為：垂直平分線的性質；等邊對等角；等角對等邊（2）解：如圖所示，過點作的垂線交于點，分別作、的垂直平分線分別交、于點、，連接、，則、、、是等腰三角形；（3）解：如圖所示，【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．14．（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）若和均為等腰三角形，且，當和互余時，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊上的高叫做的“余高”如圖，與互為“底余等腰三角形”．(1)若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)當時，若的“余高”，則______；(3)當時，判斷與之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)是(2)6(3)，理由見解析【分析】（1）連接、，由，得，，，，即可由，推導出，則，所以，則與互為“底余等腰三角形”，于是得到問題的答案．（2）當時，則和都是等腰直角三角形，先證明≌，再證明，則，于是得到問題的答案；（3）作于點，由，得，再證明≌，得，則．【詳解】（1）解：如圖，連接、，，，，，，，，，，，，與互為“底余等腰三角形”，故答案為：是．（2）解：如圖，，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，故答案為：．（3）解：，理由：如圖，作于點，，，，，，在和中，，≌，，．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、同角的余角相等、新定義問題的求解等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．15．（2022秋·全國·八年級期末）如圖①，中，，、的平分線交于O點，過O點作交于E、F．(1)圖中有幾個等腰三角形？猜想：與、之間有怎樣的關系，并說明理由．(2)如圖②，若，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中與、間的關系還存在嗎？(3)如圖③，若中的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點作交于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？與、關系又如何？說明你的理由．【答案】(1)五個等腰三角形，；(2)還有兩個等腰三角形，為、，存在；(3)有等腰三角形：、，此時，見解析【分析】（1）圖中是等腰三角形的有：、、、、共五個，根據平行線的性質，等邊對等角即可得出，再根據，即可得出；（2）由，可得，再根據角平分線的定義得出∠1=∠2，進而得出∠1=∠3，所以為等腰三角形，在中，同理可證；（3）由于，可得，再根據角平分線的定義得出∠4=∠5，進而得出∠4=∠6，所以是等腰三角形，在中，同理可證是等腰三角形，【詳解】（1）解：∵，∴，∴是等腰三角形，∵、的平分線交于O點，∴，；∵，∴，；∴，；∴、是等腰三角形，∵，、的平分線交于O點，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等腰三角形，∴圖中是等腰三角形的有：、、、、共五個；與、的關系是．理由如下：∵，，，∴；（2）解：還有兩個等腰三角形，為、，如下圖所示：∵，∴，又∵，∴，∴為等腰三角形，在中，同理可證．∴存在．（3）解：有等腰三角形：、，此時，∵如下圖所示：，∴，又，∴，∴是等腰三角形，在中，同理可證是等腰三角形，∵，，∴，∴【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，比較綜合，難度一般，關鍵靈活運用等腰三角形的性質．題型二直角三角形中的分類討論問題專訓1．（2020秋·山東煙臺·七年級統考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點P在邊AC上以1cm/s的速度從點A向終點C運動，與此同時點Q在邊AB上以同樣的速度從點B向終點A運動，各自到達終點后停止運動，設運動時間為t（s），則當△APQ是直角三角形時，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s【答案】D【分析】先根據時間和速度確定兩動點P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根據直角三角形30度的性質得AB的長，分兩種情況：當∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根據AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得結論．【詳解】解：由題意得：AP＝BQ＝t，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴AC＝3，∴AB＝2AC＝6，∴當△APQ是直角三角形時，有兩種情況：①當∠APQ＝90°時，如圖1，∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴6﹣t＝2t，t＝2；②當∠AQP＝90°時，如圖2，當0＜t≤3時，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)，t＝4（不符合題意），當t＞3時，P與C重合，則AQ＝＝6﹣t，t＝4.5，綜上，t的值為2s或4.5s；故選：D．【點睛】本題考查了三角形中的動點問題，涉及含30°直角三角形的性質，解題的關鍵是用時間和速度表達出線段的長度，并熟悉直角三角形的性質．2．（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考期末）等邊的邊長為，點、分別是邊、上的動點，點、分別從頂點、同時出發，且速度都是，則經過______秒后，是直角三角形．【答案】或【分析】根據題意得出，求出，根據等邊三角形的性質得出，①若時，，根據含角的直角三角形的性質得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根據，得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：由題意得：，∴，∵是等邊三角形，∴，若時，，∴，即，解得：；若，∴，∴，即，解得：，所以當或時，是直角三角形；故答案為：或．【點睛】本題考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的應用，分情況討論是解題的關鍵．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點P是BC邊上的動點，設，當為直角三角形時，x的值是______．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①，②，分別作圖利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可解出x．【詳解】①當時，如圖所示，在中，，,②當時，如圖所示，在中，，，故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理；解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當是直角三角形時，的值為______．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質可得，由是直角三角形，分兩種情況討論，由含的直角三角形的性質可求的長．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，，由折疊可得，分兩種情況：①若，∵，∴，則：，又∵∴，∴，∴，②若，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質，折疊的性質的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．5．（2023春·八年級課時練習）如圖，中，，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊順時針運動，已知點M的速度為/s，點N的速度為2/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．當點M、N運動_____秒后，可得到直角三角形．【答案】或或或9【分析】分點N在，，上運動的三種情況，再分別就和列方程求解可得．【詳解】當點N在上運動時，如圖3，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當點N在上運動時，點M也在上，此時A，M，N不能構成三角形；當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當或或或9時，可得到直角三角形．故答案為：或或或9．【點睛】此題是三角形的綜合問題，主要考查了等邊三角形的性質、直角三角形的定義與性質、一元一次方程的應用，關鍵是根據題意設出未知數，理清線段之間的數量關系．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統考期中）如圖，等邊三角形的邊長是2，點在等邊三角形的邊上（除點外），以為一邊作等邊三角形，頂點、、逆時針排序．若三角形是直角三角形時，則的長度是____________．【答案】1【分析】根據等邊三角形的性質以及三角形全等的判定可證，再根據是直角三角形，以及三角形內角和定理可求出，然后再根據含直角三角形的三邊關系即可求解．【詳解】解：∵等邊三角形的邊長是2，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴即，∴，∴，，又∵是直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，含角的直角三角形的三邊關系，解題關鍵是證出．7．（2022秋·北京順義·九年級校考期中）如圖，在中，，，，點為中點，若動點以1cm/s的速度出發，沿著由的方向運動，設點E運動的時間為秒，連接，當為直角三角形時的值為______．【答案】2秒或秒．【分析】先求出的長，再分時，時，利用含的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，當時，而，如圖，∴，∴，∴，∵D為的中點，∴，∴，則，∴當時，如圖，由，，可得，∴，∴，∴，∴綜上所述，t的值為2秒或秒．故答案為：2秒或秒．【點睛】本題考查了含的直角三角形的性質，平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，清晰的分類討論解本題的關鍵．8．（2023·河北·模擬預測）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發，沿方向勻速運動，點P的速度是，點Q的速度是，當Q到達C點時，P、Q兩點停止運動，設P、Q兩點運動的時間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．【答案】或3【分析】用含t的代數式表示出，，再分和兩種情況，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，列出等式，即可求解．【詳解】解：等邊三角形的邊長為，，，由題意可知，點Q到達C點所用時間為：，．t秒時，，，若為直角三角形，分以下兩種情況：當時，，，，；當時，，，，，綜上可知，t的值是或3．故答案為：或3．【點睛】本題考查列代數式，等邊三角的性質，含30度角的直角三角形的性質等，解題的關鍵是牢記直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，注意分情況討論，避免漏解．9．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學校考階段練習）如圖，已知，P點是射線上的一個動點，，（1）當______時，是直角三角形；（2）設，則滿足______時，是鈍角三角形．【答案】6或24或【分析】（1）根據三角形內角和定理求出，然后分類討論，根據直角三角形的性質解答；（2）根據（1）的結論和鈍角三角形的定義解答．【詳解】解：（1）當時，，∴，當時，，∴，故答案為：6或24；（2）當或時，為鈍角三角形，故答案為：或．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質，掌握所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關鍵．10．（2023春·全國·八年級專題練習）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．例如：如圖，在中，，