/第15講圖上距離與實際距離、黃金分割模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解線段的比和成比例的線段；理解并掌握比例的基本性質；2．了解黃金分割的含義；理解黃金分割的意義，并能動手找到黃金分割點。1.回顧小學的比例尺公式假設四條線段a：b=c：d，我們之前學過的解法有哪些？內項之積等于外項之積化為分式，交叉相乘因此，在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。3.回顧比例的基本性質如果a：b=c：d，那么ad=bc；反過來，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a：b=c：d。因此，在比例式中a：b=b：c，那么b叫做a和c的比例中項。比例的合比性質：如果如果4.如圖，點B在線段AC上，且，設AC=1，求AB的長。解：解：因此，像上圖那樣，點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點B黃金分割，點B為線段AC的黃金分割點。AB與AC的比稱為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618考點一：比例的性質例1．若，則（

）A． B．1 C． D．35【變式1-1】如果(其中，)，那么下列式子中不正確的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知，則．【變式1-3】已知：＝＝，求的值．考點二：比例線段例2．如果線段a＝2cm，b＝10cm，那么的值為（）A． B．5 C．2 D．【變式2-1】已知臺灣省基隆市與高雄市的實際距離是，而在某張地圖上量得基隆與高雄的圖上距離約，則此地圖的比例尺為（）A．1:9?000?000 B．1:500?000C．1:900?000 D．1:5?000?000【變式2-2】在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實際距離為千米.【變式2-3】已知△ABC的三邊分別是a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，試判斷△ABC的形狀．考點三：成比例線段例3.已知線段a是線段b，c的比例中項，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】下列各組中的四條線段不是成比例線段的是（

）A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=，d=C．a=，b=3，c=2，d= D．a=2，b=，c=2，d=【變式3-2】四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則．【變式3-3】已知線段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．（1）求線段a與線段b的比．（2）如果線段a、b、c、d成比例，求線段d的長．（3）b是a和c的比例中項嗎？為什么？考點四：黃金分割例4．0.618是黃金分割率的比值，它被認為是最美的數值．研究發現，當成人的體重（）與身高（）的比達到時，那么這個成人的體重就比較理想．若王老師的身高是，下列選項中，最接近她的理想體重的是（

）A． B． C． D．【變式4-1】生活中到處可見黃金分割的美．如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感．若圖中b為2米，則a約為（

）A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米【變式4-2】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，即滿足，后人把這個數稱為“黃金分割”數，把點稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為．【變式4-3】（本題10分）背景知識：寬與長的比等于（約為0.618）的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，如希臘帕特農神廟等．（1）如圖，經測量，帕特農神廟的面寬約為31米，那么它的高度大約是______米．（結果取整數）實驗操作：折一個黃金矩形第一步，在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，將正方形折成兩個相等的矩形，再將其展平；第三步：折出內側矩形的對角線，并將折到圖3所示的處；第四步，展平紙片，按照所得的點折出，矩形就是黃金矩形（如圖4）．問題思考：（2）圖4中是否還存在其它黃金矩形，請判斷并說明理由；（3）以圖3中的折痕為邊，構造黃金矩形，若，則這個矩形的面積是______（直接寫出結果）．

1．若，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，則下列結論中正確的是（）①；②；③；④．A．個 B．個 C．個 D．個3．下列說法（或等式）正確的是（）A． B．一條線段的黃金分割點有兩個C．與是同類項 D．是最簡二次根式4．若，則的值為（

）A． B． C． D．5．圖中的八邊形是由10個單位正方形所組成的，在PQ下面的部分包含一個單位正方形與底邊為5的三角形．若PQ恰將這八邊形平分成兩個面積相等的部分，則之值為（）A． B． C． D．6．黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點，以為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點，這樣就把正方形延伸為矩形稱其為黃金矩形．若，則（

）

A． B． C． D．7．如圖，P為正方形內一點，，延長交于點E．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．8．如圖,有三個直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,則線段OA,OD的比例中項線段的長度為()A． B． C．± D．9．已知，那么．10．古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于中國各地．若古箏上有一根弦，支撐點是靠近點的一個黃金分割點，則．（結果保留根號）11．如圖，在中，，，以為圓心，為半徑，兩弧交于點，此時，點為線段的黃金分割點，若，則的長為．12．若在比例尺為的地圖上，測得兩地的距離為1.5厘米，則這兩地的實際距離是千米13．如果，那么＝．14．黃金分割在數學中有非常廣泛的應用，已知頂角為的等腰三角形成為黃金三角形，它的底與腰之比為，如圖正五邊形的對角線恰好圍成一個“五角星”（即陰影部分），已知，則的長為．15．已知線段，，滿足．(1)求的值．(2)當線段是線段，的比例中項，且時，求的值．16．兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即將整體一分為二，較小部分與較大部分之比等于較大部分與整體之比．如圖，是線段上一點，若，且滿足，則稱是線段的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長米，主持人從舞臺側進入，他至少走多少米，恰好站在舞臺的黃金分割點上？17．已知＝＝＝＝k，求k值．18．巴臺農神廟的設計代表了古希臘建筑藝術上的最高水平，它的平面圖可看作寬與長的比是的矩形，我們將這種寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形的寬．(1)黃金矩形的長；(2)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結論；(3)在圖②中，連接，求點到線段的距離．

第15講圖上距離與實際距離、黃金分割模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解線段的比和成比例的線段；理解并掌握比例的基本性質；2．了解黃金分割的含義；理解黃金分割的意義，并能動手找到黃金分割點。1.回顧小學的比例尺公式假設四條線段a：b=c：d，我們之前學過的解法有哪些？內項之積等于外項之積化為分式，交叉相乘因此，在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。3.回顧比例的基本性質如果a：b=c：d，那么ad=bc；反過來，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a：b=c：d。因此，在比例式中a：b=b：c，那么b叫做a和c的比例中項。比例的合比性質：如果如果4.如圖，點B在線段AC上，且，設AC=1，求AB的長。解：設AB=x,則BC=AC-AB=1-x.解：設AB=x,則BC=AC-AB=1-x.∵∴∴x2+x-1=0解得答：AB的長為因此，像上圖那樣，點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點B黃金分割，點B為線段AC的黃金分割點。AB與AC的比稱為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618考點一：比例的性質例1．若，則（

）A． B．1 C． D．35【答案】D【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．根據比例的性質“若，則”，即得答案．【詳解】，．故選D．【變式1-1】如果(其中，)，那么下列式子中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，則可以變形為．分別代入各個選項檢驗即可得到結論．【詳解】解：設，則可以變形為．A、，，該選項正確，故不符合題意；B、，，該選項正確，故不符合題意；C、，，該選項正確，故不符合題意；D、，，該選項錯誤，故符合題意．故選：D．【點睛】已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個未知數，把題目中的幾個量用所設的未知數表示出來，實現約分求值．【變式1-2】已知，則．【答案】【分析】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是求出．【詳解】解：，，，，故答案為：．【變式1-3】已知：＝＝，求的值．【答案】.【分析】設＝＝＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入求值即可.【詳解】設＝＝＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，則==．【點睛】本題考查了比例的性質.考點二：比例線段例2．如果線段a＝2cm，b＝10cm，那么的值為（）A． B．5 C．2 D．【答案】A【分析】根據比例線段計算即可．【詳解】因為線段a=2cm，b=10cm，所以的值=，故選A．【點睛】此題考查比例線段問題，關鍵是根據比例線段解答．【變式2-1】已知臺灣省基隆市與高雄市的實際距離是，而在某張地圖上量得基隆與高雄的圖上距離約，則此地圖的比例尺為（）A．1:9?000?000 B．1:500?000C．1:900?000 D．1:5?000?000【答案】D【分析】根據比例尺=圖上距離∶實際距離，列比例式直接求解即可.【詳解】∵315km＝315000000mm,，∴63∶315000000＝1:5000000.故選D.【點睛】本題考查了比例尺的相關知識，熟練掌握比例尺的性質是本題解題的關鍵.【變式2-2】在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實際距離為千米.【答案】26【分析】根據比例尺＝圖上距離：實際距離．根據比例尺關系即可直接得出實際的距離．【詳解】根據比例尺＝圖上距離：實際距離，得：A，B兩地的實際距離為2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．故答案為26．【點睛】本題考查了線段的比．能夠根據比例尺正確進行計算，注意單位的轉換．【變式2-3】已知△ABC的三邊分別是a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，試判斷△ABC的形狀．【答案】△ABC是直角三角形．【詳解】【分析】由已知比例用參數法求出各邊，再根據勾股定理逆定理可得.【詳解】解：△ABC是直角三角形．由(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，設解得而(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．【點睛】本題考核知識點：相似，勾股定理逆定理.解題關鍵點：用參數法求出各邊的代數式.考點三：成比例線段例3.已知線段a是線段b，c的比例中項，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據比例的性質列方程求解即可．解題的關鍵是掌握比例中項的定義，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a與c的比例中項．【詳解】A選項，由得，b2=ac,所以b是a,c的比例中項，不符合題意；B選項，由得a2=bc,所以a是b,c的比例中項，符合題意；C選項，由，得c2=ab,所以c是a,b的比例中項，不符合題意；D選項，由得b2=ac,所以b是a,c的比例中項，不符合題意；故選B.【點睛】本題考核知識點：本題主要考查了比例線段．解題關鍵點：理解比例中項的意義.【變式3-1】下列各組中的四條線段不是成比例線段的是（

）A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=，d=C．a=，b=3，c=2，d= D．a=2，b=，c=2，d=【答案】C【分析】根據比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數與最大的數的積是否等于另外兩個數的積可判斷四條線段成比例．【詳解】解：A、1×1=1×1，所以選項錯誤；B、×1=×2，所以B選項錯誤；C、2×≠3×，所以C選項正確；D、2=2×，所以選項錯誤．故選C．【點睛】本題考查比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．【變式3-2】四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則．【答案】【分析】此題考查了比例線段的定義，解題的關鍵是熟記比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據比例線段的定義，即可得，又由，，，即可求得a的值．【詳解】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴，，，，，解得：．故答案為：．【變式3-3】已知線段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．（1）求線段a與線段b的比．（2）如果線段a、b、c、d成比例，求線段d的長．（3）b是a和c的比例中項嗎？為什么？【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由見解析.【分析】（1）根據a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；（2）根據線段a、b、c、d是成比例線段，可得，再根據c=12dm=120cm，即可得出線段d的長；（3）根據b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，進而得出b是a和c的比例中項．【詳解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，∴a：b＝30：60＝1：2；（2）∵線段a、b、c、d是成比例線段，∴，∵c＝12dm＝120cm，∴，∴d＝240cm；（3）是，理由：b2＝3600，ac＝30×120＝3600，∴b2＝ac，∴b是a和c的比例中項．【點睛】本題主要考查了成比例線段，判段四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可；求線段之比時，要先統一線段的長度單位．考點四：黃金分割例4．0.618是黃金分割率的比值，它被認為是最美的數值．研究發現，當成人的體重（）與身高（）的比達到時，那么這個成人的體重就比較理想．若王老師的身高是，下列選項中，最接近她的理想體重的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查黃金分割的應用，解題的關鍵是讀懂黃金分割．根據黃金分割直接列式求解即可得到答案．【詳解】解：∵王老師的身高是，∴根據題意得，體重．∴最接近她的理想體重的是．故選：B．【變式4-1】生活中到處可見黃金分割的美．如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感．若圖中b為2米，則a約為（

）A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米【答案】D【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，∴，∵米，∴（米），∴a約為1.24米，故選：D．【變式4-2】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，即滿足，后人把這個數稱為“黃金分割”數，把點稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查黃金分割，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形的面積等知識，理解“黃金分割”點的定義是解題關鍵．過點作于點，根據等腰三角形的性質得到，根據勾股定理求出，根據線段“黃金分割”點的定義得到，的長，求出的長，最后由三角形面積公式解答即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，，，，在中，，，是邊的兩個“黃金分割”點，，，．故答案為：．【變式4-3】（本題10分）背景知識：寬與長的比等于（約為0.618）的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，如希臘帕特農神廟等．（1）如圖，經測量，帕特農神廟的面寬約為31米，那么它的高度大約是______米．（結果取整數）實驗操作：折一個黃金矩形第一步，在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，將正方形折成兩個相等的矩形，再將其展平；第三步：折出內側矩形的對角線，并將折到圖3所示的處；第四步，展平紙片，按照所得的點折出，矩形就是黃金矩形（如圖4）．問題思考：（2）圖4中是否還存在其它黃金矩形，請判斷并說明理由；（3）以圖3中的折痕為邊，構造黃金矩形，若，則這個矩形的面積是______（直接寫出結果）．

【答案】（1）19；（2）存在，見解析；（3）或【分析】本題考查黃金分割，掌握黃金矩形的定義，是解題的關鍵：（1）直接根據黃金矩形的定義，列式計算即可；（2）設，根據題意，易得：，根據黃金分割求出，進而求出，求出的值，即可得出結論；（3）分為黃金矩形的長和黃金矩形的寬，兩種情況，進行討論求解即可．【詳解】解：（1）由題意，得：帕特農神廟的高度與面寬的比約為，∴帕特農神廟的高度；故答案為：19；（2）存在，理由如下：設，則：，由折疊可知，∵矩形就是黃金矩形，∴，∴，∴，∴，∴矩形為黃金矩形；（3）∵，則：，∴，∴，∵折疊，∴，∵矩形紙片，∴，∴，∴，∴，∴，當為黃金矩形的長時，則寬為，則矩形的面積為：；當為黃金矩形的寬時，則長為，則矩形的面積為：；綜上：矩形的面積為或．1．若，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．利用比例的性質逐一判斷即可．【詳解】解：A．因為，所以，故A不符合題意；B．因為，所以，，故B不符合題意；C．因為，所以，，故C不符合題意；D．因為，所以，故D符合題意；故選D．2．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，則下列結論中正確的是（）①；②；③；④．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】此題考查了黃金分割：點把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點．由黃金分割的定義分別進行判斷．【詳解】解：∵為的黃金分割點，∴，，①、②、③錯誤，④正確，不符合題意，故選：A．3．下列說法（或等式）正確的是（）A． B．一條線段的黃金分割點有兩個C．與是同類項 D．是最簡二次根式【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式、黃金分割點、同類項、最簡二次根式，逐項判斷即可，熟練掌握知識點判斷是解題的關鍵．【詳解】解：A、，原結果錯誤，故不符合題意；B、一條線段的黃金分割點有兩個，靠近兩端各有一個，正確，故符合題意；C、與相同字母的指數不同，不是同類項，原說法錯誤，故不符合題意；D、，不是最簡二次根式，原說法錯誤，故不符合題意．故選：B．4．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得：再代入代數式，約分后可得答案．【詳解】解：，故選：【點睛】本題考查的是比例的基本性質，掌握比例的基本性質是解題的關鍵．5．圖中的八邊形是由10個單位正方形所組成的，在PQ下面的部分包含一個單位正方形與底邊為5的三角形．若PQ恰將這八邊形平分成兩個面積相等的部分，則之值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設QY＝x，則XQ＝1﹣x，根據題意得到：PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得結果．【詳解】設QY＝x，則XQ＝1﹣x．∵PQ恰將這八邊形平分成兩個面積相等的部分，∴PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解得：x，∴QY，則XQ＝1﹣x＝1，∴XQ：QY2：3．故選D．【點睛】本題考查了不規則圖形的面積的求解方法：注意將原圖形分割求解．此題難度不大，要注意仔細識圖．6．黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點，以為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點，這樣就把正方形延伸為矩形稱其為黃金矩形．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了黃金分割點、正方形的性質、勾股定理、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．設，根據題意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入數值并求解，即可獲得答案．【詳解】解：設，∵四邊形為正方形，∴，，∵點為中點，∴，又∵，∴，∴在中，由勾股定理，可得，即，整理可得，解得，（舍去），∴．故選：C．7．如圖，P為正方形內一點，，延長交于點E．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作，延長與交于點，設正方形邊長為，由，得到等邊，由平行線截線段成比例得到，，的長度，在中，應用勾股定理，即可求解，本題考查了，正方形的性質，等腰三角形的性質與判定，平行線截線段成比例，勾股定理，解題的關鍵是：連接輔助線，得到等邊．【詳解】解：過點作，垂足為，延長與交于點，連接，設正方形邊長為，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，∵，∴平行于，∴，，，，在中，，即：，解得：，（舍），故選：D．8．如圖,有三個直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,則線段OA,OD的比例中項線段的長度為()A． B． C．± D．【答案】D【詳解】根據勾股定理，由OA=AB=1可求OB==，然后由BC=1，可根據勾股定理求得OC==，同理求得OD=2，然后根據比例中項的性質，可知OA、OD的比例中項線段為.故選D9．已知，那么．【答案】【分析】由，設，則，再把的值代入代數式即可得到答案．【詳解】解：，設，則，，故答案為：【點睛】本題考查的是比例的基本性質，掌握設參數法解決比例的問題是解題的關鍵．10．古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于中國各地．若古箏上有一根弦，支撐點是靠近點的一個黃金分割點，則．（結果保留根號）【答案】【分析】本題考查了黃金分割．根據黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：點是線段的黃金分割點，且，，故答案為：．11．如圖，在中，，，以為圓心，為半徑，兩弧交于點，此時，點為線段的黃金分割點，若，則的長為．【答案】【分析】本題考查的是黃金分割的概念，本題中經分析，因為點為線段的黃金分割點，所以把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項，即，把代入計算，即可作答．【詳解】解：，，以為圓心，為半徑，兩弧交于點，∵點為線段的黃金分割點，∴是和的比例中項，，∵∴故答案為：12．若在比例尺為的地圖上，測得兩地的距離為1.5厘米，則這兩地的實際距離是千米【答案】15【分析】設兩地間的實際距離是xcm，由在比例尺為1：1000000的地圖上，量得兩地間的距離為1.5厘米，即可得方程，解方程即可求得x的值，然后換算單位即可求得答案．【詳解】解：設兩地間的實際距離是xcm，∵比例尺為1：1000000，量得兩地間的距離為1.5cm，∴，解得：x=1500000，∵1500000cm=15km，∴兩地間的實際距離是15千米，故答案為：15．【點睛】本題考查了比例的性質——比例尺的性質，解題的關鍵是根據題意列方程，要注意統一單位．13．如果，那么＝．【答案】【分析】設，然后根據比例的性質解三元一次方程組，最后將a、b的值代入所求解答即可．【詳解】設，則，解得，∴．【點睛】本題集中考查了比例的基本性質、代數式求值及三元一次方程組的解法．14．黃金分割在數學中有非常廣泛的應用，已知頂角為的等腰三角形成為黃金三角形，它的底與腰之比為，如圖正五邊形的對角線恰好圍成一個“五角星”（即陰影部分），已知，則的長為．【答案】/【分析】先根據多邊形內角和定理與正多邊形的性質得出為黃金三角形，再根據黃金三角形的底與腰之比求出，即可得出結果．本題考查了黃金三角形、正五邊形的性質、等腰三角形的判定和性質等知識；熟練掌握正五邊形的